Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Курсова робота

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті відносно фактор — груп і під прямих добутків, завжди перебували в поле діяльності дослідників по теорії кінцевих груп. Однак аж до 1963 р. формаційний розвиток теорії кінцевих груп ішло лише по шляху нагромадження фактів, що ставляться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація розв’язних груп і її подформації, складені з абелевих, нильпотентних груп.

У курсовій роботі розглядається добуток формацій, операції на класах груп, що приводять до формацій. Розглядаються локальні формації й екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації всіх груп з нильпотентним компонентом.

Визначення 1.1 Класом груп називають усяка множина груп, що містить разом з кожною своєю групою й всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу, то вона називається групою (- підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор — група будь — якої групи з також належить ;

2) із завжди треба .

Якщо формації й такі, що, то називається підформацією формації .

По визначенню, порожня множина є формацією (порожня формація). Множина всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація — це непустий клас груп, що складає лише з одиничних груп. Формаціями є: клас усіх — груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нильпотентних груп, клас усіх — груп (- фіксоване простої число), клас всіх нильпотентних — груп, клас всіх розв’язних груп, клас всіх розв’язних — груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за яких закріплені відповідні позначення.

Лема 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь — якої множини формацій також є формацією;

2) якщо — деяка множина формацій, лінійно впорядковане щодо включення, то об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай — непуста формація. Позначимо через і - корадикалом групи перетинання всіх тих нормальних підгруп з, для яких .

Очевидно, — корадикал будь — якої групи є характеристичною підгрупою. — корадикал групи позначають інакше через і називають — корадикалом. — корадикал будемо називати нильпотентним радикалом; зрозумілі також терміни розв’язний корадикал, — розв’язний корадикал, — корадикал і т.д. — корадикал (або абелев корадикал) — це комутант групи. Так само як і комутант, — корадикал зберігається при гомоморфізмах.

Лема 1.2. Нехай — непуста формація,. Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо те

3) якщо й, те

Доказ. Нехай. Тоді

Звідси треба, що. З іншого боку, звідки одержуємо. З і треба рівність. Твердження 1) доведено.

Нехай — природний гомоморфізм групи на Очевидно, звідки треба рівність. Зокрема, якщо, т. е. Лема доведена.

Визначення 1.4. Нехай і - деякі формації. Якщо, то покладемо Якщо, те позначимо через клас всіх тих груп, для яких Клас називається добутком формацій і .

З визначення 1.4 треба, що добуток формацій є порожньою формацією тоді й тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити добуток декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано впорядкований набір формацій причому добуток уже визначений, то Зокрема, якщо для будь — якого те ми приходимо до поняття ступеня

Поняття добутку формацій становить інтерес із погляду побудови формацій.

Теорема 1.1. Добуток будь — яких двох формацій також є формацією.

Лема 1.3. Нехай і - нормальні підгрупи групи. Тоді кожний головний фактор групи — ізоморфний або деякому головному фактору групи, або деякому головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду — ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай — деяка формація, — клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай — об'єднання формацій Тоді - підформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що — формація. З теореми 1.1 і леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо — мінімальна нормальна підгрупа групи, то по індукції для деякого натурального. Але тоді або, або — - корадикал групи. Тому що, те звідси випливає, що, і теорема доведена.

Операції на класах груп Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп у себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими більшими латинськими буквами. Результат операції, застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Добуток операцій визначається рівностями:

Уведемо операції в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли вкладається як підгрупа в якусь — групу;

тоді й тільки тоді, коли вкладається як нормальна підгрупа в якусь — групу;

тоді й тільки тоді, коли є гомоморфним образом якоїсь — групи;

тоді й тільки тоді, коли співпадає з добутком деякого кінцевого числа своїх нормальних — підгруп;

тоді й тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді й тільки тоді, коли є розширенням — групи за допомогою — групи;

тоді й тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо, то замість пишуть Оборотний увага на той факт, що якщо — нормальні підгрупи групи, причому для кожного, то Помітимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття підпрямого добутку. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого добутку називається підпрямим добутком груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді й тільки тоді, коли є добуток деякого кінцевого числа — груп.

Визначення 2.2. Клас називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, — замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, що одночасно — замкнуть і - замкнуть. — замкнутий клас згідно Гашюцу називається насиченим. — замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він — замкнутий (відповідно — замкнуть).

Лема 2.1.. Якщо клас груп містить одиничну групу й — замкнуть, то

Доказ. Щодо операцій і твердження очевидно. Нехай — довільний клас груп. Ясно, що Якщо, те в найдеться нормальна підгрупа така, що. Група має нормальну підгрупу таку, що й Але тоді Тому що, те, а виходить, Таким чином,, що й потрібно.

Нехай. Якщо, то має нормальну — підгрупу таку, що Група має нормальну — підгрупу таку, що. Тому що й, те з — замкнутості класу треба, що. Виходить,, тобто. Зворотне включення очевидно.

Лема 2.2. Для будь — якого класу справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо, то Нехай Якщо, те, а виходить,. Таким чином,. Нехай. Тоді має такі нормальні підгрупи, що Група має такі нормальні підгрупи, що Тому що, те, що й доводить рівність

Лема 2.3. Для будь — якого класу має місце включення

Доказ. Якщо, то. Нехай і група є підпрямим добутком груп, де. Розглянемо функцію. Функція є гомоморфізмом групи в групу. Ясно, що

є добуток груп, причому. Отже,, і лема доведена.

Лема 2.4.

У роботі Фишера, Гашюца й Хартли уведене наступне поняття, у деякому змісті двоїсте визначенню формації.

Визначення 2.3. Клас груп називається класом Фиттинга, якщо він одночасно — замкнутий і - замкнуть.

Клас Фиттинга ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Через подвійність (нормальна підгрупа — фактор — група) формацію можна було б назвати корадикальним класом.

Визначення 2.4. Нехай непустий — замкнутий клас, що містить 1. Позначимо через і назвемо — радикалом групи добуток всіх її нормальних — підгруп.

Класи є радикальними. — радикал групи — це її підгрупа Фиттинга — радикал позначають інакше через і називають — радикалом. — радикал називають розв’язним радикалом; зрозумілі також терміни — нильпотентний радикал, — замкнутий радикал і т.д. Клас усіх — нильпотентних груп є одночасно радикальним і корадикальним; - це — нильпотентний радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих або інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно й класами Фиттинга. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай і - формації, причому або, або замкнута щодо нормальних підгруп. Тоді - формація, що збігається з добутком

Визначення 2.5. Нехай — деяка множина груп. Нехай — перетинання всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої множиною груп

Помітимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо те пишуть замість, причому в цьому випадку називають формацією, породженою групою .

Теорема 2.2. Для будь — якого класу має місце рівність:

Доказ. Якщо, те, і твердження вірно. Нехай. Тому що, те клас є - замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це й леми 2.3 і 2.4, одержуємо Останнє означає - замкнутість класу. Отже, — формація, що містить, тому що. Виходить,. Зворотне включення очевидно.

Лема 2.5. Для будь — яких елементів групи виконуються рівності Якщо — підгрупи групи, то виконуються наступні твердження:

1)

2) для будь — якого гомоморфізму групи; зокрема, якщо група з нормалізує й, те нормалізує й

Лема 2.6 Нехай — підгрупа нильпотентної групи, причому. Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить установити, що при будь — якому натуральному виконується включення:

При це вірно, тому що, а виходить,. Припустимо, що включення (*) справедливо при якімсь. Тоді, використовуючи лему 2.5, одержуємо Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Якщо — така підгрупа групи, що, то

Доказ. Нехай — нильпотентна нормальна підгрупа групи, а — така підгрупа з, що. Доведемо індукцією по, що. Це вірно, якщо. Тому будемо вважати, що. Розглянемо наступні підгрупи прямого добутку

Очевидно, підгрупа нормалізує й. Позначимо через підгрупу групи, породжену підгрупами. Оскільки проекції на множники прямого добутку рівні, т. е. Помітимо ще, що, де нормально в і нильпотентна як добуток з .

Нехай — центр підгрупи,. Легко бачити, що, причому й; аналогічно, і. Але тоді, абелева й нормальна в. Якщо, те, де, і якщо, те, що тягне. Отже,. Якщо абелева, те, і ми маємо Припустимо тепер, що. Ясно, що. Тому що

те нильпотентна щабля. Тому що, те ізоморфна й має щабель, а тому відповідно до леми 2.6 її нормальне замикання в має щабель. Тому що нормалізує й, те нормальна в. Отже,, причому. По індукції

Для групи і її нильпотентної нормальної підгрупи щабля теорема також вірна по індукції. Тому Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена розв’язною групою, містить лише кінцеве число підформацій.

Доказ. Нехай — підформація формації. Якщо, то по теоремі 2.3 має місце, що й потрібно.

Екрани Недоліком поняття групової функції є те, що не завжди ущільнення — центрального ряду нормальними підгрупами є - центральним рядом.

Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп у множину класів груп назвемо екраном, якщо для будь — якої групи виконуються наступні умови:

1) — формація;

2) для будь — якого гомоморфізму групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповою функцією в змісті визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо — екран, те кожний f — центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f — центрального головного ряду, а виходить, клас груп, що володіють f — центральними рядами, співпадає з формацією .

Лема 3.1. Нехай — екран, — група операторів групи , — деяка нормальна — припустима підгрупа з. Якщо володіє нормальним — припустимим рядом, фактори якого — центральні відносно, то один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай даний ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай. Тоді ряд буде шуканим. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрана й — ізоморфизми:

Лема 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетинання будь — якої непустої множини екранів також є екраном;

2) об'єднання будь — якого непустого ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непуста множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно впорядковано (з відношенням часткової впорядкованості, уведеним у визначенні 3.5). Тоді для будь — якої групи множина формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, через лему 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран назвемо:

1) p — однорідним, якщо він p — постійний і для будь — якої групи і її силовської p — підгрупи має місце ;

2) однорідним, якщо він p — однорідний для будь — якого простого p;

3) локальним, якщо він є локальною груповою функцією;

4) композиційним, якщо для будь — якої групи має місце, де пробігає всі фактори групи

5) порожнім, якщо для будь — якої неодиничної групи ;

6) — екраном, якщо для будь — якої групи .

— екран при будемо називати одиничним екраном.

Легко бачити, що кожний локальний екран є однорідним, а кожний композиційний екран є примарно постійним.

Приклад 3.1. Нехай і - непусті формації, причому, а групова функція така, що для кожної групи й для будь — який групи. Тоді - однорідний екран, що не є ні локальним, ні композиційним.

Приклад 3.2. Нехай — непуста формація, а групова функція така, що для будь — який групи виконуються умови:

1), якщо не має абелевих композиційних факторів;

2), якщо має хоча б один абелев композиційний фактор.

Тоді - композиційний екран, що не є однорідним.

Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на підгрупах. Щоб побудувати локальний екран, досить кожному простому числу поставити у відповідність деяку формацію, а потім для будь — якої групи покласти, де пробігає .

Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран, потрібно кожній простій групі поставити у відповідність деяку формацію, а потім для будь — якої групи покласти, де пробігає всі композиційні фактори групи .

Лема 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетинання будь — якої непустої множини однорідних екранів знову є однорідним екраном;

2) перетинання будь — якої непустої множини локальних екранів знову є локальним екраном;

3) перетинання будь — якої непустої множини композиційних екранів знову є композиційним екраном.

Доказ. Нехай екран є перетинанням множини екранів. Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь — яких і має місце рівність:

де пробігає всі підгрупи групи. Тоді

а виходить, — локальний екран.

Лема 3.4. Об'єднання будь — якого непустого ланцюга примарно постійних екранів є примарно постійним екраном.

Доказ. Нехай — деякий ланцюг екранів, — її об'єднання,. По лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що постійність тягне постійність екрана. Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо — будь — яка група й, т. е. Отже, що й доводить однорідність екрана .

Екрани формацій Кожної групової функції відповідає формація .

Лема 3.5. є непустою формацією для будь — якої групової функції .

Визначення 3.3. Нехай — деяка формація. Якщо — такий екран, що, то формація називається східчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що

— екран формації ,

має екран ,

екран визначає формацію ,

визначається екраном .

Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.

Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо — внутрішня групова функція, тобто для будь — якої неодиничної групи .

Лема 3.6. Кожна східчаста формація має принаймні один екран.

Доказ. Нехай — екран формації. Визначимо функцію в такий спосіб: для будь — якої групи. Легко бачити, що — екран, причому. Якщо й — головний фактор групи, то. Тому що клас — замкнуть, те, а виходить, — центральний Таким чином,. Отже,, тобто — шуканий внутрішній екран.

Лема 3.7. Нехай — екран формації. Тоді є екраном формації .

Доказ. Нехай — довільний головний фактор групи. Нехай. Тому що, т. е. Виходить,, тобто — в. Звідси треба, що .

Обернено, якщо, те головний ряд групи буде — центральним для будь — якого, тобто. Отже, .

Лема 3.8. Перетинання будь — якої непустої множини екранів формації знову є екраном формації. Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, те — внутрішній екран.

Доказ. Те, що — екран формації, безпосередньо треба з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран. Тоді для будь — якої групи. Виходить, — внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном Теорема 3.1. (Шеметков) Усяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Через лему 3.6 формація має внутрішній однорідний екран. Побудуємо локальний екран, що задовольняє наступній умові: для будь — якого простого. Тоді й, отже,. Припустимо, що формація має групи, що не входять в, і виберемо серед всіх таких груп групу, що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальною нормальною підгрупою групи. Тому що, те для кожного має місце Якщо неабелева, то й. Якщо ж — - група, то виходить, що — центральна в. А це суперечить тому, що. Теорема доведена.

Локальна формація Неодинична формація, що має локальний екран, містить деякі неодиничні групи.

Визначення 4.1. Формація називається локальної, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай — внутрішній локальний екран формації, що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації. Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмид [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран, причому задовольняє наступній умові: для будь — якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай — локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назвемо мінімальним локальним екраном формації .

Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, що є до того ж внутрішнім екраном.

Доказ. Нехай — множина всіх локальних екранів формації, причому. Позначимо через перетинання множини екранів. У множині є внутрішній екран, тому — внутрішній екран формації. По лемі 3.4 екран є локальним. Через лему 3.8 — шуканий екран.

Побудова локальних формацій

1. Формація всіх груп. Формація має локальний екран таким, що для будь — якого простого .

2. Формація одиничних груп. Формація має порожній екран, що, мабуть, локальний.

3. Формація нильпотентних — груп. Нехай — формація всіх нильпотентних — груп, — такий локальний екран, що для кожного для кожного. Очевидно, — мінімальний локальний екран формації .

4. Формація — груп. Нехай — формація всіх — груп, — такий локальний екран, що для кожного для кожного. Очевидно, -локальний екран формації .

5. Формація — нильпотентних груп. Нехай — формація всіх — нильпотентних груп (- фіксоване простої число), — такий локальний екран, що для будь — якого простого числа, відмінного від. Покажемо, що — екран формації. Головний ряд — нильпотентної групи — центральний. Нехай. Потрібно встановити, що — нильпотентна. Нехай — мінімальна нормальна підгрупа групи. По індукції - нильпотентна. Якщо — - група, то звідси треба, що й — нильпотентна. Якщо ж — група, те, тобто. Якщо тепер — - підгрупа з, то через підгрупа — нильпотентна, а виходить, і - нильпотентна. Тим самим показано, що .

Теорема 5.1. У кожній — групі підгрупа збігається з перетинанням у всіх головних — факторів групи .

Наслідок 5.1.1. У будь — якій групі підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням у всіх головних факторів групи .

Наслідок 5.1.2. Для кожної - розв’язної групи має місце включення .

Наслідок 5.1.3. (Фиттинг). для будь — якої розв’язної групи .

Наслідок 5.1.4. (Чунихин [3]). Комутант — групи — нильпотентний.

6. Формація — замкнутих груп. Нехай — формація всіх — замкнутих груп (- деяка фіксована множина простих чисел), — такий локальний екран, що для кожного для кожного. Покажемо, що — екран формації .

Очевидно,. Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу, причому не є - групою. Нехай. Тому що, те, а виходить,. Тому — абелева — група. Тому що — замкнута, те й — замкнута, тобто має нормальну — підгрупу. Ясно, що. Тому що, т. е. Легко бачити, що, а виходить, і група — замкнута. Тим самим показано, що .

7. Формація — дисперсивних груп. Нехай — деяке лінійне впорядкування множини всіх простих чисел, — формація всіх — дисперсивних груп. Покажемо, що локально.

Розглянемо всілякі множини простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх. Нехай — формація всіх — замкнутих груп. Очевидно,. Тому що формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.

8. Формація — розв’язних груп. Нехай — формація всіх — розв’язних груп, — такий локальний екран, що для будь — якого простого. Неважко помітити, що — максимальний внутрішній локальний екран формації. Зокрема, формація є локальною.

9. Формація — груп. Нехай — формація всіх — груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить. Побудуємо локальний екран такий, що для кожного для кожного. Покажемо, що. Ясно, що. Нехай , — мінімальна нормальна підгрупа групи. По індукції. Якщо — - група, то — понад розв’язна. Нехай порядок ділиться на деяке число. Тоді, якщо, те Звідси треба, що — - група.

Лема 5.1. Нехай — деяка що не приводиться абелева група автоморфизмів — групи й. Тоді - циклічна група порядку, що ділить. Крім того, — найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню .

Доказ. Будемо вважати, що — аддитивна абелева група. Тоді можна розглядати як правий векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай — комутативне підкольцо кільця, породжене елементами й. Через умову є правим — модулем (визначення, пов’язані з — модулями, див. у Кертиса й Райнера [1]). По лемі Шура, — тіло. Тому що комутативне, т. е. Легко бачити, що множина всіх ненульових елементів із замкнуто щодо операції множення й, отже, є групою. Тому — поле. Тому що — модуль не приводимо, те для будь — якого ненульового; але тоді відображення, є - гомоморфізмом — модуля на. Тому що ядро є ідеал поля, те — ізоморфізм. Отже,. Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна й ділить .

Нехай — найменше натуральне число, що задовольняє порівнянню. Тоді ділить. Добре відомо, що поле порядку містить порядку. Тому що циклічна група містить точно одну підгрупу кожного можливого порядку й ділить, то. Але тоді й. Лема доведена.

10. Формація. Нехай — непуста формація, — такий локальний екран, що для будь — якого простого. Застосовуючи наслідок 7.1.1 можна побачити, що — екран формації. Зокрема, формації і є локальними формаціями.

Нехай — локальний екран деякої підформації з. Застосовуючи леми 3.3 і 4.3, бачимо, що є локальним — екраном формації. Таким чином, кожна локальна підформація формації має внутрішній локальний — екран. Зокрема, будь — яка локальна підформація формації має внутрішній локальний — екран.

Локальні формації із заданими властивостями Нехай — деяка операція, — локальний екран формації. Природно виникають два питання:

1) чи Буде — замкнутої, якщо — замкнута для будь — якого простого ?

2) чи Буде — замкнутої для будь — якого простого, якщо — замкнута?

Ми дамо позитивну відповідь на ці питання в деяких конкретних випадках.

Теорема Слепова 1 Нехай — деякий клас груп, — максимальний внутрішній локальний екран формації , — фіксоване простої число. Тоді справедливі наступні твердження:

1) якщо, те ;

2) якщо, те .

Доказ. Будемо доводити обоє твердження одночасно. Нехай — одна з операцій,. Припустимо, що. Нехай — (нормальна) підгрупа групи й. Розглянемо регулярне сплетення, де , — елементарна абелева — група. По лемі 3.11. Тому що, т. е. Розглянемо головний ряд групи :

Нехай. Тому що й, те для кожного. Отже,, де. По властивості регулярного сплетення. Отже,, і по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Тому що й формація є по теоремі 3.3 — замкнутої, то ми одержуємо, що. Теорема доведена.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай — максимальний внутрішній локальний екран формації. Формація — замкнута (- замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого формація — замкнута (відповідно — замкнута).

Доказ. Необхідність. Припустимо, що — замкнуто (- замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему, ми одержуємо, що — замкнуто (- замкнута) для будь — якого простого .

Достатність. Нехай для будь — якого простого формація є - замкнутою (- замкнутої). Нехай — підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи. Покажемо, що. Тому що, те володіє - центральним головним рядом Нехай. Тому що те, де. Нехай. За умовою й. Звідси, через, випливає, що. Тим самим установлено, що ряд

є - центральним рядом групи. Теорема доведена.

Для будь — якого натурального числа — замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу, у вигляді добутку нормальних — підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.

Визначення. Клас груп назвемо слабко — замкнутим,, якщо містить усяку групу, що має нормальних — підгруп з попарно взаємно простими індексами.

Легко помітити, що якщо й — підгрупи групи причому й взаємно прості, те .

Теорема Слепова 3 Нехай — локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь — якого простого формація або збігається з, або входить в і є слабко — замкнутою. Тоді слабко — замкнута.

Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в, але нормальних — підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить, але має нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.

Нехай — мінімальна нормальна підгрупа групи. У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать. Тому що для теорема вірна, т. е. Ясно, що — єдина мінімальна нормальна підгрупа групи, причому й для кожного. Через теорему 4.3. Тому що, те найдеться таке, що. Розглянемо, де пробігає все — головні фактори групи. Тому що, те,. Можливі два випадки.

Випадок 1. Нехай. Тоді неабелева й. Звідси й з одиничності випливає, що. Але тоді й, отже, можна розглядати як деяку групу групи, що діє тотожно на всіх — головних факторах групи. По добре відомій теоремі Ф. Холу нильпотентна. Тому що до того ж нормальна в, т. е. Але тоді для будь — якого, а тому що формація слабко — замкнута за умовою, т. е. Але тоді, тому що й за умовою. Одержали протиріччя.

Випадок 2. Нехай. Тоді входить в і є - групою. Тому що, те абелева. Нехай — максимальна підгрупа групи, не утримуюча. Тоді, ,,. Звідси, через одиничність, містимо, що, a виходить,. По лемі 3.10 є - групою. Але тоді і є - групою, причому. Ми одержуємо, таким чином, що для кожного. Але тоді, тому що слабко — замкнута. Останнє означає, що — центральна в, що суперечить рівності. Знову одержали протиріччя.

Теорема доведена.

Наслідок 4 Нехай група має дві нормальні - понад розв’язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді - понадрозв’язна.

Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми при .

Наслідок 5 Нехай група має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді понад розв’язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація має такий локальний екран, що для будь — якого простого формація або збігається з, або входить в і є - замкнутою. Тоді - замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми .

Теорема Слепова 7 Нехай — максимальний внутрішній локальний екран формації. Формація — замкнута (слабко — замкнута,) тоді й тільки тоді, коли для будь — якого простого формація — замкнута (відповідно слабко — замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем і. Нехай — замкнута (слабко — замкнута,). Нехай, де — нормальні - підгрупи (нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що, т. е. Покажемо, що .

Нехай, де , — елементарна абелева — група. для кожного. Тому що — замкнута (слабко — замкнута), те звідси випливає, що. Якщо — перетинання в усіх — головних факторів групи, то Тому що, те по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Але тоді, тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .

Теорема доведена.

Лема Чунихина 8 Нехай, ,. Тоді. Зокрема, якщо й, те непроста.

Доказ. З рівності треба, що Отже,. Звідси, через для кожного, одержуємо. Лема доведена.

Теорема Виландт 9 Група розв’язна, якщо вона має три розв’язні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Доказ. Нехай група має розв’язні підгрупи, і з попарно взаємно простими індексами. Тоді. Нехай — мінімальна нормальна підгрупа з. Тому що розв’язно, те, — простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й. Нехай, для визначеності, не ділить. Це значить, що силовська — підгрупа з є силовською — підгрупою групи. Через теорему Силова, де. Тому що й, те по лемі. Таким чином, — неодинична розв’язна нормальна підгрупа групи. У фактор — групі індекси підгруп, і попарно взаємно прості. По індукції розв’язна, але тоді й розв’язна. Теорема доведена.

Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.

Визначення. Клас груп називається — замкнутим (- натуральне число), якщо містить усяку групу, що має - підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.

По визначенню, порожня формація — замкнута для кожного. Єдиної - замкнутою непустою формацією, відмінної від, умовимося вважати .

Лема 10 Нехай і - - замкнуті класи груп. Тоді також — замкнуть.

Доказ очевидно.

Наступна лема доведена Крамером.

Лема 11 Нехай формація втримується в і - замкнута,. Тоді формація є - замкнутою.

Доказ. Нехай група має - підгрупи, ,…,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що, те по теоремі група розв’язна. При будь — якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що — корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є - групою для якогось. Підгрупа Фиттинга групи також є - групою. Індекс будь — якої підгрупи, що не містить, ділиться на. Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп. Будемо вважати, що,. Тому що є - групою, те й,. Звідси й з наслідку випливає, що,. Тому що, те ми одержуємо, що,. Скориставшись — замкнутістю формації, ми приходимо до того, що .

Лема доведена.

Теорема Крамер 12 Нехай — такий локальний — екран формації, що для будь — якого простого формація — замкнута,. Тоді - замкнута.

Доказ. Тому що — - екран, то для будь — якого простого, а виходить,. Нехай. Через лему 4.5. Якщо, те й — замкнута; якщо ж, те по лемі формація — замкнута. У кожному разі - замкнута. По лемі - замкнута. Застосовуючи лему, ми бачимо, що й формація — замкнута. Теорема доведена.

Тому що формація має одиничний екран, що задовольняє умові теореми при, те ми одержуємо Наслідок Кегель 13 Група нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.

Лема 14 Клас усіх — замкнутих груп — замкнуть.

Доказ таке ж, як і в теореми .

Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є - замкнутою.

Доказ. Нехай — деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має - підгрупи, і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку група нильпотентна. Якщо — найвищий ступінь простого числа, що ділить, то ділить для деякого, тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп, і. Якщо ділить, то силовська — підгрупа із входить в і є силовскою — підгрупою групи. Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є - групами. Тому що — формація, те звідси треба, що .

Лема доведена.

Лема 16 Нехай — якийсь — замкнутий гомоморф — замкнутих груп. Тоді клас — замкнуть.

Доказ. Нехай група має - підгрупи, і з попарно взаємно простими індексами. По лемі має нормальну силовску — підгрупу. Оскільки є силовскої - підгрупою в і - гомоморф, т. е. У групі індекси підгруп, і попарно взаємно прості. Тому через — замкнутість маємо. Лема доведена.

Лема 17 Для будь — якого простого й будь — якої формації нильпотентних груп клас є - замкнутою формацією.

Доказ. По лемі клас — замкнуть. По лемі клас — замкнуть і по теоремі 1.1 є формацією.

Теорема 18 Нехай — локальна підформація формації , — максимальний внутрішній локальний екран формації. Якщо для будь — якого простого формація — замкнута,, то — замкнута.

Доказ. Нехай. Через теорему 3.3 і леми 4.5,. Формація — замкнута. По лемі формація — замкнута. Теорема доведена.

Теорема Крамер 19 Будь — яка локальна підформація формації є - замкнутою.

Доказ. Нехай — локальна підформація формації. має внутрішній локальний — екран. Нехай — максимальний внутрішній локальний екран формації. Тоді по теоремі 3.3 для будь — якого простого має місце рівність. Тому що, те по лемі формація — замкнута. Тоді по теоремі формація — замкнута. Теорема доведена.

Наслідок Д рк 20 Нехай група має чотири підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Висновок

У даній курсовій роботі ми дали визначення формації, добутку формацій, а також операцій на класах груп. Познайомилися з поняттям екрана, радикального й корадикального класів. У роботі розглянули ситуацію: кінцеві розв’язні групи з нормальною максимальною підгрупою, що належить локальної формації формації всіх груп з нильпотентним комутантом. Розглядали тільки кінцеві й розв’язні групи.

Теорія кінцевих груп ніколи не випробовувала недоліку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все — таки достаток отриманих результатів з неминучістю привело до необхідності розробки нових загальних методів і крапок, що систематизують, зору. Поштовх, зроблений роботою Гашюца, викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку — теорії формацій.

Література

1 Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.І. Основи теорії груп. — К., 2003

2 Кертис Ч., Райнер И. Теорія подань кінцевих груп і асоціативних алгебр. — К., 2006

3 Чунихин С. А. О — властивості кінцевих груп. -К., 2001

4 Шеметков Л. А. Формація кінцевих груп. — К., 2002