Означення диференціала (реферат)

Означення диференціала

Нехай функція у = f (х) диференційовна в інтервалі (а, b), х $$$$ (а, b).

Згідно з означенням похідної функції у = f (х) маємо.

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=f^{\text{'}}(x)\text{.}$$.

Змінна величина відрізняється від своєї границі на не­скінченно малу $$$$

тому.

.

$$\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=f^{\text{'}}(x)+=>\mathit{}=f^{\text{'}}(x)\mathit{}+\mathit{}$$ (8).

Функція диференційовна в точці х, тому вона неперервна в цій точці, але тоді при $$\mathit{}->0$$ величини $$\begin{array}{c}\\ \\ \mathit{},\begin{array}{c}{f}^{\text{'}}(x)\mathit{}\begin{array}{c}\text{та}\begin{array}{c}\mathit{}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \end{array}$$ будуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний: $$\begin{array}{c}\\ \\ f^{\text{'}}(x)\mathit{}\begin{array}{c}\text{та}\begin{array}{c}\mathit{},\begin{array}{c}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \end{array}$$ мають однаковий порядок малості, а величина $$\mathit{}$$

є нескінченно малою вищого порядку малості. Отже, при $$f^{\text{'}}(x)/=0$$ перший доданок у правій частині рівності (8) є головною части­ною приросту функції. Він є лінійним відносно $$\mathit{}$$ .

.

Означення 5. Головну лінійну частину приросту функції нази­вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції у = f (х) позначають dy або df (x). Таким чином,.

$$\text{dy}=f^{\text{'}}(x)\mathit{},$$.

тобто для знаходження диференціала функції у = f (х), що має похідну в точці х, треба помножити значення цієї похідної на приріст аргумента $$\mathit{}$$ або на dx ($$\mathit{}$$ = dx).

З рівності.

$$\text{dy}=f^{\text{'}}(x)\text{dx},$$ (9).

одержимо, $$f^{\text{'}}(x)=\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$, тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених значень функції.