Математична статистика

ІДО Кривий Рог.

IBM.

Приватне Навчальне Заведение.

Інститут Ділового Администрирования.

Private Educational Institution.

Institute of Business Managment.

Кафедра інформаційних систем й усієї вищої математики.

Математична cтатистика.

[pic].

" Конспект лекцій? для спеціальностей УА, ФК 1995.

© Г.І. Корнілов ?

? 1997 ?

Введення ЄІАС у курс.

1 Основні определения.

Попри розмаїття які у літературі визначень терміна «статистика», суть більшості їх зводиться до того що, що статистикою найчастіше називають науку, вивчаючу методи збирання та опрацювання фактів і даних у сфері людської роботи і природних явлений.

У нашому курсі, що можна вважати введенням у курс «Економічна статистика», мова може бути про так званої прикладної статистиці, (тобто. лише про сутності спеціальних методів збору, обробки й аналізу інформації та, крім в нього практичних прийомах виконання пов’язаних із цим расчетов.

Великому американському сатирику О’Генри належить іронічне визначення статистики: «Є три виду брехні (просто брехня, брехня злісна і …статистика!». Спробуймо розібратися у причинах, що спонукали написати ці слова.

Практично всьому живому землі властиво сприймати навколишню середу як безперервну послідовність фактів, подій. Цим самим властивістю мають і, з тією різницею, що тільки їм дано аналізувати що надходить інформації і (хоча й всі вдається) зробити висновок з такої аналізу та враховувати їх у своїй свідомої діяльності. Тому можна стверджувати, що в усі часи, все люди займалися й займаються статистичними «дослідженнями», навіть знаючи іноді такого слова («статистика».

Усі наші спостереження над навколишньому світом можна умовно розділити на два класса:

(контролю над фактами (подіями, які можуть виникнути або произойти;

(контролю над фізичними величинами, значення що у момент спостереження може бути различными.

І атеїст і віруючий в бога людина, швидше за все, погодиться з кілька незвичним заявою (в навколишньому світі відбуваються лише випадкові події, а спостережувані нами значення всіх показників зовнішньої середовища випадкові величинами (далі скрізь — СВ). Понад те, далі показано, що можна використовувати лише одна поняття (випадкове событие.

Не затримуючись на розкритті філософської сутності терміна «випадковість» (предосить звичайне, житейська уявлення), звернімося надзвичайно важливого поняттю (ймовірність. Цей термін зазвичай використовують стосовно події визначають числом (від 0 до 1), выражающим ступінь нашої впевненості, що ця подія станеться. Події з імовірністю 0 називають неможливими, а події з імовірністю 1 (достовірними (хоча вже — невипадкові, детермінований события).

Іноді в прикладної статистиці має справу з так званими рідкісними (малоймовірними) подіями. До них заведено відносити події, значення ймовірності яких становить менше певного рівня, найчастіше — 0.05 чи 5%.

Там, коли профессионалу (статистику має справу зі випадковими величинами, останні часто ділять на дві разновидности:

(дискретні СВ, яких можуть прибирати лише конкретні, заздалегідь обумовлені значення (наприклад, (значення чисел верхній межі кинутою гральною кістки чи порядкові значення поточного месяца);

(безперервні СВ (найчастіше (значення деяких фізичних величин: ваги, відстані, температури тощо.), котрі за законам природи можуть приймати будь-які значення, хоча б у деякому интервале.

2 Ймовірності випадкових событий.

Отже, основним «показником» будь-якого події (факту) А є чисельна величина його ймовірності P (A), яка може приймати значення буде в діапазоні [0…1] (залежно від цього, наскільки всі ці події випадково. Таке, значеннєве, визначення ймовірності це не дає, проте, можливості вказати шлях до обчислення її значения.

Тому необхідно мати й те, що відповідає вимогам практичної роботи, визначення терміна «ймовірність». Цю ухвалу можна надати на підставі життєвого досвіду і звичайного здорового смысла.

Якщо ми цікавимося подією A, то, швидше за все, можемо спостерігати, фіксувати факти його. Потреба понятті ймовірності та її обчислення виникне, очевидно, тільки тоді ми, ми спостерігаємо це подія не щоразу, або усвідомлюємо, що може статися, і може не статися. І те та інше разі корисно використовувати поняття частоти появи події fA (як стосунки числа випадків його (сприятливих фіналів чи частостей) до загальної кількості наблюдений.

Інтуїція підказує, що частота наступу випадкового події залежить тільки від ступеня випадковості самого події. Якщо ми побачили за подією [pic] лише п’ять разів, і у трьох обох випадках ці подія сталося, то далеко не всі прийме значення ймовірності такого події рівним 0.6 чи 60%. Найімовірніше, особливо у випадках необхідність ухвалення каких-то важливих, дорогих рішень будь-хто продовжить спостереження. Здоровий сенс підказує нам, що коли вже у спостереженнях подія [pic] сталося 14 раз, ми можемо зі значно більшої упевненістю думати його ймовірність рівної 14% .

Отже, ми (ясна річ, (не перші) сформулювали друге визначення поняття ймовірності події (як краю, якого прагне частота контролю над подією при безупинному збільшенні кількості спостережень. Теорія ймовірностей, спеціальний розділ математики, доводить існування такої межі і відповідність частоти до можливості при прагненні числа спостережень до нескінченності. Це становище називається центральної граничною теореми чи закону великих чисел.

Отже, перший на запитання (як знайти ймовірність події, ми вже сьогодні існують. Треба проводити експеримент та викладачу встановлювати частоту спостережень, яка тим точніше дасть нам ймовірність, що більше спостережень ми имеем.

А що робити, якщо експеримент неможливий (доріг, небезпечний чи змінює суть процесів, які нас цікавлять)? Інакше кажучи, чи немає іншого шляху обчислення ймовірності подій, без проведення экспериментов?

такий шлях є, хоча, як не парадоксально, він усе одно грунтується на досвіді, досвіді життя, досвіді логічних міркувань. Навряд чи хто або перебуватиме виробляти експерименти, підкидаючи кілька сотень чи тисячу разів симметричную монетку, аби з’ясувати можливість появи герба за одного киданні! Ви продовжуватимете цілком праві, якщо експерименту знайдете ймовірність випадання цифри 6 на симетричній гральною кістки тощо., і т.п.

Цей шлях називається статистичним моделюванням — використанням схеми випадкових подій і успішно використовується у багатьох додатках теоретичної і прикладної статистики. Продемонструємо цей нелегкий шлях, розглядаючи питання ймовірності випадкових величин далі. Означимо [pic] величину ймовірності те, що подія A не станеться. Тоді з визначення ймовірності через частоту наступу події слід, что.

P (A)+[pic] = 1,.

{1−1}.

що корисно читати так (можливість, що подія станеться чи не станеться, дорівнює 100%, оскільки третього варіанта просто нет.

Такі логічні міркування приведуть нас до більш загальній формулі (складання ймовірностей. Нехай деяке випадкове подія може відбутися тільки одного з 5 варіантів, тобто. нехай є система із трьох несумісних подій A, B і З .

Тоді очевидно, что:

P (A) + P (B) + P© = 1;

{1−2} і саме прості міркування приведуть для вираження для ймовірності наступу однієї з двох несумісних подій (наприклад, A чи B):

P (A (B) = P (A) + P (B);

{1−3} чи однієї з трех:

P (A (B© = P (A) + P (B) + P (C);

{1−4} й дуже далее.

Розглянемо трохи більше складний приклад. Нехай потрібно знайти ймовірність події З, яка полягає у цьому, що з підкиданні різних монет ми одержимо герб на першої (подія A) і другий (подія B). Тут ідеться спільну наступі двох незалежних подій, тобто. нас цікавить ймовірність P© = P (A (B).

І тут метод побудови схеми подій виявляється чудесним помічником (можна не так важко довести, что.

P (A (B) =P (A)(P (B).

{1−5} Звісно ж, формули {1−4} і {1−5} годяться нічого для будь-якого кількості подій: аби вони були несовместными у разі і незалежними у втором.

Нарешті, виникають ситуації, коли випадкові події виявляються взаємно залежними. У таких випадках доводиться розрізняти умовні вероятности:

P (A / B) — ймовірність A за умови, що B вже произошло;

P (A / [pic]) — ймовірність A за умови, що B цього не сталося, називаючи P (A) безумовною чи повної ймовірністю події A .

З’ясуємо де спочатку зв’язок безумовною ймовірності події з умовними. Оскільки подія A може тільки у двох, взаємовиключних варіантах, то відповідність до {1−3} виходить, что.

P (A) = P (A/B)(P (B) + P (A/)(P ([pic]).

{1−6}.

Ймовірності P (A/B) і P (A/[pic]) часто називають апостериорными («a posteriopri» — по тому, як…), а безумовну ймовірність P (A) — апріорній («апріорі» — доти, как…).

Вочевидь, що й першим вважається подія B і воно сталося, то тепер наступ події A не залежить від B і тому ймовірність те, що відбудуться обидва події составит.

P (A (B) = P (A/B)(P (B).

{1−7} Оскільки події взаємозалежні, можна повторити наші висновки та получить.

P (B) = P (B/A)(P (A) + P (B/[pic])(P ([pic]);

{1−8} і навіть P (A (B) = P (B/A)(P (A).

{1−9}.

Ми так звану теорему Байеса.

P (A/B)(P (B) = P (B/A)(P (B);

{1−10} - дуже важливе засіб аналізу, особливо у області перевірки гіпотез і вирішення питань управління з урахуванням методів прикладної статистики.

Підіб'ємо деякі підсумки розгляду питання про ймовірності випадкових подій. Маємо з ними лише дві можливості дізнатися, що або величину ймовірності випадкового події A:

(застосувати метод статистичного моделювання (побудувати схему даного випадкового події та (якщо в маємо підстави вважати, що ми правильно її будуємо) і знайти значення ймовірності прямим расчетом;

(застосувати метод статистичного випробування (стежити появою події та потім частоті його оцінити вероятность.

Насправді доводиться використовувати обидва методу, бо дуже рідко можна бути абсолютно впевненим в застосованої схемою події (недолік методу моделювання) і саме рідко частота появи події досить швидко стабілізується зі зростанням числа спостережень (недолік методу испытаний).

Розподілу ймовірностей випадкових величин.

1 Шкалирование випадкових величин.

Як зазначалося, дискретної називають величину, яка може приймати одна з лічильного безлічі про «допустимих» значень. Прикладів дискретних величин, які мають деяка іменована одиниця виміру, можна навести досить много.

Насамперед, слід врахувати те що що це фізичні величини (вагу, відстані, площі, об'єми та т.д.) теоретично можуть приймати відвідувачів незліченну кількість значень, але (ті значення, які ми можемо встановити вимірювальними приладами. І це отже, що у прикладної статистиці цілком можна поширити поняття дискретних СВ попри всі без винятку чисельні описи величин, мають одиниці измерения.

Разом про те не треба забувати, деякі СВ просто більше не мають кількісного описи, природних одиниць виміру (рівень знань, якість продукції і на т. п.).

Покажемо, що розв’язання питання про «одиницях виміру» будь-яких СВ, з якими має справу в прикладної статистиці, досить використовувати чотири виду шкал.

(Nom. Першою з них розглянемо так звану номінальну шкалу — застосовується до тих величинам, які мають природної одиниця виміру. Нерідко нам доводиться вважати випадковими такі показники предметів чи явищ навколишнього нас світу, як марка автомобіля; національність людини або його підлогу, соціальне становище; колір деякого вироби і т.п.

У цих ситуаціях можна казати про випадковому подію («входить у магазин відвідувач виявився чоловіком », а цілком припустимо розглядати підлогу відвідувача як дискретну СВ, яка прийняла одна з допустимих значень у своїй номінальною шкале.

Отже, якщо деяка величина може приймати у своїй номінальною шкалою значення X, Y чи Z, то припустимими вважаються лише висловів типу: X # Y, X=Z, тоді як висловлювання на кшталт X (Z, X + Z немає ніякого смысла.

(Ord. Другий спосіб шкалювання — використання порядкових шкал. Вони незамінні для СВ, які мають природних одиниць виміру, але дозволяють застосовувати поняття переваги одного значення іншому. Типовий приклад: оцінювання знань (навіть за числовому описі), службові рівні й т. п. Для таких величин дозволені як відносини рівності (= чи #), а й знаки переваги (> чи.