Загальне рівняння прямої та його дослідження

Всі одержані вище рівняння прямої є рівняннями І ступеня відносно змінних х та у, тобто лінійними рівняннями.

Теорема: будь-яке рівняння І ступеня відносно х та у визначає пряму лінію на площині.

Доведення:

Розглянемо довільне рівняння 1 ступеня Ах+Ву+С=0 (10).

Дане рівняння (10) має нескінченну кількість розв’язків.

Нехай (х_о, у_о) — один із цих розв’язків, тоді Ах_о+Ву_о+С =0 (11). Віднімаючи почленно від рівняння (10) рівняння (11) дістанемо, А (х-х_о) + В (у-у_о) = 0 (12).

Одержане рівняння буде еквівалентне рівнянню (10) і згідно з формулою (8) визначає на площині Оху пряму, яка проходить через точку Мо (х _о, у_о) перпендикулярно до вектора S = (АВ), тобто рівняння (10) також визначає пряму і називається загальним рівнянням прямої. Коефіцієнти, А і В при невідомих х та у загального рівняння є координатами її нормального вектора.

Дослідимо загальне рівняння, тобто розглянемо окремі випадки розміщення прямої в системі координат Оху залежно від значень коефіцієнтів.

1. Якщо А?0, де В ?0, С?0, то рівняння 10 зводиться до рівняння прямої у відрізках на осях:

+ = 1,.

тобто пряма перетинає осі координат в точках з координатами (, 0) та (0,).

2. Якщо А=0, то пряма Ву + С= 0 паралельна осі Ох і проходить через точку (0,).

оскільки паралельний вектор S = (0, В) прямої перпендикулярної до осі Ох, а координати даної точки задовольняють рівняння прямої.

• 3. Аналогічно попередньому, якщо В =0, то пряма Ах+С=0 паралельна осі ОУ і проходить через точку (, 0).
• 4. Якщо С=0, то пряма Ах + Ву = 0 проходить через початок координат, тому, що координати точки О (0,0) задовольняють рівняння прямої.
• 5. Якщо А=С=О, то згідно з попереднім рівнянням Ву = 0, або у=0 визначає вісь Ох
• 6. Якщо В=С=О, то рівняння Ах=0, або х=0 визначає вісь Оу.