Похідна функції правила диференціювання за підручником Кулініча (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

X = e t sin t. y = e t cos t, 0 ≤ t <= 2. y ' x = y ' ( t ) x ' ( t ) = e t cos t — sin t e t e t sin t + e t cos t = e t ( cos t — sin t ) e t ( cos t + sin t ) = cos t — sin t cos t + sin t. . Sin ( x 0 + ) — - — sin x 0 — = — sin ( + ) — - — sin — = — sin — - 0 = — sin — - f ' — ( x 0 ) = — lim -> 0 — 0 sin = — 1 — f ' + (x 0) = lim → 0 + 0 sin = 1 — f ' — (x 0) /= f ' + (x 0… Читати ще >

Похідна функції правила диференціювання за підручником Кулініча (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Похідна функції правила диференціювання за підручником Кулініча.

= \frac{1}{3 x_{0} + 3 + 1} - \frac{1}{3 x_{0} + 1} = \frac{3 x_{0} + 1 - 3 x_{0} - 3 - 1}{(3 x_{0} + 1) (3 x_{0} + 3 + 1)} = \frac{- 3}{9 x_{0^{2}} + 6 x_{0} + 9 x_{0} + 3 + 1} -

x = \frac{1}{3 x + 1}

Згідно з означенням знайти похідну функції f (x) у точці х0, якщо.

$f' (x) = lim_{-> 0} (- \frac{3}{9 x_{0^{2}} + 6 x_{0} + 9 x_{0} + 3 + 1}) = - \frac{3}{9 x_{0^{2}} + 6 x_{0} + 1} = - \frac{3}{(3 x_{0} + 1)^{2}} .$ .

Вправа № 3(2).

Довести, що функція f (x) у точці х0 не має похідної, якщо.

Надамо

f (x) = | sin x |, x_{0} =

аргументу приросту тоді:

$\begin{matrix} = | sin (x_{0} +) | - | sin x_{0} | = | sin (+) | - | sin | = | sin | - 0 = | sin | - \\ f'_{-} (x_{0}) = - {lim}_{-> 0 - 0} \frac{sin}{} = - 1 - \\ f'_{+} (x_{0}) = {lim}_{-> 0 + 0} \frac{sin}{} = 1 - \\ f'_{-} (x_{0}) /= f'_{+} (x_{0}) . \end{matrix}$ .

Вправа № 6(4).

Знайти похідну функції:

\begin{matrix} y = x^{3} ctgx + 2 x . \\ y' = 3 x^{2} ctgx + (- x^{3} \frac{1}{{sin}^{2} x}) + 2 = 3 x^{2} ctgx - \frac{x^{3}}{{sin}^{2} x} + 2 . \end{matrix}

Вправа № 6(8).

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = \frac{1 + tgx}{1 - tgx} . \\ \begin{matrix} y' = \frac{(1 + tgx)' (1 - tgx) - (1 - tgx)' (1 + tgx)}{(1 - tgx)^{2}} = \frac{\frac{1 - tgx}{{cos}^{2} x} + \frac{1 + tgx}{{cos}^{2} x}}{(1 - tgx)^{2}} = [\frac{1}{{cos}^{2} x} - \frac{tgx}{{cos}^{2} x} + \frac{1}{{cos}^{2} x} + \frac{tgx}{{cos}^{2} x}] / \\ / (1 - tgx)^{2} = \frac{2}{{cos}^{2} x (1 - tgx)^{2}} = \frac{2}{{cos}^{2} x (1 - 2 \frac{sin x}{cos x} + \frac{{sin}^{2} x}{{cos}^{2} x})} = \frac{2}{{cos}^{2} x - 2 cos x sin x + {sin}^{2} x} = \\ \frac{2}{1 - sin 2 x} . \end{matrix} \end{matrix}$ .

Вправа № 7(2).

Знайти похідну функції

\begin{matrix} y = arcctgx + x^{2} + arctgx . \\ y' = - \frac{1}{1 + x} + 2 x + \frac{1}{1 + x} = 2 x . \end{matrix}

Вправа № 8(1).

Знайти похідну функції

y = \frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}} . y' = \frac{e^{x} (1 - e^{x}) + e^{x} (1 + e^{x})}{(1 - e^{x})^{2}} = \frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{x} + e^{2 x}}{(1 - e^{x})^{2}} = \frac{2 e^{x}}{(1 - e^{x})^{2}} .

Вправа № 8(4).

Знайти похідну функції

y = \frac{x}{2^{x}} . y' = \frac{x' 2^{x} - (2^{x})' x}{2^{2 x}} = \frac{2^{x} - 2^{x} x ln 2}{2^{2 x}} = \frac{2^{x} (1 - x ln 2)}{2^{2 x}} = \frac{1 - x ln 2}{2^{x}} .

Вправа № 9(3).

Знайти похідну функції

\begin{matrix} y = {log}_{2} x {log}_{3} x . \\ y' = ({log}_{2} x) {'log}_{3} x + ({log}_{3} x) {'log}_{2} x = \frac{1}{x ln 2} {log}_{3} x + \frac{1}{x ln 3} {log}_{2} x = \frac{1}{x} (\frac{{log}_{3} x}{ln 2} + \frac{{log}_{2} x}{ln 3}) . \end{matrix}

Вправа № 11(2).

Знайти похідну функції

\begin{matrix} y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{3}}{1 - x^{3}}} y' = \frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{3}}{1 - x^{3}})}^{- \frac{2}{3}} [\frac{3 x^{2} (1 - x^{3}) + 3 x^{2} (1 + x^{3})}{(1 - x^{3})^{2}}] = \\ \frac{1}{3} {(\frac{1 - x^{3}}{1 + x^{3}})}^{\frac{2}{3}} \frac{3 x^{2} (1 - x^{3} + 1 + x^{3})}{(1 - x^{3})^{2}} = \frac{1}{3} {(\frac{1 - x^{3}}{1 + x^{3}})}^{\frac{2}{3}} \frac{3 x^{2} 2}{(1 - x^{3})^{2}} = \sqrt[3]{(\frac{1 - x^{3}}{1 + x^{3}})} \frac{2 x^{2}}{(1 - x^{3})^{2}} = \\ \sqrt[3]{\frac{(1 - x^{3})^{2}}{(1 + x^{3})^{2} (1 - x^{3})^{6}}} 2 x^{2} = \sqrt[3]{\frac{1}{(1 + x^{3})^{2} (1 - x^{3})^{4}}} 2 x^{2} = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{3}}{(1 + x^{3})^{3} (1 - x^{3})^{4}}} 2 x^{2} = \\ \sqrt[3]{\frac{1 + x^{3}}{((1 + x^{3}) (1 - x^{3}))^{3} (1 - x^{3})}} 2 x^{2} = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{3}}{(1 - x^{6})^{3} (1 - x^{3})}} 2 x^{2} = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{3}}{1 - x^{3}}} \frac{2 x^{2}}{1 - x^{6}} . \end{matrix}

Вправа № 12(1).

Знайти похідну функції.

$\begin{matrix} y = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x . \\ y' = 4 {sin}^{3} x cos x - 4 {cos}^{3} x sin x = 4 ({sin}^{2} x sin x cos x - {cos}^{2} x cos x sin x) = \\ 2 ({sin}^{2} x sin 2 x - {cos}^{2} x sin 2 x) = 2 sin 2 x (1 - {cos}^{2} x - {cos}^{2} x) = 2 sin 2 x (1 - 2 {cos}^{2} x) = \\ 2 sin 2 x (- cos 2 x) = - 2 sin 2 x cos 2 x = - sin 4 x . \end{matrix}$ .

Вправа № 12(3).

Знайти похідну функції.

$\begin{matrix} y = ctgx + \frac{2}{3} {ctg}^{3} x + \frac{1}{5} {ctg}^{5} x . \\ y' = - \frac{1}{{sin}^{2} x} - \frac{2}{3} 3 {ctg}^{2} x \frac{1}{{sin}^{2} x} - \frac{1}{5} 5 {ctg}^{4} x \frac{1}{{sin}^{2} x} = - (\frac{1}{{sin}^{2} x} + \frac{2 {ctg}^{2} x}{{sin}^{2} x} + \frac{{ctg}^{4} x}{{sin}^{2} x}) = \\ - \frac{{(1 + {ctg}^{2} x)}^{2}}{{sin}^{2} x} = - {(\frac{1 + \frac{{cos}^{2} x}{{sin}^{2} x}}{sin x})}^{2} = - {(\frac{{sin}^{2} x + {cos}^{2} x}{{sin}^{2} x sin x})}^{2} = - {(\frac{1}{{sin}^{3} x})}^{2} = - \frac{1}{{sin}^{6} x} . \end{matrix}$ .

Вправа № 13(3)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = e^{tgx} . \\ y' = e^{tgx} \frac{1}{{cos}^{2} x} = \frac{e^{tgx}}{{cos}^{2} x} . \end{matrix}$ .

Вправа № 14(2)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = lg tg 3 x . \\ y' = \frac{1}{tg 3 x ln 10} \frac{1}{{cos}^{2} 3 x} 3 = \frac{3 cos 3 x}{sin 3 x ln 10 {cos}^{2} 3 x} = \frac{3}{sin 3 x cos 3 x ln 10} = \frac{6}{sin 6 x ln 10} = \\ \frac{6 {log}_{10} e}{sin 6 x {log}_{10} 10} = \frac{6 lg e}{sin 6 x} . \end{matrix}$ .

Вправа № 14(5)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = cos (ln x) . \\ y' = - sinln x \frac{1}{x} = - \frac{sin (ln x)}{x} . \end{matrix}$ .

Вправа № 15(2)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = x + \sqrt{1 - x^{2}} arccos x . \\ y' = 1 + (\sqrt{1 - x^{2}})'arccos x - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 1 + (\sqrt{1 - x^{2}})'arccos x - 1 = (\sqrt{1 - x^{2}})'arccos x = \\ \frac{arccos x}{2 \sqrt{1 - x^{2}}} (- 2 x) = - \frac{x arccos x}{\sqrt{1 - x^{2}}} . \end{matrix}$ .

Вправа № 15(3)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = arcctg (x + \sqrt{x^{2} + 1}) . \\ y' = - \frac{1}{1 + (x + \sqrt{x^{2} + 1})^{2}} (x + \sqrt{x^{2} + 1})' = - \frac{1}{1 + x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1} + x^{2} + 1} x \\ (1 + \frac{1}{2 \sqrt{x {}^{2} + 1}} 2 x) = - \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{2 + 2 x^{2} + 2 x \sqrt{x^{2} + 1}} = - \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{2 \sqrt{x^{2} + 1} + 2 x^{2} \sqrt{x^{2} + 1} + 2 x (x^{2} + 1)} = \\ - \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{2 \sqrt{x^{2} + 1} (1 + x^{2}) + 2 x (x^{2} + 1)} = - \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{2 (1 + x^{2}) (\sqrt{x^{2} + 1} + x)} = - \frac{1}{2 (1 + x^{2})} . \end{matrix}$ .

Вправа № 17(2)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = x^{x^{2}} . \\ y' = x^{2} x^{x^{2} - 1} + x^{x^{2}} ln x 2 x = x^{x^{2} + 1} + x^{x^{2}} x 2 ln x = x^{x^{2} + 1} (1 + 2 ln x) . \end{matrix}$ .

Вправа № 17(3)

Знайти похідну функції

$\begin{matrix} y = (sin x)^{x} . \\ y' = x (sin x)^{x - 1} cos x + (sin x)^{x} lnsin x = x (sin x)^{x} \frac{cos x}{sin x} + (sin x)^{x} lnsin x = \\ (sin x)^{x} (xctgx + lnsin x) . \end{matrix}$ .

Вправа № 19(4)

Знайти похідну y' для функції y=y (x), заданої параметрично.

$\begin{matrix} x = e^{t} sin t . \\ y = e^{t} cos t, 0 <= t <= \frac{}{2} . \\ y'_{x} = \frac{y' (t)}{x' (t)} = \frac{e^{t} cos t - sin t e^{t}}{e^{t} sin t + e^{t} cos t} = \frac{e^{t} (cos t - sin t)}{e^{t} (cos t + sin t)} = \frac{cos t - sin t}{cos t + sin t} . \end{matrix}$ .

Вправа № 19(6)

Знайти похідну для функції, заданої параметрично.

$\begin{matrix} x = e^{2 t} - \\ y = e^{5 t}, t R . \\ y'_{x} = \frac{y' (t)}{x' (t)} = \frac{5 e^{5 t}}{2 e^{2 t}} = 2,5 e^{3 t} . \end{matrix}$ .

Вправа № 20(4)

Знайти похідну для диференційованої функції, заданої неявно рівнянням:

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 .$

Розв" язок:

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} + y' \frac{1}{2 \sqrt{y}} = 0 - y' \frac{1}{2 \sqrt{y}} = - \frac{1}{2 \sqrt{x}} - y' = - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = - \frac{4 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1 - \frac{4}{\sqrt{x}} .$ .

Вправа № 21(1)

Знайти для функції ліву і праву похідні в точці х0.

$\begin{matrix} f (x) = | x |, x_{0} = 0 . \\ => = | x_{0} + | - | x_{0} | = | | . \\ f'_{-} (0) = lim_{-> 0 - 0} \frac{| |}{} = - 1 - f'_{+} (0) = lim_{-> 0 + 0} \frac{| |}{} = 1 . \end{matrix}$ .

Вправа № 21(3)

Знайти для функції ліву і праву похідні в точці х0.

$\begin{matrix} f (x) = | ln x |, x_{0} = 1 . \\ => = | ln (x_{0} +) | - | ln x_{0} | = | ln (1 +) | . \\ f'_{-} (1) = lim_{-> 0 - 0} \frac{- ln (1 +)}{} = - 1 - f'_{+} (1) = lim_{-> 0 + 0} \frac{ln (1 +)}{} = 1 . \end{matrix}$ .

Вправа № 1(3)

На підставі означення, знайти похідну функції в точці х0, якщо:

$\begin{matrix} y = \sqrt[3]{x^{2}}, x_{0} = 8 . \\ => = \sqrt[3]{(x_{0} +)^{2}} - \sqrt[3]{x_{0}^{2}} = \sqrt[3]{(8 +)^{2}} - 4 - \\ y' = lim_{-> 0} \frac{\sqrt[3]{(8 +)^{2}} - 4}{} = lim_{-> 0} \frac{(\sqrt[3]{(8 +)^{2}} - 4) (\sqrt[3]{(8 +)^{4}} + 4 \sqrt[3]{(8 +)^{2}} + 16)}{(\sqrt[3]{(8 +)^{4}} + 4 \sqrt[3]{(8 +)^{2}} + 16)} = \\ lim_{-> 0} \frac{(8 +)^{2} - 4^{3}}{(\sqrt[3]{(8 +)^{4}} + 4 \sqrt[3]{(8 +)^{2}} + 16)} = lim_{-> 0} \frac{64 + 16 +^{2} - 64}{(\sqrt[3]{(8 +)^{4}} + 4 \sqrt[3]{(8 +)^{2}} + 16)} = \\ lim_{-> 0} \frac{16 +}{\sqrt[3]{(8 +)^{4}} + 4 \sqrt[3]{(8 +)^{2}} + 16} = \frac{16}{16 + 16 + 16} = \frac{1}{3} . \end{matrix}$ .

Інститут міжнародних відносин

Київського державного університету імені Т. Шевченка

Домашня робота з математики

На тему:

Похідна функції.

Правила диференціювання.

Студентки 1 курсу

Відділення МЕВ

Група 1

Соловкової Оксани

КИЇВ-99

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою

Інші роботи

Родина і народ в ліриці М. А. Некрасова

Народ в поданні Некрасова — це «сіяч і хранитель «російської землі, творець всіх тих матеріальних цінностей, творець життя землі. У ньому таяться приховані могутні сили, які рано чи пізно вирвуться на простір. Тому Некрасов вірить, що подолає всі труднощі й «широку, ясну грудьми дорогу прокладе собі «. Але, щоб настало це довгождане час, потрібно з колиски навіювати думки, що щастя — над…

Реферат

Похідна функції правила диференціювання за підручником Кулініча (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Знайти похідну функції

Знайти похідну функції

Знайти похідну функції

Знайти похідну функції

Знайти похідну функції

Знайти похідну функції

Вправа № 13(3)

Вправа № 13(3)

Знайти похідну функції

Вправа № 14(2)

Вправа № 14(2)

Знайти похідну функції

Вправа № 14(5)

Вправа № 14(5)

Знайти похідну функції

Вправа № 15(2)

Вправа № 15(2)

Знайти похідну функції

Вправа № 15(3)

Знайти похідну функції

Вправа № 17(2)

Вправа № 17(2)

Знайти похідну функції

Вправа № 17(3)

Вправа № 17(3)

Знайти похідну функції

Вправа № 19(4)

Вправа № 19(4)

Знайти похідну y' для функції y=y (x), заданої параметрично.

Вправа № 19(6)

Вправа № 19(6)

Знайти похідну для функції, заданої параметрично.

Вправа № 20(4)

Вправа № 20(4)

Знайти похідну для диференційованої функції, заданої неявно рівнянням:

x + y = 4 .

Розв" язок:

Розв" язок:

Вправа № 21(1)

Вправа № 21(1)

Знайти для функції ліву і праву похідні в точці х0.

Вправа № 21(3)

Вправа № 21(3)

Знайти для функції ліву і праву похідні в точці х0.

Вправа № 1(3)

На підставі означення, знайти похідну функції в точці х0, якщо:

Інститут міжнародних відносин

Київського державного університету імені Т. Шевченка

Домашня робота з математики

На тему:

Похідна функції.

Правила диференціювання.

Студентки 1 курсу

Відділення МЕВ

Група 1

Соловкової Оксани

КИЇВ-99

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 .$