Границя та неперервність функцій багатьох змінних (реферат)

Реферат З математики На тему: «Границя та неперервність функцій багатьох змінних» .

Границя функції двох змінних

Означення. Число, А називається границею функцій $$z=f(x,y)$$ при $$x->x_0,y->y_0$$ якщо для будь-якого $$>0$$ існує число $$>0$$, таке що в разі виконання нерівності.

$$0<(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{}^2$$ ,.

справджується нерівність $$|f(x,y)-A|<$$ .

Позначають:

$$\underset{(x,y)->(x_0,y_0)}{\text{lim}}f(x,y)=A$$ ,.

або.

$$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)=A$$ .

Наслідок. $$\begin{array}{c}\underset{(x,y)->(x_0,y_0)}{\text{lim}}c=c(c=\text{const})-\\ \underset{(x,y)->(x_0,y_0)}{\text{lim}}=x_0-\\ \underset{(x,y)->(x_0,y_0)}{\text{lim}}y=y_0\text{.}\end{array}$$.

Теорема 1.1. Якщо функція $$f(x,y)$$ має границю при $$(x,y)->(x_0,y_0)$$, то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція $$f(x,y)$$ має границю при $$(x,y)->(x_0,y_0)$$ то вона обмежена в деякому околі точки $$f(x_0,y_0)$$ .

Теорема 1.3. Якщо $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)=b,\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}g(x,y)=c$$, і в деякому виколотому околі точки $$(x_0,y_0)$$ виконується нерівність $$f(x,y)<=g(x,y),$$ то $$b<=c$$ .

Наслідок. Якщо $$f(x,y)>=0(f(x,y)<=0)$$ у деякому околі точки $$(x_0,y_0)$$ і $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)$$ існує, то ця границя невід'ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)=b,\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}g(x,y)=c$$, то виконуються нерівності:

1) $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}\left[f(x,y)+g(x,y)\right]=b+c-$$.

2) $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)g(x,y)=\text{bc}-$$.

3) $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{b}{c}(c/=0)$$ .

Означення. Якщо $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}$$ $$f(x,y)=0$$, то функція $$z=f(x,y)$$ називається нескінченно малою при $$x->x_0,y->y_0$$ .

Приклад. Обчислити $$\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}\frac{x^2+4y^5}{\text{12}x-3y}$$ .

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто.

$$$$ $$\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}x=-\mathrm{1,}\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}y=-2$$.

дістанемо:

$$\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}\frac{x^2+4y^5}{\text{12}x-3y}=\frac{\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}(x^2+4y^5)}{\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}(\text{12}x-3y)}=\frac{\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}{x}^2+\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}4y^5}{\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}\text{12}x-\underset{(x,y)->(-\mathrm{1,}-2)}{\text{lim}}3y}=\frac{\text{127}}{6}\text{.}$$.

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо $$\underset{x->a}{\text{lim}}f(x)=b$$ ($$f(x)$$ —функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють $$b$$ .Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних $$z=f(x,y)$$ наближення до точки $$(x_0,y_0)$$ можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі $$x$$.

Тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність $$$$ $$\underset{(x_0,y_0)}{\text{lim}}f(x,y)=b$$ справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки $$(x_0,y_0)$$ по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад: довести, що $$\underset{(x,y)->(\mathrm{0,0})}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}$$ не існує.

Наближаємося до точки (0,0) по прямій $$y=\text{kx}\text{.}$$.

$$\underset{(x,y)->(\mathrm{0,0})}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}=\frac{5\text{xkx}}{x^2+k^2{x}^2}=\frac{5k}{1+k^2}\text{.}$$.

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при $$k=1$$ границя дорівнює $$\frac{5}{2},$$ $$$$.

при $$k=2$$ границя дорівнює $$\frac{\text{10}}{5}$$ і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що $$\underset{(x,y)->(\mathrm{0,0})}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}$$ не існує.

Зауваження. Для функції $$n>1$$ змінних можна розглядати $$$$ $$n$$ ! так званих повторних границь.

У частковому випадку для функції двох змінних $$z=f(x,y)$$ можна розглядати дві повторні границі в точці $$(x_0,y_0)$$ :

Наприклад, для функції $$z=\frac{2x-y}{2x+y}$$ маємо.

$$\begin{array}{c}\underset{x->0}{\text{lim}}\left(\underset{y->0}{\text{lim}}\frac{2x-y}{2x+y}\right)=1-\\ \underset{y->0}{\text{lim}}\left(\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{2x-y}{2x+y}\right)=-1\text{.}\end{array}$$.

Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.

Скажімо, у попередньому прикладі $$\underset{x->\mathrm{0,}y->0}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}$$ не існує, але повторні границі існують: $$\underset{x->0}{\text{lim}}\left(\underset{y->0}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}\right)=\underset{y->0}{\text{lim}}\left(\underset{x->0}{\text{lim}}\frac{5\text{xy}}{x^2+y^2}\right)=0\text{.}$$.

Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція $$z=f(x,y)$$ називається неперервною в точці $$P_0(x_0,y_0)$$, якщо.

$$\underset{x->x_o,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{.}$$.

Означення. Функція $$z=f(x,y)$$ неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Означення. Функцію $$z=f(x,y)$$, визначену на множині $$D{R}^2$$, називають неперервною за множиною $$ED$$ в точці $$(x_0,y_0)D$$, якщо.

$$\underset{9x,y)->(x_0,y_0),(x,y)D}{\text{lim}}f(x,y)=f(x_0,y_0)\text{.}$$.

Означення. Точка $$(x_0,y_0)$$ називається точкою розриву функції $$z=f(x,y)$$, якщо:

1. 1.функція $$z=f(x,y)$$ не визначена в точці $$(x_0,y_0)$$ — $$$$.

2. 2.функція $$z=f(x,y)$$ не визначена в точці $$(x_0,y_0)$$, проте:

• math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >limx->x0,y->y0f (x, y) не існує;

• math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >limx->x0,y->y0f (x, y) існує, але не дорівнює $$f(x_0,y_0)\text{.}$$.

Означення. Точка $$(x_0,y_0)$$ називається точкою усувного розриву функції $$f(x,y)$$, якщо $$\underset{x->x_0,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)$$ існує, але або $$f(x,y)$$ не визначена в точці $$(x_0,y_0)$$, або $$\underset{x->x_o,y->y_0}{\text{lim}}f(x,y)/=f(x_0,y_0)\text{.}$$.

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних.

Означення. Нехай функція $$z=f(u,v)$$ визначена на множині $$E$$, а змінні $$u$$ і $$v$$, у свою чергу, залежать від змінних $$x$$ і $$y$$: $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$, причому обидві функції $$u(x,y)$$ та $$v(x,y)$$ визначені на множині $$D$$. Якщо для будь-якого $$(x,y)D$$ існує значення $$(u,v)E$$, то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію $$z=f(u,v)$$ де $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ — $$u$$, $$v$$ —проміжні, $$x$$, $$y$$ —незалежні змінні.

Приклад. Функція $$z=u^3+v^3$$, де $$u={\text{sin}}^2(x+y^2),v={\text{cos}}^4(x^2+y^2)\text{.}$$ Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді.

$$z={\text{sin}}^6(x+y^2)+{\text{cos}}^{\text{12}}(x^2+y^2)\text{.}$$.

Теорема 1.6. нехай на множині $$D$$ визначено складену функцію $$z=f(u,v)$$, де $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ і нехай функції $$u(x,y),v(x,y)$$ неперервні в точці $$(x_0,y_0)D$$, а функція $$f(u,v)$$ неперервна в точці $$(u_0,v_0)$$, де $$u_0=u(x_0,y_0),v=(x_0,y_0)\text{.}$$ Тоді складена функція $$z=f\left(u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)\right)$$ неперервна в точці $$(x_0,y_0)$$ .

Доведення. За умовою теореми функція $$z=f(u,v)$$ неперервна. За означенням неперервності функції в точці $$(u_0,v_0)$$ візьмемо довільне число $$>0$$, тоді існує $$>0$$, що з нерівності.

$$\sqrt{(u-u_0{)}^2+(v-v_0{)}^2}<$$ (5).

випливає нерівність.

$$|f(u,v)-f(u_0,v_o)|<\text{.}$$.

Аналогічно функції $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$ за умовою теореми неперервні, тому існують такі $${}_1>0$$ і, що з нерівностей.

$$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<{}_1$$ і $$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<{}_2$$.

випливають нерівності.

$$\begin{array}{c}|u(x,y)-u(x_0,y_0)|<\frac{}{\sqrt{2}}-\\ |v(x,y)-v(x_0,y_0)|<\frac{}{\sqrt{2\text{.}}}\end{array}$$ (6),(7).

Нехай $${}^0=\text{min}({}_1,{}_2)$$. Тоді з нерівності.

$$\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<{}^0$$ (8).

дістанемо нерівності (6) і (7).

З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо:

$$\sqrt{(u-u_0{)}^2+(v-v_0{)}^2}<\sqrt{{\left(\frac{}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{}{\sqrt{2}}\right)}^2}=$$ .

Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо.

$$|f\left(u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)\right)-f\left(u\left(x_0,y_0\right),v\left(x_0,y_0\right)\right)|<$$ ,.

а це означає, що складена функція $$z=f\left(u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)\right)$$ неперервна в точці $$(x_0,y_0)$$ .