Вирішення системи рівнянь, матриць

Завдання 1. Розв’язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера

Розв’язок:

а). За формулами Крамера:

Знайдемо визначники Д , Д, Д, Д:

За формулами:

Відповідь:

б). Методом Гауса:

Складемо розширену матрицю системи:

Таким чином, початкова система має бути зображена у вигляді:

Звідси отримаємо:

Відповідь:

Завдання 2. Знайти власні значення і власні вектори матриці

Розв’язок:

І). Знайдемо власні числа з характеристичного рівняння:

ІІ). Для кожного знайдемо його власний вектор. Для цього запишемо однорідну систему рівнянь її спільне рішення.

=> =>

=> =>

=> => =>

Завдання 3. І) Знайти косинус кута між векторами

Розв’язок:

= {(-4)-(-1),(-2)-(-2), 5−1} = {-3,0,4}

= {(-8)-(-1),(-2)-(-2), 2−1} = {-7,0,1}

Відповідь:

ІІ) Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2, A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1, A2, A3.

Розв’язок:

1. Із вершини A1 проведемо вектори:

A1A2 = {-2,1,3}, A1A3 = {-2,-6,7}, A1A4 = {5,1,11}.

2. Обчислюємо змішаний добуток:

(А1А2, А1А2, А1А4) =

і знаходимо об'єм тетраедра за формулою:

Vт. = (од. довжини)і.

3. Обчислюємо координати векторного добутку:

{-11,-20,14}

та його модуль:

4. Знаходимо висоту h по формулі:

h = (од. довжини).

Відповідь: h = 7 од. довжини.

Завдання 4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y= -8 + 16x і y = - 10 +19x , де x — кількість товару в сотнях штук, а y - прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині

Розв’язок:

— 10+19х > -8+16х

3х > 2

х > 0,667

Отже, при кількості більше 667 штук в другому магазині прибуток більше.

Відповідь: Більш вигідним стає продаж у другому магазині починаючи з 668 штук товару.

Завдання 5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (0,1,1), В (4,6,4), С (8,3,3)

Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої, яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.

Розв’язок:

Знайдемо координату точки Е:

Рівняння медіани знайдемо за формулою:

— рівняння медіани АЕ

Довжина медіани АЕ знаходимо за формулою:

Координати векторів і знаходимо за формулами СА = (0−8; 1−3; 1−3) = (-8; -2; -2)

СВ = (4−8; 6−3; 4−3) = (-4; 3; 1)

Внутрішній кут С у радіанах знаходимо за формулою:

Векторний добуток векторів і знаходимо за формулою:

Знайдемо площу трикутника АВС:

Довжина сторони СВ знаходимо за формулою:

Знайдемо довжину висоти АD:

Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку Е (4, 2, 2) паралельно прямій сторони АВ.

Рівняння АВ знайдемо за формулою:

— рівняння прямої АВ Рівняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно прямій АВ знаходимо за формулою:

Завдання 6. Обчислити границі

а); б) ;

в); г); д) .

Рішення:

а).

б).

в).

г).

Завдання 7. Продиференціювати вказані функції

а); б) ;

в) .

Розв’язок:

а). ;

Відповідь:

в) .

;

;

;

.

Відповідь:

Завдання 8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік

Розв’язок:

1.Область визначення

2. Область значення

3. Функція парна, неперіодична.

4. Точка перетину з віссю

оу:

х=0; у=1

(0; 1)

ох:

у=0; х — 1=0

х=1

(1; 0)

5. Знайдемо критичні точки:

y`=0

Завдання 9. Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення: а). cos59є б).

Розв’язок:

а) Розглянемо функцію y=cosx

Значення cos59є відносно мало відрізняється від cos60є. Тому

.

Скористаємось формулою:

де :

Отримаємо:

Відповідь:

б).

Розглянемо функцію

Візьмемо за

Знайдемо похідну функції:

;

Відповідь:

Завдання 10. Знайти найбільше та найменше значення функції двох змінних: z = x2 + y2-xy-xy у замкнутім трикутнику, обмеженому прямими x =1, y= 0, x +3y= 6.

Розв’язок:

1. Знайдемо стаціонарні точки:

Отримаємо одну стаціонарну точку, А (1,1).

z (1; 1) =- 1.

2. Знайдемо найбільше і найменше значення функції, що складається з трьох ліній: x = 0, y = 0, x + y = 3

а) x = 0, звідси z = y2-y, z / = 2y-1 = 0, y = 0,5. Точка B (0; 0,5) належить відрізку ОС. z (0; 0,5) =- 0,25.

б) y = 0, z = x2−2x = 0, x = 0,5. Точка D (0,5; 0) належить відрізку ОК. z (0,5; 0) =- 0,25.

в) y = 3-x, z = x2-(3-x) 2-x (3-x)-x-(3-x) або z = 3×2−9x +6, z / = 6x-9, x = 1,5. Точка Е (1,5; 1,5) лежить на відрізку КС. z (1,5; 1,5) =- 0,75.

Знайдемо значення функції в точках перетину ліній.

z (0,0) = 0, z (3,0) = 6, z (0,3) = 6.

Виберемо найбільше і найменше значення: zнайб = 6, zнайм =- 1 .

Відповідь: zнайб = 6, zнайм =- 1

рівняння вектор косинус функція

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Валєєв К. Г. Математичний практикум: Навчальний посібник. — К.: КНЕУ, 2004. — 682 с.

2. Данко П. Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие. — М.: Изд-во МАИ, 2000. — 228 с.

3. Жлуктенко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика. / Навчально-методичний посібник в 2-х ч.: Ч.2. Математична статистика. — К.: КНЕУ, 2000. — 336 с.

4. Кремер Н. Ш. Высшая математики для экономистов: Учебник для вузов математика для економістів — 2-е изд. — М.: ЮНИТИ, 2002. — 471 с.

5. Чупілко Т.А., Хрущ Я. В. Математика для економістів. / Навчально-методичний посібник в 2-х ч. Ч.І Вища математика. — Дніпропетровськ: ДДФА, 2010. 367 с.