Використання показників дюрації для оцінки процентного ризику

а) Співвідношення між ризиком зміни ціни та дохідністю. Поточну вартість фінансового інструменту в загальному вигляді можна розрахувати за формулою (2.9):

(15).

де — поточна вартість фінансового інструменту;

— грошові потоки (наприклад, відсотки за кредит);

— номінальна вартість інструменту.

З урахуванням (15) для малих змін дохідності ціновий ризик можна вважати приблизно рівним відношенню зміни ціни до відповідної зміни дохідності:

(16).

де — малі зміни дохідності; - зміна ціни, яка відповідає зміні дохідності .

Оскільки ціна завжди зменшується зі зростанням дохідності, знак «мінус» у (16) забезпечує позитивне значення цінового ризику. Шляхом диференціювання рівняння (15) отримуємо так звану «формулу цінового ризику» :

(17).

Із диференціального числення відомо, що нахил дотичної до неперервної кривої дорівнює частинній похідній функції, яка описує криву. Тому в результаті ціновий ризик дорівнює:

Як правило, значення цінового ризику ділять на 100, щоб відобразити зміну в ціні, яка відповідає зміні дохідності на 1% (знак «мінус» перед значенням похідної забезпечує позитивне значення зміни ціни):

(18).

Показник, який визначається формулою (18), називають ще «доларовою дюрацією» (або «гривневою дюрацією» тощо відповідно до того, яка валюта є базовою для розрахунків), тому що він вимірює абсолютні обсяги ризику в одиницях валюти, що відповідає зміні дохідності на 1%.

Приклад 1. Облігація номіналом $ 100 та терміном до погашення 6 років, проценти по якій виплачуються раз на рік по нормі 8%, була випущена рік тому. Сьогодні її ціна складає $ 70. Визначити ціновий ризик для даного фінансового інструменту.

Розв’язок. Для даної облігації повна дохідність складає 17.49% (див. приклад 3.4). Застосувавши формули (17) та (18), при отримаємо:

.

Отже, при зміні дохідності даного фінансового інструменту на 1% його ціна зміниться на 2,48 $.

б) Вимірювання ризику зміни ціни фінансових інструментів. При оцінюванні процентного ризику як імовірності понести грошові збитки або недоотримати прибуток через несприятливі зміни процентних ставок на фінансових ринках важливу роль відіграють методи, які дають змогу кількісно оцінити його можливі обсяги. Один із сучасних методів базується на розрахунку показників дюрації, що характеризують чутливість вартості фінансових інструментів до зміни процентних ставок і допомагають визначити ступінь процентного ризику, на який наражається інвестор, купуючи той чи інший фінансовий інструмент.

Для обґрунтованого вибору фінансових інструментів недостатньо мати дані про їх дохідності. Необхідно якимось чином оцінити і ризик. Раніше одним із основних способів вимірювання ризиковості фінансових інструментів фактично залишався показник «строк до погашення», оскільки, за інших рівних обставин, чим довшим є строк до погашення, тим більшою волатильність ціни фінансового інструменту, тобто ризик. Однак за такого вимірювання ризику беруть до уваги лише фінальні виплати, не враховуючи періодичних виплат і зміну вартості коштів у часі, внаслідок чого ризик такого фінансового інструменту не пропорційний строку до погашення. Ясно, що облігації з нульовим купоном більш ризикові, ніж облігації з періодичною виплатою процентів при одному й тому ж їх терміні. Для характеристики фінансових інструментів з цієї точки зору застосовують два види середніх термінів платежів. Перша середня — середній арифметичний термін (average life), друга — середній термін дисконтованих платежів (duration).

Середній арифметичний термін узагальнює терміни всіх видів виплат у вигляді середньої зваженої арифметичної величини. Ваговими коефіцієнтами беруть розміри виплат. Для облігацій із щорічною виплатою купонів і погашенням номіналу в кінці терміну маємо:

(19).

де — середній термін, — терміни платежів по купонах у роках,.

— сума платежу, — купонна ставка, — загальний термін облігації.

Відомо, що для .

.

тому замість (19) можна застосувати:

. (20).

Очевидно, що. В облігацій із нульовим купоном. Неважко зрозуміти, що чим більший купонний процент, тим менший середній термін.

Приклад 2. Знайти середній арифметичний термін для двох облігацій із виплатами по купонах 6 та 12% від номіналу, термін облігацій 10 років.

Розв’язок. За формулою (20) при отримаємо:

роки.

У випадку, коли купони виплачуються разів на рік, то врахувавши, що:

.

. (21).

Очевидно, що перехід від річної виплати процентів до виплат по півріччях або щоквартально дещо зменшує середній арифметичний термін облігації. Чим менший середній арифметичний термін, тим швидше отримує віддачу від облігації її власник, а, отже, менший ризик.

Скориставшись поняттям «кредитна послуга», під якою зазвичай розуміють добуток суми кредиту на термін, чисельник у формулі (19) можна розглядати як повний розмір кредитної послуги по облігації. Середній арифметичний термін вказує на момент у терміні облігації, коли розміри кредитних послуг до середнього терміну і після цього моменту врівноважені. Механічний аналог середнього терміну — точка рівноваги платежів у часі.

Середній термін дисконтованих платежів представляє також середню зважену величину термінів платежів, проте зважування тут більш «тонке», яке враховує часову цінність грошей. Щоб отримати кращу, ніж строк до погашення, оцінку ризику інвестування у фінансовий інструмент і відповідно оцінки ризику з точки зору отримання прибутку, американський учений Фредерік Макколі (F.R. Macaulay) на основі інтерпретації фінансового інструменту як потоку платежів увів поняття дюрації як середньозваженого строку до погашення всіх компонентів фінансового інструменту, кожний із яких зважується за своєю поточною вартістю. Інакше кажучи, дюрація є оцінкою середньозваженого строку потоку платежів за фінансовим інструментом з урахуванням дисконтування вартості окремих виплат. Нині поняття дюрації, запроваджене Ф. Макколі, прийнято називати стандартною дюрацією, або дюрацією Макколі. Позначатимемо даний показник як. Стандартна дюрація залежить не лише від структури відповідного потоку платежів, а й від поточної процентної ставки. Нехай проценти виплачуються щорічно, тоді маємо:

(22).

— дисконтний множник, — поточна ринкова ставка.

Знаменник формули за означенням дорівнює ринковій поточній вартості фінансового інструменту. Для купонної облігації з річними купонними виплатами по нормі, номіналом та терміном до погашення після перетворень легко отримати таку формулу:

. (23).

Дисконтування проводиться за ставкою поміщення.

Приклад 3. Знайти середній термін дисконтованих платежів для облігації з терміном 5 років, проценти по якій виплачуються раз на рік по нормі 8%, купленої за курсом 70.

Розв’язок. Для даної облігації була визначена повна дохідність (ставка поміщення), і вона склала 17,49% (див. приклад 3.4). Дисконтуємо платежі по цій ставці.

.
	0,85 114.	0,08.	0,6 809.	0,6 809.
	0,72 443.	0,08.	0,5 795.	0,11 591.
	0,61 659.	0,08.	0,4 933.	0,14 798.
	0,52 480.	0,08.	0,4 198.	0,16 794.
	0,44 668.	0,08.	0,3 573.	0,17 867.
0,25 308.	0,67 859.

Знайдемо середній термін дисконтованих платежів за формулою (23).

.

Нагадаємо, що середній арифметичний термін для цієї облігації дорівнює.

.

Очевидно, що для облігацій з нульовим купоном. В інших випадках .

Для вимірювання процентного ризику застосовують також показник зміни ціни, яка відповідає зміні дохідності на 1 базисний пункт (Price Value of Basis Point — PVBP) Близький за змістом до показника ризику зміни ціни, він дає змогу з’ясувати величину ризику зміни в абсолютному вимірі (грошових одиницях):

(24).

оскільки базисний пункт дорівнює 0,01%.

Ще однією інтерпретацією стандартної дюрації є цінова еластичність інструменту відносно дохідності, як процентна зміна ціни інструменту, викликана певною процентною зміною дохідності:

.

або з урахуванням (24):

(25).

Стандартна дюрація портфеля інструментів розраховується як середньозважена сума стандартних дюрацій фінансових інструментів, що входять до його складу:

(26).

де — стандартна дюраціяго інструменту;

— доля поточної (ринкової) вартостіго інструменту в поточній (ринковій) вартості усього портфеля активів.

Стандартна дюрація, будучи відносною мірою ризику, є однією з основних характеристик потоку платежів і визначає його чутливість до незначної зміни рівня процентної ставки на ринку. Для оцінки чутливості поточної вартості фінансового інструменту до зміни процентної ставки застосовується не сама величина, а її модифікація, яку називають модифікованою дюрацією і позначають (modified duration).

(27).

де — поточна ринкова процентна ставка.

Модифікована дюрації - це процентна зміна ціни, викликана зміною дохідності на 1%; її розраховують як відношення першої похідної ціни за дохідністю до самої ціни:

. (28).

З урахуванням виразів (18) та (28) модифіковану дюрацію можна подати як функцію цінового ризику :

(29).

Термін «модифікована дюрація» не відповідає фінансовому змісту цього показника — його точніше б характеризували слова «чутливість» або «еластичність». Вірогідно на назву показника вплинув вигляд результуючої формули, що його визначає: формально це стандартна дюрація, поділена (тобто «модифікована») на вираз. Зауважимо, що модифікована дюрація відрізняється від показника цінового ризику в основному тим, що вимірює зміну ціни відносно всієї інвестованої суми коштів, тоді як ціновий ризик відображає лише зміну ціни відносно її поточної вартості.

Якщо купонні виплати по облігації здійснюються разів на рік, то модифікована дюрація обчислюється за формулою:

(30).

де — поточна ринкова процентна ставка, — кількість виплат процентів за рік.

Для практичної оцінки дохідності фінансового інструменту корисною є формалізована залежність зміни ціни від зміни дохідності. Із (16) маємо:

.

Підставивши в дане співвідношення значення із (29), отримуємо наближену формулу зміни ціни як функцію зміни дохідності:

. (31).

Формула (31) застосовується на практиці для оцінювання коливань у ціні облігацій при незначних (до 1%) змінах ринкової процентної ставки.

З формули (31) випливає, що за однакових рівнів дохідності фінансовий інструмент, що має більшу дюрацію, матиме більші зміни ціни, ніж інструмент із тією ж початковою вартістю і який має меншу дюрацію.

Приклад 4 Для облігації прикладу 3.4 оцінити вплив на її ціну очікуване підвищення ринкової процентної ставки з 17,49% до 18%.

Розв’язок. Для даної облігації було знайдено .

Звідки:, а, тобто при вказаному підвищенні ставки вартість облігації складе. При зміні ринкової процентної ставки на 1% вартість облігації зміниться на величину, що відповідає значенню цінового ризику для даного інструменту (див. приклад 1).

Модифікована дюрація портфеля активів, як і його стандартна дюрація, розраховується аналогічно (26) як сума модифікованих дюрацій інструментів портфеля, зважених на поточну (ринкову) вартість кожного інструменту по відношенню до поточної (ринкової) вартості портфеля в цілому.

Ціновий ризик чутливий до рівня дохідності, за якого він був розрахований. Особливо чітко це проявляється у разі використання довгострокових фінансових інструментів. Оскільки залежність між зміною ціни фінансового інструменту і відповідною зміною процентної ставки є в загальному випадку нелінійною, для точнішої оцінки цієї залежності корисним є поняття швидкості зміни нахилу графіка ціни від дохідності, яке має назву «випуклість» (convexity). Показник випуклості вимірюється шляхом обчислення другої часткової похідної від функції ціни за дохідністю:

(32).

Випуклість завжди позитивна. Швидкість зміни ціни відносно дохідності знижується (стає «менш» від'ємною) зі зростанням дохідності. Якщо ціновий ризик — це швидкість зменшення ціни фінансового інструменту при зміні дохідності, то випуклість — прискорення цього зменшення. Випуклість зростає разом із дюрацією (за умови, що та — фіксовані).