Курсова робота з чисельним методам

1. Методом Крилова розгорнути характеристичне визначник матриці А=[pic]. Вихідну систему лінійних рівнянь вирішити методом Жордана-Гаусса.

Рішення. Метод Крилова грунтується на властивості квадратної матриці перетворювати на нуль свій характеристичний многочлен.

Відповідно до теоремі Гамильтона-Кали, всяка квадратна матриця є коренем свого характеристичного багаточлена і, отже, звертає його в нуль.

Пусть.

[pic] - (1) характеристичний многочлен.

Замінюючи у натуральному вираженні (1) величину [pic] на [pic], получим.

[pic]. (2).

Візьмемо довільний ненульовий вектор

[pic]. (3).

Помножимо обидві частини виразу (2) на [pic]:

[pic] (4).

Положим.

[pic], (5) т. е.

[pic] (6).

З огляду на (5), вираз (4) запишемо в виде.

[pic], (7) чи виде.

[pic].

Вирішуємо систему (7). Якщо цю систему має єдине рішення, то її коріння [pic] є коефіцієнтами характеристичного багаточлена (1).

Якщо відомі коефіцієнти [pic] і коріння [pic] характеристичного багаточлена, то метод Крилова дає можливість знайти відповідні власні вектори за такою формуле:

[pic] (8).

Тут [pic] - вектори, використані під час перебування коефіцієнтів [pic] методом Крилова, а коефіцієнти [pic] визначаються за схемою Горнера.

[pic] (9).

Використовуючи усі наведені вище сказане, розгорнемо характеристична визначник матриці А=[pic] методом Крылова.

Виберемо як початкового наступний вектор:

[pic], [pic].

Вычислим.

[pic][pic][pic].

Складемо матричне уравнение.

[pic], чи [pic].

Отриману систему рівнянь вирішимо методом Жордана-Гаусса. | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |1|9 |2 |0 |-72 |-61 |-61 | | |-1 |1 |0 |-3 |-3 |-3 | | |30 |5 |1 |-167 |-131 |-131 | |2|1 |2/9 |0 |-8 |-61/9 |-61/9 | |3|1 |0 |0 |-6 |-5 |-5 | | |0 |1 |0 |-9 |-8 |-8 | | |0 |1 |0 | | | | | |0 |0 |1 | | | |.

З результатів таблиці, маємо [pic].

Отже характеристичний рівняння матриці [pic] має вид.

[pic] 2. Для визначення власних чисел матриці [pic] вирішити отримане характеристичне рівняння третьої степени.

[pic].

Дане кубічне рівняння годі розв’язати стандартними засобами. Скористаємося цієї мети числовими методами, а точніше методами наближеного вычисления.

2.1 Дослідження функции.

Обчислимо першу і другу похідні даної функции.

[pic].

[pic].

Необхідно вибрати інтервал, у якому знаходитимемо решение.

Для відділення коренів є кілька способів. Найбільш популярні їх — графічний і аналитический.

У літературі розглядаються ці засоби окремо. За завданням курсової роботи потрібно відокремити коріння кожним із цих способів. Ризикну порушити цю вимога, воєдино ці дві способу до одного. Тобто досліджувати функцію аналітично і з результатів дослідження побудувати приблизний графік функции.

Областю значень вихідного рівняння є вся вісь [pic].

Прирівнявши першу похідну нанівець, ми маємо очікувати критичні точки даної функції (точки мінімумів і максимумів, або ж точки, у яких функція не определена).

[pic].

[pic].

[pic].

Слід зазначити, що з обчислення квадратного кореня, також застосовні числові методи, у яких і засновані микрокалькуляторы і програми для ЕОМ. Дані методи засновані на логарифмировании кореня і наступного вычисления.

[pic].

[pic] обчислюється з допомогою числового ряда.

[pic].

Рівняння [pic] має рішення [pic], [pic]. Змінивши знак рівності на знак нерівності (< чи >), можемо знайти проміжки зростання і зменшення функции.

Функція зростає на проміжку [pic] і убуває на проміжку [pic]. Підставивши у початковий рівняння значення критичних точок, маємо в результаті для [pic] й у [pic].

Прирівнявши другу похідну нанівець, ми можемо знайти точку перегину і, відповідно, знайти інтервал, у якому функція опуклі і вогнутая.

[pic].

[pic].

[pic].

Далі необхідно знайти, інтервали, у яких графік функції перетинає вісь [pic].

Відразу можна визначитися, що це при [pic] значення функції більше нуля, а при [pic] - менше нуля, то одне з точок перетину, лежатиме цьому інтервалі. Провівши не хитрі математичні обчислення значення функції для [pic], сузим інтервал до [pic].

Далі розглянемо решта два интервала.

Відомо, що з [pic] - значення функції негативно, а першої критичної точці позитивно, то будемо звужувати цей відтинок. У цьому разі застосуємо метод половинного розподілу. |[pic]|[pic] | |0 |58 | |-100 |-1 059 042 | |-50 |-139 492 | |-25 |-19 092 | |-12 |-2426 | |-6 |-320 | |-3 |4 | |-5 |-172 | |-4 |-66 | |[pic] |[pic] | |4 |-10 | |100 |939 158 | |50 |109 608 | |25 |11 708 | |12 |814 | |6 |4 | |5 |-12 |.

Отже одержали ще один інтервал [pic].

Наступний становитиме від [pic] і по бесконечности.

Зробимо аналогічні обчислення й одержимо проміжок [pic].

З виробленого аналізу побудуємо графік вихідної функції. [pic].

2.2 Метод хорд.

Відразу слід зазначити, що є два випадку (варіанта) при рішенні методом хорд.

Випадок перший. Перша й друга похідні функції мають однакові знаки, тобто. [pic].

І тут итерационный процес здійснюємо по формуле.

[pic].

Випадок другий. Перша й друга похідні функції мають різні знаки, тобто. [pic].

І тут итерационный процес здійснюємо по формуле.

[pic].

Для оцінки точності наближення можна скористатися формулой.

[pic], де [pic] при [pic], [pic] - точне значення корня.

Отже вирішимо наше рівняння [pic] методом хорд з точністю [pic].

2.2.1 Інтервал [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Оскільки перша й ті похідні у точці, від якої ми починаємо працювати мають різні знаки, то працюємо за другим варианту.

Результати обчислення наведені у таблиці. |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |-4,0 |-3,0 |-66,0 |4,0 |0,740 741 | |-4,0 |-3,1 142 857 |-66,0 |-2,3 688 397 |0,438 674 | |-4,0 |-3,440 850 |-66,0 |1,5 901 736 |0,294 477 | |-4,0 |-3,901 012 |-66,0 |-0,9 879 693 |0,182 957 | |-4,0 |-3,610 770 |-66,0 |0,6 456 578 |0,119 566 | |-4,0 |-3,798 611 |-66,0 |-0,4 086 778 |0,75 681 | |-4,0 |-3,678 974 |-66,0 |0,2 640 772 |0,48 903 | |-4,0 |-3,755 972 |-66,0 |-0,1 684 077 |0,31 187 | |-4,0 |-3,706 743 |-66,0 |0,1 083 107 |0,20 058 | |-4,0 |-3,738 353 |-66,0 |-0,692 833 |0,12 830 | |-4,0 |-3,718 112 |-66,0 |0,444 729 |0,8 236 | |-4,0 |-3,731 096 |-66,0 |-0,284 836 |0,5 275 | |-4,0 |-3,722 776 |-66,0 |0,182 690 |0,3 383 | |-4,0 |-3,728 111 |-66,0 |-0,117 068 |0,2 168 | |-4,0 |-3,724 692 |-66,0 |0,75 061 |0,1 390 | |-4,0 |-3,726 884 |-66,0 |-0,48 109 |0,891 | |-4,0 |-3,725 479 |-66,0 |0,30 843 |0,571 | |-4,0 |-3,726 380 |-66,0 |-0,19 770 |0,366 |.

[pic].

2.2.2 Інтервал [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Оскільки перша й ті похідні у точці, від якої ми починаємо працювати мають різні знаки, то працюємо за другим варианту.

Результати обчислення наведені у таблиці. |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |3,0 |4,0 |4,0 |-10,0 |-0,2 222 222 | |3,0 |3,2 857 143 |4,0 |-0,8 746 356 |-0,485 909 | |3,0 |3,2 344 498 |4,0 |-0,423 087 |-0,23 505 | |3,0 |3,2 319 959 |4,0 |-0,19 734 |-0,1 096 | |3,0 |3,2 318 815 |4,0 |-0,919 |-0,51 |.

[pic].

2.2.3 Інтервал [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Оскільки перша й ті похідні у точці, від якої ми починаємо працювати мають однакові знаки, то працюємо за першим варианту.

Результати обчислення наведені у таблиці. |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |5,0 |6,0 |-12,0 |4,0 |0,6 666 667 | |5,7 500 000 |6,0 |-2,156 250 |4,0 |0,3 359 375 | |5,8 337 662 |6,0 |-0,1 613 014 |4,0 |0,268 836 | |5,8 402 098 |6,0 |-0,120 198 |4,0 |0,20 033 | |5,8 406 885 |6,0 |-0,8 909 |4,0 |0,1 485 | |5,8 407 240 |6,0 |-0,660 |4,0 |0,110 |.

[pic].

Отже, корінням рівняння [pic] будуть [pic], [pic], [pic].

2.3 Метод дотичних (метод Ньютона).

У добу повальної комп’ютеризації не є добре вважати з допомогою логарифмічною лінійки. Тому, розробимо алгоритм і прикладну програму на вирішення кубічних рівнянь методом Ньютона.

Нижче приведено блок-схема алгоритму і лістинг програми, реалізує даний алгоритм мовою З++. Також наводжу текст, яка видає дана програма під час вирішення вихідного уравнения.

[pic] //метод Ньютона длЯ решениЯ кубічних рівнянь #include #include double a[4]={0}, b[3]={0}, c[2]={0}, prec=0.0; double minim=0, maxim=0; void Hello (void); void Input (); void Derivative (); void Calculation (); double Calc_Fun (double); double Calc_First (double); double Calc_Second (double); main (void) {.

Hello ();

Input ();

Derivative ();

Calculation (); return 0; } void Hello (void) { cout.