Множини. 
Відображення. 
Відношення (реферат)

Реферат на тему:

Множини. Відображення. Відношення.

§ 1. Множини а) Означення множини. Операції над множинами.

Під множиною розуміють довільну сукупність об'єктів, які називають елементами цієї множини. Позначаються множини зазвичай великими буквами алфавітів, а елементи множин — малими буквами того ж алфавіту. Символічний запис $$aA$$ означає, що, а є елементом множини А, або, а належить множині А. Заперечення цього факту позначається $$aA$$. Якщо множина задається переліченням її елементів, то вони записуються в фігурних дужках. Наприклад, $$A=\left\{\mathrm{1,3,9}\right\}$$ — множина степенів трійки, що знаходяться в першій десятці натуральних чисел. Для означення множини, А часто використовують якусь властивість, притаманну тільки елементам із А. Наприклад, $$\left\{nZ|n>0\right\}=N$$ — множина натуральних чисел.

Кажуть, що множина В — підмножина множини, А (В міститься в А), якщо кожен елемент множини В є елементом множини А. Позначають $$BA$$. Символічний запис: $$BA\left[xB=>xA\right]$$ .

Порожня множина o, яка зовсім не містить елементів, за означенням входить до числа підмножин довільної множини. Для довільної множини, А сама множина, А і порожня множина називаються невласними підмножинами. Всі решта підмножини називають власними. Так, множина із двох елементів $$A=\left\{a,b\right\}$$ має чотири підмножини: невласні - $$\left\{a,b\right\}$$ і o, власні - $$\left\{a\right\},\left\{b\right\}$$ .

Дві множини, А та В співпадають (або рівні), якщо у них одні і ті ж елементи. Символічний запис:

$$A=B\left[\left(xA=>xB\right)\left(xB=>xA\right)\right]$$ або $$A=BABBA$$ .

Об'єднанням двох множин, А та В називають множину, яка складається із.

всіх елементів, що належать хоча б одній із цих множин. Символічний запис:

$$AB=\left\{x|xAxB\right\}$$ .

Перетином двох множин, А та В називають множину, яка складається із всіх елементів, що належать як одній, так і другій множині. Символічний запис:

$$AB=\left\{x|xAxB\right\}$$ .

Різницею двох множин, А та В називається множина, яка складається із всіх.

елементів, що належать першій із них і не належать другій. Символічний запис:

$$\begin{array}{c}\\ A=\left\{x|xAxB\right\}\end{array}$$ .

Якщо $$BA$$, то різниця множин $$\begin{array}{c}\\ A\}\\ \end{array}$$ називається доповненням множини В до множини А. Позначають доповнення В до, А через $$C_{A}B$$ (С — перша буква французького слова «complement» — доповнення).

Об'єднання різниць $$\begin{array}{c}\\ A\}\\ \end{array}$$ та $$\begin{array}{c}\\ B\}\\ \end{array}$$ називають симетричною різницею. Символічний запис: $$\mathit{A}=\left\{\left(x|xAxB\right)\left(x|xBxA\right)\right\}$$ або $$\begin{array}{c}\\ \\ \mathit{A}=AB\}\\ \end{array}$$ .

Інколи множину, підмножини якої розглядаються в деякій задачі, називають універсальною для цієї задачі. Доповнення її підмножини, А до універсальної множини U називають просто доповненням і позначають $$\stackrel{}{A}$$ .

Наочну картину про найпростіші властивості множин дає схематичне зображення множин у вигляді фігур на площині, зокрема, кіл. Такі схеми названі діаграмами Ейлера-Венна. Універсальну множину зручно при цьому зображати прямокутником.

Приклади.

Заштрихована множина є об'єднанням множин, А та В, тобто $$AB\text{.}$$.

Заштрихована множина є перетином множин, А та В, тобто $$AB\text{.}$$.

Заштрихована множина є різницею множин, А та В, тобто.

$$\begin{array}{c}\\ A\end{array}$$.

Заштрихована множина є доповненням множини В до множини А, тобто $$C_{A}B$$ .

Заштрихована множина є симетричною різницею множин, А та В, тобто $$\mathit{A}\text{.}$$.

Заштрихована множина є доповненням підмножини, А до універсальної множини U, тобто $$\stackrel{}{A}\text{.}$$.

б) Основні властивості операцій над множинами Властивості об'єднання і перетину.

1. $$AA$$ .

2. $$ABBC=>AC$$ .

3. $$ABBA=>A=B$$ .

4. $$\begin{array}{c}AB=BA\\ AB=BA\\ \begin{array}{c}\}\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ комутативність об'єднання і перетину (commutatius — переставний (лат.)).

5. $$\begin{array}{c}AA=A\\ AA=A\\ \begin{array}{c}\}\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ ідемпотентність об'єднання і перетину (idem — той самий, potenti — здатний (лат.)).

6. $$\begin{array}{c}A(BC)=(AB)C\\ A(BC)=(AB)C\\ \begin{array}{c}\}\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ асоціативність об'єднання і перетину (аssotiatіo — сполучення (лат.)).

7. $$\begin{array}{c}A(BC)=(AB)(AC)\\ A(BC)=(AB)(AC)\\ \begin{array}{c}\}\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ дистрибутивність об'єднання відносно перетину та перетину відносно об'єднання.

Доведемо для прикладу властивість 7.

$$\begin{array}{c}x\left(AB\right)\left(AC\right)=>x\left(AB\right)x\left(AC\right)=>\left(xAxB\right)\left(xAxC\right)=>\\ =>xA\left(xBxC\right)=>xAx\left(BC\right)\text{.}\end{array}$$.

Властивості різниці множин.

1. $$\begin{array}{c}\\ AA\end{array}$$ .

2. $$\begin{array}{c}\\ \\ A(A\\ =AB\end{array}$$ .

3. $$\begin{array}{c}\\ A(B\\ =AB\end{array}$$ .

4. $$\begin{array}{c}\\ A(B\\ =\end{array}$$ o.

5. $$\begin{array}{c}\\ \\ A(BC)=(A\\ \\ (A\end{array}$$ .

6. $$\begin{array}{c}\\ \\ A(BC)=(A\\ \\ (A\end{array}$$ .

Властивості доповнень множин.

1. $$A\stackrel{}{A}=U$$ .

2. $$A\stackrel{}{A}=$$ o.

3. $$\stackrel{}{\stackrel{}{A}}=A$$ .

4. $$\stackrel{}{AB}=\stackrel{}{A}\stackrel{}{B}$$ .

5. $$\stackrel{}{AB}=\stackrel{}{A}\stackrel{}{B}$$ .

Властивості порожньої множини.

1. o $$A$$ .

2. $$\begin{array}{c}A\\ \end{array}$$ o = o.

3. $$\begin{array}{c}A\\ \end{array}$$ o = А.

4. o $$$$ o = o.

5. o $$$$ o = o.

в) Прямий (декартів) добуток множин.

Нехай, А та В — довільні множини. Пару (а, b) елементів $$aA,bB,$$ взятих в даному порядку, називають впорядкованою парою. Дві впорядковані пари $$(a_1,b_1)$$ та $$(a_2,b_2)$$ рівні тоді і тільки тоді, коли рівними є їх відповідні елементи:

$$(a_1,b_1)=(a_2,b_2)a_1=a_2{b}_1=b_2\text{.}$$.

Прямим або декартовим добутком добутком множин, А та В називається множина всіх упорядкованих пар (а, b) елементів, із яких перший належить першій множині А, а другий — другій множині В. Символічний запис: $$AxB=\left\{\left(a,b\right)|aA,bB\right\}\text{.}$$.

Приклад.

$$A=\left\{\mathrm{1,2,3}\right\},B=\left\{a,b\right\}\text{.}$$.

$$\begin{array}{c}AxB=\left\{(\mathrm{1,}a),(\mathrm{2,}a),(\mathrm{3,}a),(\mathrm{1,}b),(\mathrm{2,}b),(\mathrm{3,}b)\right\}\text{.}\\ BxA=\left\{(a\mathrm{,\; 1}),(a\mathrm{,\; 2}),(a\mathrm{,\; 3}),(b\mathrm{,\; 1}),(b\mathrm{,\; 2}),(b\mathrm{,\; 3})\right\}\text{.}\end{array}$$.

Ясно, що операція декартового множення є некомутативною. Множину $$AxA$$ називають декартовим квадратом і позначають $$A^2$$, $$AxAxA$$ — декартовим кубом $$A^3$$ і т.д.

Прямим або декартовим добутком множин $$A_1,A_2,\text{.}\text{.}\text{.},A_n$$ називається множина всіх упорядкованих сукупностей п елементів, із яких перший належить першій множині $$A_1$$, другий — другій $$A_2$$, і т.д., останній — $$A_n$$ .

$$A_{1}x{A}_{2}x\text{.}\text{.}\text{.}x{A}_n=\left\{(a_1,a_2,\text{.}\text{.}\text{.},a_n)|a_i{A}_i,i=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n\right\}\text{.}$$.

Якщо $$A_1=A_2=\text{.}\text{.}\text{.}=A_n=A$$, то матимемо.

$$A_{1}x{A}_{2}x\text{.}\text{.}\text{.}x{A}_n=A^n$$.

— п-ий декартів степінь множини А. Елементами $$A^n$$ є рядки довжиною п.

Приклад.

$$RxRxR=R^3=\left\{\left(a,b,c\right)|a,b,cR\right\}$$.

— множина всеможливих точок дійсного тривимірного простору (декартів куб).

§ 2. Відображення.

При заданих множинах X і Y відображення f із областю визначення X і областю значень Y ставить у відповідність кожному елементу $$xX$$ елемент $$f(x)Y$$. Символічний запис:

$$f\mathrm{:}X->Y$$ або $$X\stackrel{}{f}Y$$ .

У випадку $$Y=X$$ відображення f називають перетворенням f множини X в себе.

Образом при відображенні f називається множина всіх елементів виду $$f(x)$$. Позначається Im f (Im — від image — англ.). Символічний запис:

$$\text{Im}f=\left\{f(x)|xX\right\}\text{.}$$.

Множина $$f^{-1}(y)=\left\{xX|f(x)=y\right\}$$ називається прообразом елемента $$yY$$. Аналогічно вводиться поняття прообразу множини.

$$Y_{0}Y\mathrm{:}{f}^{-1}(Y_0)=\left\{xX|f(x)Y_0\right\}=\underset{y{Y}_0}{}{f}^{-1}(y)\text{.}$$.

Відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ називається сюр'єктивним (або відображенням на), якщо $$\text{Im}f=Y$$, тобто якщо кожен елемент множини Y має прообраз.

Відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ називається ін'єктивним, якщо із $$x/=x^{\text{'}}$$ випливає $$f(x)/=f(x^{\text{'}}),$$ тобто якщо різним елементам із прообразу співставляються різні елементи із образу.

Відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ називається бієктивним або взаємно однозначним, якщо воно одночасно сюр'єктивне та ін'єктивне.

Два відображення f та g називаються рівними, якщо їх відповідні області визначення та значень співпадають, причому $$f(x)=g(x),xX\text{.}$$.

Одиничним (або тотожнім) відображенням $$e\mathrm{:}X->X$$ називається відображення, яке переводить кожний елемент $$xX$$ в себе.

Якщо X — підмножина Y, то відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$, яке кожному елементу $$xX$$ ставить у відповідність той же елемент x, але вже в множині Y, називається вкладенням .

Відображення $$f\mathrm{:}X->Y$$ називається звуженням (або обмеженням) відображення $$g\mathrm{:}{X}^{\text{'}}->Y^{\text{'}}$$, якщо $$X{X}^{\text{'}},Y{Y}^{\text{'}}$$ і $$f(x)=g(x),xX\text{.}$$ В свою чергу відображення g називається продовженням відображення f.