Визначений інтеграл (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

" Визначений інтеграл" .

1. Властивості визначеного інтеграла.

Означення визначеного інтеграла було до цього часу дане для інтервалу, тобто при. Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:

10.

Доводять це твердження на основі побудови інтегральних сум, роздроблюючи інтервал на частини в напрямі від до точками на осі з абсцисами.

де Якщо перелік точок розбиття вести від до, матимемо.

Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:

де — довільна точка з інтервалу.

Перейшовши в цих сумах до границі, коли, одержимо.

20. .

Доведення легко здійснити, вважаючи у попередній властивості.

30. Для довільних двох інтегрованих функцій, і постійних має місце рівність.

Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця властивість справедлива для довільного числа доданків.

40. Для довільних трьох чисел справедлива рівність.

(1).

Доведемо спочатку це твердження для Побудуємо інтегральні суми на інтервалі і на інтервалах і.

Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способів розбиття відрізка на частинки, то ми можемо розбити відрізок на малі відрізки так, щоби точка була точкою поділу. Тоді інтегральну суму по всьому відрізку можна розбити на дві інтегральні суми (по відрізку та по відрізку):

Перейшовши в даній рівності до границі при одержимо співвідношення (1).

Якщо то за доведеною властивістю можна написати.

звідки.

50. Нехай на — інтегрована на. Тоді.

.

що очевидно. Звідси .

Величина називається середнім значенням інтеграла. Очевидно, що між числами i знайдеться таке число, що. Але це число, яке знаходиться між найменшим та найбільшим значенням неперервної функції повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.

60. Теорема (про середнє). Якщо — неперервна на відрізку і, то на знайдеться таке число, що.

. (2).

70. Якщо на відрізку, де функції і задовольняють умові то.

(3).

Розглянемо різницю.

Тут кожна різниця.

Отже, кожний доданок суми невід'ємний, невід'ємна і вся сума, а тому і границя невід'ємна, тобто.

Із (10.4) при одержимо, що для.

80. Якщо на — інтегрована і, то.

2. Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції.

Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій, а також формула Сімпсона.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу $$\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\text{dx}$$, де $$f\left(x\right)$$ є деяка заданая на проміжку $$\left[a,b\right]$$ неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в скінченному вигляді, або ж — минуя первістну — за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас интегралівза його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл $$\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\text{dx}$$ як площу деякої фігури, яка обмежена кривою $$y=f\left(x\right)$$, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючі ту думку, яка привела нас до самого поняття о визначеном інтегралі, можно розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини $$D_{x_i}=\frac{b-a}{n}$$, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\text{dx}=\frac{b-a}{n}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x{}_2\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+f\left(x_{n-1}\right)\right]$$ ,.

де $$x_i<=x_i<=x_{i+1}$$ $$(i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-1)$$. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.

На практиці зазвичай беруть $${}_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=x_{i+1/2}-$$ якщо відповідну середню ординату $$f\left({}_i\right)=f\left(x_{i+1/2}\right)$$ позначити через $$y_{i+1/2}$$, то формула перепишеться у вигляді.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\text{dx}=\frac{b-a}{n}\left(y_{1/2}+y_{3/2}+\text{.}\text{.}\text{.}+y_{n-1/2}\right)$$. (1).

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природньо приводять і до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках $$\left(xi,yi\right)$$, где $$y_i=f\left(x_i\right)$$ $$\left(i=\mathrm{0,1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-1\right)$$. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис. 1.). Якщо, як і раніш рахувати, що.

проміжок $$\left[a,b\right]$$ разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть.

$$\frac{b-a}{n}\frac{y_0+y_1}{2},\frac{b-a}{n}\frac{y{}_1+y_2}{2},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{b-a}{n}\frac{y_{n-1}+y_n}{2}$$ .

Мал. 2.

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\text{dx}=\frac{b-a}{n}\left(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+\text{.}\text{.}\text{.}+y_{n-1}\right)$$. (2).

Це так звана формула трапецій.

Можно показати, що при зростанні $$n$$ до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому $$n$$ обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

Використана література.

1. 1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. — Т. 1. — М.: 1988.

2. 2.Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.

   М.: 1989.