Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Лінійна алгебра. 
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0- -2- 14/5- 22/5) і (0- 4—28/5—44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків: Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки. Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині… Читати ще >

Лінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Лінійна алгебра.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими.

{ a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 .

Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через A = ( a 1 b 1 a 2 b 2 ) , а розширену матрицю ­ через B = ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ) .

Можливі три такі випадки:

— ранг матриці r (A)=2. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0-y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

— ранг розширеної матриці r (B)=2, а ранг основної r (A)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1-b1) та (a2-b2) — лінійно залежними. Рівняння системи ­ це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;

— ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r (A)=r (B)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими.

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 .

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

Можливі такі випадки:

  • -.усі три площини перетинаються в одній точці (x0-y0-z0). Ранг r (A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0-y0-z0);

  • -.усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r (A)<3 та ранг r (B)<3. Система має безліч розв’язків;

  • -.хоча б дві площини є паралельними між собою (r (A)<3 та r (B)=3). Система розв’язків не має.

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими.

{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 .

Можливі лише такі випадки:

  • -.дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r (A)=1, а ранг розширеної - r (B)=2. Система розв’язків не має;

  • -.обидві площини співпадають. Вектори (a1-b1-c1-d1) та (a2-b2-c2-d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;

  • -.площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r (A)=r (B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому — пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими — означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

Приклад. Розв’язати систему { x - 2 y - z = 15 2 x - 4 y + 2 z = 2 .

Перенесемо змінну x у праву частину: { - 2 y - z = 15 - x - 4 y + 2 z = 2 - 2 x .

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

4z = -28.

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

— 8y = 32−4x.

Розв’язуючи отриману систему { 4 z = - 28 - 8 y = 32 - 4 x , знаходимо:

y = (½)x-4 — z = -7.

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд.

{(x- -4+0,5x-7)|x Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел.

(1- -3,5- -7), при x=0 — (0- -4- -7), а при x=5 — (10- 1- -7). Трійку чисел (2- 2- 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не є.

Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a nn x n = b n .

Одним із способів є використання оберненої матриці:

( x 1 . . . x n ) = ( a 11 . . . a 1 n . . . . . . . . . a n 1 . . . a nn ) - 1 ( b 1 . . . b n ) .

Розглянемо також правило Крамера.

Нехай — визначник матриці ( a 11 . . . a 1 n . . . . . . . . . a n 1 . . . a nn ) .

Введемо позначення.

i = | a 11 . . . a 1, i - 1 b 1 a i , i + 1 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n , i - 1 b n a n , i + 1 . . . a nn | (i=1,…, n).

Виконується така теорема: Якщо 0, то система.

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a nn x n = b n має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):

x 1 = 1 - x 2 = 2 - . . . - x n = n . (1.7).

Якщо і в множині {…,є ненульові елементи, то система рівнянь розв’язків не має. Якщо ж …, то система має безліч розв’язків.

Приклад.

{ 2 x 1 + x 2 - 5 x 3 + x 4 = 8 x 1 - 3 x 2 - 6 x 4 = 9 2 x 2 - x 3 + 2 x 4 = - 5 x 1 + 4 x 2 - 7 x 3 + 6 x 4 = 0 .

Тут = | 2 1 - 5 1 1 - 3 0 6 0 2 - 1 2 1 4 - 7 6 | = 27 - 1 = | 8 1 - 5 1 9 - 3 0 6 - 5 2 - 1 2 0 4 - 7 6 | = 81 - .

2 = | 2 8 - 5 1 1 9 0 6 0 - 5 - 1 2 1 0 - 7 6 | = - 108 - 3 = | 2 1 8 1 1 - 3 9 6 0 2 - 5 2 1 4 0 6 | = - 27 - 4 = | 2 1 - 5 8 1 - 3 0 9 0 2 - 1 - 5 1 4 - 7 0 | = 27 .

Отже, x1=81/27=3- x2=(-108)/27=-4- x3=(-27)/27=-1- x4=27/27=1.

У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих — так званий метод Жордана-Гауса.

Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв’язування конкретної системи { x + 2 y - 3 z = - 6 2 x - y + z = - 1 3 x + 2 y + z = 4 ,.

яку у матричному вигляді записують так: ( 1 2 - 3 2 - 1 1 3 2 1 ) ( x y z ) = ( - 6 - 1 4 ) .

Початкова таблиця має такий вигляд:

1 2 - 3 - 6 | - 2 | - 3 2 - 1 1 - 1 3 2 1 4 .

Числа -2 та -3 — це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.

Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2- -4- 6- 12) та (-3- -6- 9- 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:

1 2 - 3 - 6 0 - 5 7 11 | : ( - 5 ) 0 - 4 10 22 .

Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:

1 2 - 3 - 6 0 1 - 7 / 5 - 11 / 5 | - 2 | 4 0 - 4 10 22 .

Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0- -2- 14/5- 22/5) і (0- 4—28/5—44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:

1 0 - 1 / 5 - 8 / 5 0 1 - 7 / 5 - 11 / 5 0 0 22 / 5 66 / 5 | : ( 22 / 5 ) ,.

і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):

1 0 - 1 / 5 - 8 / 5 0 1 - 7 / 5 - 11 / 5 0 0 1 3 | 1 / 5 | 7 / 5 .

На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0−0-1/5−3/5) і (0−0-7/5−21/5) до першого та другого рядка:

1 0 0 - 1 0 1 0 2 0 0 1 3 , тобто отримуємо систему рівнянь.

{ 1 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = - 1 0 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 = 2 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 = 3 , розв’язками якої є числа x1= -1- x2=2- x3=3.

Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим (0 0 0 | 0), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв’язків.

Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена.

(0 0 0 | bi, то система розв’язків не має.

Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.

Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x1, x2, x3 — обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y1, y2 y3 — обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).

a11×1 a22×2.

a12×2.

1 2 y2.

Промисловість с/г.

y1 x1 x2.

a21×1.

a31×1 a13×3 a23×3 a32×2.

Виготовлення.

ЕОМ.

x3 y3.

a33×3.

Рис. 1.3.

Нехай aij — кількість одиниць продукції i-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a12 одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a32 одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп’ютери.

Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a12×2 одиниць продукції промисловості та a32×2 одиниць продукції комп’ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a22×2 одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).

Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:

x1 = a11×1 + a12×2 + a13×3 + y1.

Записавши аналогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:

{ x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + y 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + y 2 x 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + y 3 .

Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді.

x i = j = 1 n a ij x j + y i ( i = 1, . . . , n ) .

та в матричному вигляді.

X = A X + Y (1.8).

Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.

Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою.

Y = ( E - A ) X , (1.9).

а вектор загального випуску ;

X = ( E - A ) - 1 Y . (1.10).

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою