Гармонічні коливання (незатухатухаючі) (реферат)
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики — коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку. Для будь-яких сталих A і розв’язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв’язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв’язок рівняння (31). Як бачимо, загальний розв’язок (32) рівняння (31… Читати ще >
Гармонічні коливання (незатухатухаючі) (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат з математики Гармонічні коливання (незатухатухаючі).
х''+ x= 0, (31).
де — деяке додатне число.
Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція.
х == A cos ( t+ (32).
для будь-яких сталих A і розв’язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв’язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв’язок рівняння (31).
Функція (32) для будь-яких заданих А, і писує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число називають частотою коливання.
Число коливань за одиницю часу визначають за формулою math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2 .
Як бачимо, загальний розв’язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду, А і початкову фазу . Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,.
x (t0)=x0, x'(t0)=v0. (33).
Тоді для визначення сталих, А і дістанемо таку систему рівнянь:
. | (34). |
Звідки A2cos2(+ A2sin2(+02+ ,.
A2=x02+ .
Можна вважати, що A>0, тоді A= .
Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригонометрії визначають початкову фазу a.
З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв’язку рівняння (31).
Справді, Поклавши, що дістанемо:
.
До такого диференціального рівняння приводять, наприклад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики — коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.
Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розглянуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з’являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).