Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків (реферат)

Реферат на тему:

Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях вищих порядків

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що допускають зниження порядку.

1) Рівняння не містить шуканої функції і її похідних до $$(k-1)$$ -порядку включно.

$$F(x,y^{(k)},y^{(k+1)}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$$

.

.

Зробивши заміну: $$y^{(k)}=z,y^{(k+1)}=z\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}=z^{(n-k)}$$ ,.

одержимо рівняння $$(n-k)$$ -порядку $$F(x,z,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},z^{(n-k)})=0$$ .

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної.

$$F(y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$$

.

.

Будемо вважати, що $$y$$ — нова незалежна змінна, а $$y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}$$ — функції від $$y$$. Тоді.

$$\begin{array}{c}{y}_x^{\text{'}}=p(y),\\ y_{x^2}^{\text{''}}=\frac{d}{\text{dx}}{y}_x^{\text{'}}=\frac{d}{\text{dy}}(p(y))\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=p_y^{\text{'}}p,\\ y_{x^3}^{\text{'''}}=\frac{d}{\text{dx}}{y}_{x^2}^{\text{''}}=\frac{d}{\text{dy}}(p_y^{\text{'}}p)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=(p_{y^2}^{\text{''}}p+p_{y^2}^{{\text{'}}^2})p,\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

Після підстановки одержимо $$F(y,p,p_y^{\text{'}}p,(p_{y^2}^{\text{''}}p+p^{{\text{'}}^2})p,\text{.}\text{.}\text{.},p^{(n-1)})=0$$ диференціальне рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

3) Нехай функція $$F$$ диференціального рівняння.

$$F(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$$.

є однорідної щодо аргументів $$y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)}$$ .

Робимо заміну $$y=e^{{}_{}^{}\text{udx}}$$, де $$u=u(x)$$ — нова невідома функція. Одержимо.

$$\begin{array}{c}{y}^{\text{'}}=e^{{}_{}^{}\text{udx}}u,\\ y\text{''}=e^{{}_{}^{}\text{udx}}{u}^2+e^{{}_{}^{}\text{udx}}u\text{'}=e^{{}_{}^{}\text{udx}}(u^2+u\text{'}),\\ y\text{'''}=e^{{}_{}^{}\text{udx}}u(u^2+u\text{'})+e^{{}_{}^{}\text{udx}}(2\text{uu}\text{'}+u\text{''})=\\ =e^{{}_{}^{}\text{udx}}(u^3+3\text{uu}\text{'}+u\text{''}),\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

Після підстановки одержимо.

$$F(x,e^{{}_{}^{}\text{udx}},e^{{}_{}^{}\text{udx}}u,e^{{}_{}^{}\text{udx}}(u^2+u\text{'}),e^{{}_{}^{}\text{udx}}(u^3+3\text{uu}\text{'}+u\text{''}),\text{.}\text{.}\text{.})=0$$

.

.

Оскільки рівняння однорідне відносно $$e^{{}_{}^{}\text{udx}}$$, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо.

$$F(x\mathrm{,\; 1},u,u^2+u\text{',}{u}^3+3\text{uu}\text{'}+u\text{'',}\text{.}\text{.}\text{.},u^{(n-1)})=0$$.

диференціальне рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

4) Нехай ліва частина рівняння.

$$F(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$$.

є похідної деякого диференціального вираза ступеня $$(n-1)$$, тобто.

$$\frac{d}{\text{dx}}(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})=F(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})$$

.

.

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл.

$$(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)})=C$$

.

.

5) Нехай диференціальне рівняння.

$$F(x,y,y\text{',}\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n)})=0$$

.

.

розписано у вигляді диференціалів.

$$(x,y,\text{dx},\text{dy},d^{2}y,\text{.}\text{.}\text{.},d^{n}y)=0$$.

і $$$$ — функція однорідна по всім перемінним. Зробимо заміну $$x=e^t,y={\text{ue}}^t$$, де $$u,t$$ — нові змінні. Тоді одержуємо.

$$\text{dx}=e^t\text{dt},y_x^{\text{'}}=\frac{y_t^{\text{'}}}{x_t^{\text{'}}}=\frac{u_t^{\text{'}}{e}^t+{\text{ue}}^t}{e^t}=u_t^{\text{'}}+u$$, $$y_{x^2}^{\text{''}}=\frac{d}{\text{dx}}{y}_x^{\text{'}}=\frac{d}{\text{dt}}\left(u_t^{\text{'}}+u\right)\frac{\text{dt}}{\text{dx}}=\frac{u_{t^2}^{\text{''}}+u_t^{\text{'}}}{e^t}$$ ,.

$$\begin{array}{c}{y}_{x^3}^{\text{'''}}=\frac{d}{\text{dx}}{y}_{x^2}^{\text{''}}=\frac{d}{\text{dt}}\left(\frac{u_{t^2}^{\text{''}}+u_t^{\text{'}}}{e^t}\right)\frac{\text{dt}}{\text{dx}}=\\ =\frac{\left(u_{t^3}^{\text{'''}}+u_{t^2}^{\text{''}}\right)e^t-\left(u_{t^2}^{\text{''}}+u_t^{\text{'}}\right)e^t}{e^{3t}}=\frac{u_{t^3}^{\text{'''}}-u_t^{\text{'}}}{e^{2t}}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\end{array}$$.

Підставивши, одержимо.

$$\begin{array}{c}(x,y,\text{dx},\text{dy},d^{2}y,\text{.}\text{.}\text{.},d^{n}y)=\\ (e^t,{\text{ue}}^t,e^t\text{dt},(u_t^{\text{'}}+u)e^t\text{dt},(u_{t^2}^{\text{''}}+u_t^{\text{'}})e^t\text{dt},\text{.}\text{.}\text{.})=0\text{.}\end{array}$$.

Скоротивши на $$e^t$$ одержимо $$(\mathrm{1,}u,\text{dt},u_t^{\text{'}}+u,u_{t^2}^{\text{''}}+u_t^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},u_t^{(n)})=0$$ .

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної змінної, або повертаємося до другого випадку.