Багатогранники

[pic]На тему: «Тіла Платона».

«Правильні многогранники».

[pic].

Выполнил учень 10"А" класу Викладач Школы№ 528 ЦАО р. Москви Сурін М. Н.

Савельев До. А.

Москва 3.03.1999 год.

Тіла Платона.

Правильні многогранники.

Є у шкільної геометрії особливі теми, які чекаєш із яким нетерпінням, очікуючи зустрічі робитиме із досить гарним матеріалом. До таких тем можна віднести «Правильні багатогранники ». Тут як відкривається дивовижний світ геометричних тіл, які мають неповторними властивостями, а й цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.

Жодні геометричні тіла що немає таким досконалістю і бездоганною красою, як правильні багатогранники. «Правильних багатогранників визивно мало, — написав колись Л. Кэролл, — але це досить скромний за чисельністю загін зумів пробратися в глибини різних наук » .

Яке йому це визивно невелика кількість і чому їхній саме стільки. А скільки? Виявляється, рівно п’ять — ні більше, ані менше. Підтвердити це можна з допомогою розгорнення опуклого багатогранного кута. У насправді, для здобуття права отримати який-небудь правильний багатогранник відповідно до його визначенню, у кожному вершині має сходитися однакову кількість граней, кожна з яких є правильною многоугольником. Сума пласких кутів багатогранного кута має бути меншою 360о, інакше ніякої багатогранної поверхні годі. Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60к < 360, 90к < 360 і 108к < 360, можна довести, що правильних багатогранників рівно п’ять (до — число пласких кутів, збіжних в однієї вершині багатогранника), мал.1. [pic]Названия правильних багатогранників надійшли з Греції. У дослівному перекладі із грецької «тетраэдр », «октаэдр », «гексаэдр », «додекаэдр », «икосаэдр «означають: «чотиригранник », «октаедр », «шестигранник ». «двенадцатигранник », «двадцатигранник ». Цим гарним тілах присвячена 13-та книга «Почав «Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, т.к. вони обіймали важливе місце у філософської концепції Платона про побудову світобудови. Чотири багатогранника уособлювали у ній чотири сутності чи «стихії «. Тетраэдр символізував вогонь, т.к. його вершина спрямована вгору; икосаэдр — воду, т.к. він є «обтічний »; куб — землю, як найбільш «стійкий »; октаэдр — повітря, як найбільш «повітряний ». П’ятий багатогранник, додекаэдр, втілював у собі «все суще », символізував все світобудову, вважався главным.

Гармонійні відносини древні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії мали пов’язані такий пропорцією: земля/вода=воздух/огонь. Атоми «стихій «настроювалися Платоном в скоєних консонансах, як чотири струни ліри. Нагадаю, що консонансом називається приємне співзвуччя. Треба сказати, що своєрідні музичні відносини у платонових тілах є суто умоглядними не мають під собою жодної геометричній основи. Цими відносинами пов’язані ні число вершин платонових тіл, ні обьемы правильних багатогранників, ні число ребер чи граней.

У зв’язку з цими тілами доречно буде сказати, що як перша система елементів, куди входили чотири елемента — землю, воду, повітря і вогонь, — була була канонізована Арістотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови багато століть. Цілком можливо ототожнити їх з такими відомими нам чотирма станами речовини — твердим, рідким, газоподібним і плазменным.

Важливе місце займали правильні багатогранники у системі гармонійного світобудови І. Кеплера. Та сама віра у гармонію, вроду й математично закономірне пристрій світобудови привела І. Кеплера до думки у тому, що позаяк існує п’ять правильних багатогранників, то їм відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет пов’язані між собою вписаними у яких платоновыми тілами. Коли щодо кожного правильного багатогранника центри уписаної і описаної сфер збігаються, то вся модель матиме єдиний центр, у якому перебувати Солнце.

Проробивши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р. І. Кеплер у книзі «Таємниця світобудови «опублікував результати своєї відкриття. До сфери орбіти Сатурна він вписує куб, в куб — сферу Юпітера, до сфери Юпітера — тетраэдр, тощо послідовно вписуються один одного сфера Марса — додекаэдр, сфера Землі - икосаэдр, сфера Венери — октаэдр, сфера Меркурія. Таємниця світобудови здається открытой.

Сьогодні упевнено сказати, що відстані між планетами не пов’язані ні з якими многогранниками. Втім, можливо, що «Таємниці світобудови », «Гармонії світу «І. Кеплера, правильних багатогранників був б трьох знаменитих законів І. Кеплера, котрі грають значної ролі в описі руху планет.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла? У дуже красивою книзі німецького біолога початку ХХ століття Еге. Геккеля «Краса форм у природі «можна прочитати такі рядки: «Природа вигодовує своєму лоні невичерпне кількість дивних створінь, котрі за до краси і розмаїттям далеко перевершують все створені мистецтвом людини форми ». Творіння природи, наведені у цій книжці, будуть вродливі й симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але тут також і одноклітинні організми — феодарии, форма яких точно передає икосаэдр. А чим викликана така природна геометризация? Можливо, тим, що із усіх багатогранників з такою самою кількістю граней саме икосаэдр має найбільший обсяг і найменшу площа поверхні. Це геометричне властивість допомагає морському микроорганизму долати тиск водної толщи.

Цікаво відзначити й те, що саме икосаэдр був у центрі уваги біологів у тому суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути цілком круглим, як вважалося раніше. Щоб виявити його форму, брали різні багатогранники, направляли ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, лише одна багатогранник дає точно таку ж тінь — икосаэдр. Його геометричні властивості, про які йшлося вище, дозволяють заощаджувати генетичну інформацію. Правильні багатогранники — найвигідніші постаті. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюминиевокалієвих квасцов (KAlSO4)2 12Н2О має форму октаэдра, кристал сірчистого колчедана FeS має форму додекаэдра, сурьменистый сірчанокислий натрій — тетраедра, бір — икосаэдра. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних решіток деяких хімічних речовин. Проілюструю цю думку наступній завданням. Завдання. Модель молекули метану CH4 має форму правильного тетраедра, в чотирьох вершинах котрого зберігаються атоми водню, а центрі - атом вуглецю. Визначити кут зв’язок між двома СП связями.

[pic] Рішення. Оскільки правильний тетраэдр має шість рівних ребер, можна підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного тетраедра (мал.2). Центр куба є і центр тетраедра, адже чотири вершини тетраедра є і вершинами куба, а описувана близько них сфера однозначно визначається чотирма точками, не лежать одноплощинно. Зазначений кут j між двома СП зв’язками дорівнює розі АОС. Трикутник АОСрівнобедрений. Звідси, де, а — сторона куба, dдовжина діагоналі бічний межі або ребро тетраедра. Отже,, звідки =54,73 561О і j= 109,47О.

Ідеї Піфагора, Платона, І. Кеплера зв’язок правильних багатогранників з гармонійним світобудовою вже у час знайшли собі продовження в цікавою наукової гіпотезі, авторами якої (на початку 1980;х років) з’явилися московські інженери У. Макаров і У. Морозов. Вони вважають, що ядро Землі має форму і їхні властивості зростаючого кристала, оказывающего вплив в розвитку всіх природних процесів, які йдуть планети. Промені цього кристала, а точніше, його силове полі, зумовлюють икосаэдрододекаэдрическую структуру Землі (рис.3), проявляющуюся у цьому, що у земної корі хіба що проступають проекції уписаних в земну кулю правильних багатогранників: икосаэдра і додекаэдра. Їх 62 вершини і середини ребер, званих авторами вузлами, мають ряд специфічних властивостей, дозволяють пояснити тільки деякі незрозумілі явления.

[pic].

Якщо завдати на глобус осередки найбільших і примітних культур і цивілізацій Стародавнього світу, можна побачити закономірність у тому розташуванні щодо географічних полюсів, і екватора планети. Багато поклади з корисними копалинами тягнуться вздовж икосаэдрово-додекаэдровой сітки. Ще дивовижні речі відбуваються у місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обская культура та інші. У цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану, тут шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. Подальші дослідження Землі, можливо, визначать ставлення до цієї красивою наукової гіпотезі, у якій, очевидно, правильні багатогранники займають важливе место.

Отже, з’ясовано, що правильних багатогранників рівно п’ять. Але як накинути у них кількість ребер, граней, вершин? Це неважко б зробити багатогранників з гаком числом ребер, бо як, наприклад, отримати такі відомості для икосаэдра? Знаменитий математик Л. Эйлер отримав формулу В+ГР=2, яка пов’язує число вершин /У/, граней /Р/ і ребер /Р/ будь-якого багатогранника. Простота цієї формули у тому, що вона пов’язана ні з відстанню, ні з кутами. Щоб визначити число ребер, вершин і граней правильного багатогранника, знайдемо спочатку число к=2у — ху+2х, де x — число ребер, що належать однієї межі, у — число граней, збіжних лише у вершині. Для перебування кількості граней, вершин і ребер правильного багатогранника використовуємо формули. Після цього неважко заповнити таблицю, у якій подано відомостей про елементах правильних багатогранників: багатогранник Р У Р тетраэдр 4−4-6 гексаэдр 6−8-12 октаэдр 8−6-12 додекаэдр 12−20−30 икосаэдр 20−12−30.

І ще одного питання виникає у зв’язки й з правильними многогранниками: чи можна ними заповнити простір те щоб між ними було просвітів? Він утворюється за аналогією з правильними багатокутниками, деякими із яких заповнити площину. Виявляється, заповнити простір лише з допомогою одного правильного многогранника-куба. Простір можна заповнити і ромбическими додекаэдрами. Щоб це зрозуміти, необхідно вирішити завдання. Завдання. З допомогою семи кубів, їхнім виокремленням просторовий «хрест », побудуйте ромбододекаэдр і покажіть, що вони можна заповнити пространство.

[pic] Рішення. Кубами можна заповнити простір. Розглянемо частина кубічної грати, зображеною на рис. 4. Середній куб залишимо недоторканим, а кожному з «що оточували «кубів проведемо площині крізь ці шість пар протилежні ребер. У цьому «які обмережують «куби розіб'ються на шість рівних пірамід з квадратними підвалинами будівель та бічними ребрами, рівними половині діагоналі куба. Піраміди, що примикають до незайманому кубу, і утворюють разом із останнім ромбічний додекаэдр. Отже, що ромбическими додекаэдрами можна заповнити все простір. Як наслідок отримуємо, що міра ромбического додекаэдра дорівнює подвоєному обсягу куба, ребро якого збігаються з меншою діагоналлю межі додекаэдра.

Вирішуючи останню завдання, домовилися до ромбічним додекаэдрам. Цікаво, що бджолині осередки, які теж заповнюють простір без просвітів, також є у ідеалі геометричними постатями. Верхня частина бджолиної осередки є частина ромбододекаэдра.

Отже, правильні багатогранники відкрили нам клопотання науковців наблизитися до таємниці світової гармонії й виявили надзвичайну привабливість геометрии.

[pic].