Рівняння в повних диференціалах (реферат)

Рівняння в повних диференціалах

Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння.

$$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$.

є повним диференціалом деякої функції $$u(x,y)$$, тобто.

$$\text{du}(x,y)=M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}$$

.

.

і, таким чином, рівняння приймає вигляд $$\text{du}(x,y)=\mathrm{0,}$$ то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз.

$$u(x,y)=C$$.

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності.

$$\frac{M(x,y)}{y}=\frac{N(x,y)}{x}\text{.}$$.

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді.

$$\frac{u(x,y)}{x}=M(x,y),\frac{u(x,y)}{y}=N(x,y)\text{.}$$.

Звідси $$u(x,y)={}_{}^{}M(x,y)\text{dx}+(y),$$ де $$(y)$$ — невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по $$y$$ і прирівняємо $$N(x,y)\text{.}$$.

$$\frac{u(x,y)}{y}=\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)+\frac{\mathit{d}(y)}{\text{dy}}=N(x,y)\text{.}$$.

Звідси.

$$(y)={}_{}^{}\left[N(x,y)-\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)\right]\text{dy}$$

.

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд.

$${}_{}^{}M(x,y)\text{dx}+{}_{}^{}\left[N(x,y)-\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)\right]\text{dy}=C\text{.}$$.

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал.

$$\text{du}(x,y)=M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}$$

.

.

то $$u(x,y)$$ можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку $$(x_0,y_0)$$ і точку із змінними координатами $$(x,y)$$. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла.

$$\begin{array}{c}u(x,y)={}_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=\\ {}_{(x_0,y_0)}^{(x,y_0)}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{(x,y_0)}^{(x,y)}N(x,y)\text{dy}=\\ ={}_{x_0}^{x}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{y_0}^{y}N(x,y)\text{dy}\text{.}\end{array}$$.

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

$${}_{x_0}^{x}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{y_0}^{y}N(x,y_0)\text{dy}=0$$

.

.

Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння.

$$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$.

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція $$=(x,y)$$ така, що рівняння.

$$(x,y)M(x,y)\text{dx}+(x,y)N(x,y)\text{dy}=0$$.

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність.

$$\frac{}{y}((x,y)M(x,y))=\frac{}{x}((x,y)N(x,y)$$

.

.

або.

$$\frac{}{y}M+\frac{M}{x}=\frac{}{y}N+\frac{N}{x}$$

.

.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції $$y(x)$$ одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції $$(x,y)$$. Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію $$(x,y)$$, наприклад $$=((x,y)),$$ де $$(x,y)$$ — відома функція. В цьому випадку одержуємо.

$$\frac{}{y}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{y},\frac{}{x}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{x}\text{.}$$.

Після підстановки в рівняння маємо.

$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{y}M+\frac{M}{y}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{x}N+\frac{N}{x}$$

.

.

або.

$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\left[N\frac{}{x}-M\frac{}{y}\right]=\left[\frac{M}{y}-\frac{N}{x}\right]$$

.

.

Розділимо змінні.

$$\frac{\mathit{d}}{}=\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{N\frac{}{x}-M\frac{}{y}}\mathit{d}\text{.}$$.

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

$$((x,y))=\text{exp}\left\{{}_{}^{}\frac{\frac{}{y}-\frac{N}{x}}{N\frac{}{x}-M\frac{}{y}}\mathit{d}\right\}$$

.

.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай $$(x,y)=x$$. Тоді $$\frac{}{x}=\mathrm{1,}\frac{}{y}=\mathrm{0,}\mathit{d}=\text{dx}\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{N}\text{dx}\right\}$$

.

.

2) Нехай $$(x,y)=y$$. Тоді $$\frac{}{x}=\mathrm{0,}\frac{}{y}=\mathrm{1,}\mathit{d}=\text{dy}\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{-M}\text{dy}\right\}$$.

3) Нехай $$(x,y)=x^2\pm y^2$$ .Тоді.

$$\frac{}{x}=2x,\frac{}{y}=\pm 2y,\mathit{d}=d(x^2\pm y^2)\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x,y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{2\text{xN}\pm 2\text{yM}}d(x^2\pm y^2)\right\}$$

.

.

4) Нехай $$(x,y)=\text{xy}$$. Тоді $$\frac{}{x}=y,\frac{}{y}=x,\mathit{d}=d(\text{xy})\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x,y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{\text{yN}-\text{xM}}d(\text{xy})\right\}$$

.

.