Раціональні числа як нескінченні десяткові періодичні дроби

До раціональних чисел, як вже не раз підкреслювалось, відносяться всі ті числа, з якими учні успішно оперували до тих пір, поки не зустрілись з квадратними коренями. Це були цілі числа, звичайні дроби і десяткові дроби. Для всіх цих чисел використовується один і той же спосіб запису, який би доцільно обговорити.

Розглянемо, наприклад, ціле число 5, звичайний дріб 7/22 і десятковий дріб 8,377. Ціле число 5 можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 5,0… Десятковий дріб 8,377 також можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу: 8.3 770 000… Для числа 7/22 використаємо метод «ділення кутом»:

• 7,0… 22
• -66 0,31 818…
• 40
• -22
• 180
• -176
• 40
• -22
• 180

…

Звідси видно, що починаючи з другої цифри після коми, відбувається повторення однієї і тієї ж групи цифр: 18, 18, 18,… Таким чином, 7/22=0,3 181 818… Скорочено це записують так: 0.3(18).

Група цифр після коми, яка повторюється, називається періодом, а сам десятковий дріб—нескінченним десятковим періодичним дробом.

Між іншим, і число 5 можна подати у вигляді нескінченного періодичного дробу. Для цього треба в періоді записати число 0:

5=5,0…=5,(0).

Аналогічно число 8,377:

8,377=8,377 000…=8,377(0).

Щоб все було акуратно, кажуть так: 8,377—скінченний десятковий дріб, а 8,377 000…— нескінченний десятковий дріб.

Таким чином, і число 5, і число 7/22, і число 8,377 вдалося записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Взагалі, будь-яке раціональне число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Зауваження.

Це пояснення зручне для теорії, але не дуже зручне для практики. Адже, якщо дано скінченний десятковий дріб 8,377, то для чого потрібний його запис у вигляді 8.377(0)? Тому кажуть так:

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Вище було показано, як звичайний дріб подають у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Справедливе і обернене: будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб можна подати у вигляді звичайного дробу. Це означає, що будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб є раціональне число.

Потрібно показати на прикладі, як нескінченний періодичний десятковий дріб перетворюють в звичайний дріб.

Приклад. Записати у вигляді звичайного дробу нескінченний періодичний десятковий дріб:а)1,(23); б)1,5(23).

Розв’язання А) нехай х=1.(23), тобто х=1,232 323… Домножимо х на таке число, щоб кома перенеслася вправо рівно на один період. Оскільки в періоді є дві цифри, то число х помножимо на 100. Отримаємо:

_ 100х=123.232 323…

і х=1,232 323…

• 100х-х=123,232 323…-1,232 323…,
• 99х=122

звідки знаходимо х=122/99.

Отже, 1,(23)=122/99.

• Б) Нехай х=1.5(23)=1,5 232 323…Спочатку помножимо х на 10, щоб в отриманому добутку період починався після коми: 10х=15,232 323… Тепер число 10х помножимо на100—тоді кома перенесеться рівно на один період вправо: 1000х=1523.2323… Маємо
• 1000х=1523.232 323…
• 10х=15,232 323…
• 990х=1508; х=1508/990=754/495.

Відповідь: а) 1,(23)=122/99; б)1,5(23)=754/495.

Тепер узагальнимо все вище сказане:

Множину Q раціональних чисел можна розглядати як множину чисел виду m/n, де m—ціле число, n—натуральне число, або як множину нескінченних періодичних десяткових дробів.