Лінійна алгебра.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат)
Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0- -2- 14/5- 22/5) і (0- 4—28/5—44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків: Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки. Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині… Читати ще >
Лінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Лінійна алгебра.
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими.
.
Кожне з цих рівнянь задає деяку пряму на площині. Позначимо основну матрицю цієї системи через , а розширену матрицю через .
Можливі три такі випадки:
— ранг матриці r (A)=2. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2), отже, є лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0-y0). Геометрично маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;
— ранг розширеної матриці r (B)=2, а ранг основної r (A)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1-b1) та (a2-b2) — лінійно залежними. Рівняння системи це дві паралельні прямі., Отже, система не має розв’язків;
— ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці: r (A)=r (B)=1. Вектори (a1-b1-c1) та (a2-b2-c2) є лінійно залежними. Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч розв’язків.
Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими.
.
Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.
Можливі такі випадки:
-.усі три площини перетинаються в одній точці (x0-y0-z0). Ранг r (A)=3. Система має єдиний розв’язок (x0-y0-z0);
-.усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть збігатися). Ранг r (A)<3 та ранг r (B)<3. Система має безліч розв’язків;
-.хоча б дві площини є паралельними між собою (r (A)<3 та r (B)=3). Система розв’язків не має.
Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими.
.
Можливі лише такі випадки:
-.дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг звичайної (основної) матриці r (A)=1, а ранг розширеної - r (B)=2. Система розв’язків не має;
-.обидві площини співпадають. Вектори (a1-b1-c1-d1) та (a2-b2-c2-d2) лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;
-.площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r (A)=r (B)=2. Ці ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має безліч розв’язків.
Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в третьому — пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома невідомими — означає описати аналітично множину всіх розв’язків.
Приклад. Розв’язати систему .
Перенесемо змінну x у праву частину: .
Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:
4z = -28.
Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:
— 8y = 32−4x.
Розв’язуючи отриману систему , знаходимо:
y = (½)x-4 — z = -7.
Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд.
{(x- -4+0,5x-7)|x Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел.
(1- -3,5- -7), при x=0 — (0- -4- -7), а при x=5 — (10- 1- -7). Трійку чисел (2- 2- 2) не можна отримати при жодному значенні параметра, отже, розв’язком системи вона не є.
Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими.
.
Одним із способів є використання оберненої матриці:
.
Розглянемо також правило Крамера.
Нехай — визначник матриці .
Введемо позначення.
(i=1,…, n).
Виконується така теорема: Якщо 0, то система.
має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами Крамера):
. (1.7).
Якщо і в множині {…,є ненульові елементи, то система рівнянь розв’язків не має. Якщо ж …, то система має безліч розв’язків.
Приклад.
.
Тут .
.
Отже, x1=81/27=3- x2=(-108)/27=-4- x3=(-27)/27=-1- x4=27/27=1.
У шкільному курсі математики вивчають метод послідовного вилучення невідомих (метод Гауса). Ми наведемо модифікований метод вилучення невідомих — так званий метод Жордана-Гауса.
Розглянемо схему Жордана-Гауса на прикладі розв’язування конкретної системи ,.
яку у матричному вигляді записують так: .
Початкова таблиця має такий вигляд:
.
Числа -2 та -3 — це елементи другого та третього рядка (взяті з протилежним знаком), які розташовані в тому стовпці, де в першому рядку є число 1.
Множимо перший рядок на числа -2 та -3 й отримуємо, відповідно, вектори (-2- -4- 6- 12) та (-3- -6- 9- 18). Додаємо ці вектори до другого і третього рядків:
.
Ділимо всі елементи другого рядка на -5, роблячи діагональний елемент таблиці одиничним:
.
Розпочинаємо наступний етап методу. Множимо другий рядок на -2 та на 4 й отримуємо вектори (0- -2- 14/5- 22/5) і (0- 4—28/5—44/5). Додаємо ці вектори до першого та третього рядків:
,.
і робимо ще один діагональний елемент одиницею (ділимо на 22/5):
.
На останньому кроці множимо третій рядок на 1/5 та 1/7 і додаємо утворені вектори (0−0-1/5−3/5) і (0−0-7/5−21/5) до першого та другого рядка:
, тобто отримуємо систему рівнянь.
, розв’язками якої є числа x1= -1- x2=2- x3=3.
Якщо під час обчислень у схемі Жордана-Гауса деякий рядок повністю стає нульовим (0 0 0 | 0), то це є ознакою того факту, що система має безліч розв’язків.
Якщо ж цей рядок стає нульовим за винятком вільного члена.
(0 0 0 | bi, то система розв’язків не має.
Приклад. Модель міжгалузевого балансу Леонтьєва.
Нехай у деякій державі є три галузі господарства: промисловість, сільське господарство та виготовлення ЕОМ. Нехай x1, x2, x3 — обсяги виробництва у цих галузях. Нехай також y1, y2 y3 — обсяги кінцевого виробництва (виробництва на продаж, виробництва без внутрішнього споживання) цих галузей (рис. 1.3).
a11×1 a22×2.
a12×2.
1 2 y2.
Промисловість с/г.
y1 x1 x2.
a21×1.
a31×1 a13×3 a23×3 a32×2.
Виготовлення.
ЕОМ.
x3 y3.
a33×3.
Рис. 1.3.
Нехай aij — кількість одиниць продукції i-ої галузі, яка йде на виробництво однієї одиниці продукції j-ої галузі. Зокрема, кожна одиниця продукції сільськогосподарської галузі (галузі номер 2) використовує a12 одиниць продукції промисловості (галузі номер 1) та a32 одиниць продукції галузі, яка виготовляє комп’ютери.
Тоді сільське господарство в цілому використовує для випуску своєї продукції a12×2 одиниць продукції промисловості та a32×2 одиниць продукції комп’ютерної галузі. Крім того, сільське господарство витрачає a22×2 одиниць власної продукції (наприклад, відгодівля худоби потребує певних затрат кормів).
Отже, для другої галузі маємо таке рівняння балансу:
x1 = a11×1 + a12×2 + a13×3 + y1.
Записавши аналогічні рівняння для кожної із галузей, отримуємо систему лінійних рівнянь:
.
Цю систему для випадку n змінних записують також у вигляді.
.
та в матричному вигляді.
(1.8).
Побудована система міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва) дає змогу за обсягами виробництва в окремих галузях контролювати їхній кінцевий продукт та навпаки.
Із формули (1.8) випливає, що вектор кінцевої продукції в моделі Леонтьєва визначається формулою.
, (1.9).
а вектор загального випуску ;
. (1.10).