Адитивна проблема дільників

Адитивна проблема дільників — проблема, що полягає в пошуку асимптотичного значення сум виду:

де — кількість різних розкладань цілого числа до множників, вважаючи і порядок, і - натуральні числа, — фіксоване ціле число, відмінне від нуля, — досить велике натуральне число, Зокрема, число дільників для числа. Суми виражають, відповідно, кількість рішень рівнянь.

Аддитивна проблема дільників при і будь-якому натуральному була вирішена з допомогою дисперсійного методу Ю.В. Лінником. Цей метод буде розглянутий далі.

Проблема дільників Титчмарша

Проблема дільників Титчмарша: — просте, — натуральні;

Проблема відшукування асимптотичної формули для числа рішень невизначених рівнянь виду :

.

де — просте число, — фіксоване ціле.

А загальна задача — пошук асимптотики для сум виду :

де — число дільників .

Проблема дільників Тітчмарша була поставлена Е. Тітчмаршем і вирішена ним умовно в припущенні справедливості розширеної гіпотези Рімана (її розглянемо нижче). Дисперсійний метод, розроблений Ю.В.Лінником, дозволяє знайти асимптотику числа рішень для невизначеного рівняння:, при, Б.М. Бредихін вирішив це завдання для будь-якого фіксованого. Бредихін довів асимптотичну формулу з залишком, де.

Теорема Виноградова — Бомб'єрі про розподіл простих чисел в арифметичних прогресіях в середньому також призводить до вирішення проблеми дільників Тітчмарша. При цьому припущення про справедливість розширеної гіпотези Рімана замінюється фактично теоремами типу великого решета.