Методика викладання математики

Зміст

геометричний перетворення гомотетія подібність Вступ Розділ 1. Методичні зауваження до теми «Геометричні перетворення» в основній школі

1.1 Методика вивчення рухів

1.2 Перетворення подібності

Розділ 2. Методика розв’язування задач за допомогою геометричних перетворень

2.1 Методи рухів

2.2 Клас задач, що розв’язуються за загальною схемою (методом рухів)

2.3 Використання гомотетії при розв’язуванні задач на побудову

2.4 Задачі, що розв’язуються методом подібних перетворень

2.5 Зв’язок геометричних перетворень з іншими методами розв’язування задач Розділ 3. Конспект уроку з теми перетворення фігур. Рух та його властивості

Висновки Список використаних джерел

Вступ

У міру вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови.

Такі перетворення фігур невипадкові. Це окремі випадки застосування так званих геометричних перетворень. Програма передбачає ознайомлення учнів як з поняттям про геометричні перетворення взагалі, так і з властивостями та застосуванням окремих видів цих перетворень. Зокрема, вивчаються властивості паралельного перенесення, центральної та осьової симетрії, обертання навколо точки, гомотетії, подібність фігур.

За новою програмою з математики весь курс геометрії розгортається на основі ідей геометричних перетворень.

Геометричні перетворення використовуються і для доведення теорем, і для розв’язування різноманітних задач. При цьому основною формою роботи є розв’язування задач на побудову.

Виконуючи побудови за допомогою геометричних перетворень, використовують ті самі інструменти, що й в інших випадках, тобто лінійку, циркуль, а для прискорення роботи — косинець. Не змінюється і схема розв’язування конструктивних задач (аналіз-побудова-доведення-дослідження). Таким чином, застосування геометричних побудов не протиставляється вже відомим учням методам розв’язування задач, а полегшує знаходження правильного способу розв’язання, веде, як правило, до простіших побудов.

Розділ 1. Методичні зауваження до теми «Геометричні перетворення» в основній школі

1.1 Методика вивчення рухів

Основна мета вивчення геометричних перетворень — ознайомити учнів з різними видами рухів (осьова і центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення) та подібністю і гомотетією, їх властивостями, ввести загальне поняття про рівність і подібність фігур, показати застосування окремих видів перетворень, ознак подібності трикутників до розв’язування задач. [3,291]

Учні повинні розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів геометричних перетворень, знати їх властивості, ознаки подібності трикутників і вміти застосовувати їх до розв’язання найпростіших задач. 2,14]

Система введення понять теми «Рухи» залежить від місця цієї теми в загальній структурі курсу планіметрії і, зокрема, в підручнику. У підручнику О. В. Погорєлова до понять теми слід віднести 12 понять, нових для учнів, серед яких: поняття перетворення фігури, руху, точок, симетрично відносно даної точки і відносно даної прямої, означення перетворень симетрії відносно даної точки і відносно даної прямої, поняття центрально-симетричної фігури і фігури, симетричної відносно прямої, повороту площини навколо даної точки, паралельного перенесення, співнаправлених прямих і загальне поняття рівності фігур.

Поняття руху вводиться на рівні означення. В цьому разі у підручнику О.В.Погорєлова використовується поняття перетворення: перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X i Y однієї фігури в точки X^/ і Y^/ іншої фігури так, що X Y= X^/ Y^/. Тут доцільно скористатися рухомими планіметричними моделями. На наочному, інтуїтивному рівні спочатку вводяться поняття відображення площини на себе. При цьому як приклади такого відображення наводяться відомі учням з 8 класу осьова і центральна симетрії. Відтак рух означається як відображення площини на себе, яке зберігає відстань між точками.

Різними методичними підходами можна послуговуватися, вводячи поняття центрально-симетричних і відносно даної прямої точок. У підручнику О.В.Погорєлова прийняте конструктивні означення. Наприклад, точки, симетричні відносно даної точки, означуються так.

Нехай О — фіксована точка і X - довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка ОX за точку О відрізок ОX^/, рівний ОX. Точка X^/ називається симетричною точці X відносно точки О.

Таке означення одночасно дає спосіб побудови точки X^/.

Означення фігури, симетричної відносно даної точки і центрально-симетричної фігури, не викликають труднощів, якщо проілюструвати такі фігури різноманітними прикладами. При цьому треба навести приклади не тільки центрально-симетричних фігур (пряма, відрізок, коло, паралелограм), а й, наприклад, різноманітних орнаментів.

Аналогічно вводяться або конструктивно, або переліком суттєвих властивостей поняття точок, симетричних відносно прямої l.

В підручнику Л. С. Атанасяна формулювання таке: дві точки, А та А₁ називаються симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА₁ і перпендикулярна до неї. Варто зазначити, що в цьому означенні є дві суттєві властивості, кожна з яких необхідна, і лише разом вони достатні для того, щоб дві точки, А та А₁ були симетричні щодо прямої l. Наприклад, точки М і M^/ задовольняють першу суттєву властивість і не задовольняють другу, а точки В і В^/ задовольняють другу, але не задовольняють першу. Тому точки М і M^/, В і В^/ не симетричні відносно прямої l. Треба розв’язати усні вправи на підведення під поняття симетричних відносно точки і прямої фігур, включаючи до системи вправ і фігури, які не є симетричними.

При введенні поняття фігури, симетричної відносно даної точки і даної прямої, важливо, щоб учні навчились будувати точку, відрізок, промінь, пряму, трикутник, коло, кут, паралелограм тощо, симетричні відповідним фігурам відносно точки і відносно прямої. Слід звернути увагу учнів на те, що оскільки положення прямої і відрізка задається двома будь-якими точками (променя — початковою точкою і будь-якою іншою його точкою, кола — центром і будь-якою його точкою, трикутника — положенням його вершин і т. д.), то для побудови симетричної фігури досить побудувати точки, симетричні тим, які визначають положення фігури. При навчанні побудови симетричних точок відносно точки і прямої доцільно формулювати алгоритми.

Наприклад, щоб побудувати точку X^/, симетричну даній точки X відносно даної прямої g, треба: 1) провести перпендикуляр X на пряму g; 2) продовжити його за точку і на продовженні відкласти відрізок X^/= X. Точка X^/ — шукана.

Деякі учні плутають поняття «фігури, симетричної відносно точки (прямої)» і «центрально — симетричної фігури», що містять вісь симетрії (симетричної відносно прямої). Отже, треба наголосити, що в першому випадку йдеться про дві фігури, а в другому про одну фігуру, яка при перетворенні симетрії переходить в себе. [3,293]

Важливо виділити достатні умови, при яких задається центральна і осьова симетрії. Щоб задати центральну (осьову) симетрію, досить указати 1) центр (вісь) симетрії або 2) відповідні точки. У другому випадку неважко побудувати центр і вісь симетрії.

Під вивчення осьової симетрії доцільно навести приклади її застосування в архітектурі, техніці, біології (споруди, креслення літаків, деталі машин і інструментів, листя дерев, крила метелика тощо). За розглянутою вище методичною схемою можна розглядати і інші рухи.

При введенні поняття повороту варто підкреслити, що будь-який поворот може бут заданий: 1) центром О, кутом повороту б (0^о б 180^о), напрямом повороту або 2) центром повороту і двома відповідними точками X і X^/. У цьому разі ефективно скористатися рухомою моделлю.

Паралельне перенесення дуже часто використовується в математиці та її застосуваннях в інших науках та практиці. Зокрема, в алгебрі і в математичному аналізі паралельне перенесення і симетрії використовуються при побудові графіків складних функцій, у кресленні при побудові різноманітних фігур. Перш ніж вводити означення паралельного перенесення, корисно спочатку продемонструвати цей вид руху на рухомій планіметричній моделі, виготовленій з картону і кальки. Це дасть змогу учням помітити суттєву ознаку паралельного перенесення (це перетворення, за якого точки зміщуються в одному й тому самому напрямі на ту саму відстань). Проте учнів треба переконати в необхідності формулювання строго математичного означення, в якому не вживалось би поняття «в одному й тому самому напрямі», оскільки воно само потребує означення. Означення доцільно ввести вчителеві і проілюструвати його прикладами.

О.В. Погорєлов та Л. С. Атанасян принципово по-різному вводять означення паралельного перенесення. О.В. Погорєлов означає паралельне перенесення як перетворення фігури, за якого довільна точка (x; y) переходить у точку (x+а;y+b), де а і b — одні й ті самі для всіх точок (x; y). Отже, в означенні паралельного перенесення використовується координатний метод. За такого підходу треба проілюструвати на моделі паралельне перенесення, наприклад, трикутника в координатній площині, і показати, що а і b для всіх трьох вершин однакові.

Зауважимо, що симетрії і паралельне перенесення означуються в цьому підручнику через поняття перетворення фігури і доводиться, що ці перетворення є рухами. Поворот означується через поняття руху.

У підручнику Атанасяна Л. С. означення паралельного перенесення вводиться після вивчення векторів і означається через поняття вектора: нехай — даний вектор. Паралельним перенесенням на вектор називається відображення площини на себе, за якого кожна точка М відображається в таку точку М₁, що вектор дорівнює вектору .

У зв’язку з введеним означенням рівності фігур важливо зазначити, що попередні означення рівності відрізків, кутів, трикутників виражають одне й те саме. На прикладі означень рівності трикутників в пі ручнику О.В.Погорєлова фактично доводиться рівносильність раніше введеного і нового означення через рух.

В умовах роботи за цим підручником передбачене вивчення чотирьох теорем і їх доведень, що стосуються властивостей руху, перетворень симетрії відносно точки, прямої і паралельного перенесення. Крім того, наводяться доведення інших тверджень, що стосуються властивостей двох послідовно виконаних рухів і оберненого руху, наслідку з теореми 9.1, властивості паралельного перенесення і еквівалентності двох означень рівності трикутників, яких немає під рубрикою «теорема». Вимагати від усіх учнів уміння відтворювати ці доведення на рівні обов’язкових результатів недоцільно.

Доведення теореми 9.1 про властивість руху виконується методом від супротивного. Тому варто пригадати алгоритм цього методу. Теореми 9.3 і 9.4 доводять, послуговуючись координатним методом. Учні пригадують правило-орієнтир цього методу і виконують доведення відповідно до нього.

Система задач підручника, що стосується § 9 «Рухи», містить в основному вправи на побудову фігур при різних видах руху і задачі на доведення властивостей окремих фігур у разі виконання рухів. Обмежуватись лише цими задачами для учнів, які добре встигають, не можна. Треба розглянути кілька задач на побудову, в яких ефективно використовуються геометричні перетворення. Такі задачі доцільно пропонувати і надалі при вивченні наступних тем. Рухи знаходять дійові застосування при розв’язуванні задач на максимум і мінімум.

1.2 Перетворення подібності

Тема «Подібність фігур», у складі якої вивчається перетворення подібності, в умовах роботи за підручникам О.В. Погорєлова має не тільки теоретичне значення, оскільки тут вивчається важливе відношення фігур, а й політехнічну, прикладну спрямованість. Справді, подібність і гомотетія широко використовується в фотоі кіносправі, картографії, архітектурі, машиноі приладобудуванні, де доводиться моделювати об'єкти, та в інших галузях практики. Подібність вивчається в 9 класі, а не разом з рухами.

Можливі різні методичні підходи до вивчення теми «Подібність фігур». Оскільки відношення подібності фігур є узагальненням відношення рівності, а перетворення подібності є узагальненням руху, то природно означення подібних фігур і вивчення їх властивостей пов’язати з перетворенням подібності. За такого підходу немає потреби спеціально означити подібні трикутники. Вони вводяться як окремий випадок подібних фігур. [3,296]

У підручнику Л. С. Атанасяна та інших перетворення подібності фігур не розглядається, а тему «Подібні трикутники» передбачено вивчати у 8 класі. Тут вводять спеціальне означення подібних трикутників, доводять ознаки їх подібності і розглядають питання застосування подібності трикутників до доведення теорем і розв’язування задач, у тому числі практичного змісту. Нарешті, вводиться поняття про подібність довільних фігур. Відповідне означення формулюється так: фігури F і F₁ називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F₁ так, що для будь-яких двох точок M і N фігури F і відповідних їм точок М₁ і N₁ фігури F₁ виконується умова, де — одне й те саме додатне число для всіх точок. В цьому разі припускається, що кожна точка фігури F₁ зіставляється з якою-небудь точкою фігури F .

Відповідно до чинної програми після вивчення теми учні мають знати означення перетворення подібності, гомотетії, подібних фігур, властивості перетворення подібності, вміти доводити ознаки подібності трикутників і застосувати їх розв’язування задач.

Основними поняттями теми є поняття перетворення подібності гомотетії, подібних фігур. У цій темі вивчають також важливі для подальшого засвоєння курсу поняття кутів, пов’язаних з колом: центральний, вписаний, плоский і доповню вальний кути. Останні два поняття є допоміжними.

Найскладнішим з погляду сприймання учнями і методики вивчення є поняття перетворення подібності. Якщо учні засвоять це поняття, то означення подібних фігур як таких, що переводяться одна в одну перетворенням подібності, не призведе до труднощів.

Можливі такі методичні варіанти введення поняття перетворення подібності:

1) учитель сам формулює означення та ілюструє його прикладами (абстрактно-дедуктивний метод);

2) учні спочатку підводять до введення означення на відомих із життєвого досвіду прикладах (конкретно-індуктивний метод).

Розпочати можна із уведення терміна «подібні фігури», оскільки він неодноразово траплявся у повсякденному житті. Справді, учні не раз спостерігали однакові зо формою і різні за розмірами фігури (одну й ту саму фотографію різних розмірів, репродукції картин, плани ділянок, географічні карти тощо). Ґрунтуючись на цих уявленнях і розглянутих у класі прикладах, учні можуть самостійно сформулювати означення перетворення подібності. Доцільно спочатку пригадати вже відоме означення одного з перетворень (руху) і ще раз звернути увагу на те, що при цьому перетворенні зберігається відстань між двома точками фігури, отриманої внаслідок перетворення.

Після цього пропонується розглянути чотири пари фігур і порівняти їх. Учитель наголошує, що в першій парі прямокутників відношення відстаней між двома точками однієї фігури і відповідними точками другої дорівнює одному й тому самому числу 2. інакше кажучи, відстані між двома точками змінюються в однакову кількість разів. Друга пара прямокутників такої властивості не має. У третьому прикладі пара кіл має таку саму властивість, як і перша пара прямокутників, тільки відстань між відповідними точками змінюється в раза. Вчитель зазначає, що перетворення фігур на і на у першому і третьому прикладах називають перетворенням подібності, а фігури подібними. Учням пропонують сформулювати означення перетворення подібності за аналогією з перетворенням руху. Вводиться поняття про коефіцієнт подібності. Учитель звертає увагу на те, що за =1 перетворення подібності є рухом.

Доцільно поставити перед учнями завдання сформулювати означення подібних фігур за аналогією з означенням рівних фігур. Деякі з них імовірно запропонують назвати подібними однакові за формою і різні за розмірами фігури. Потрібно переконати учнів у неприйнятності такого означення. Справді, у другому прикладі маємо однакові за формою фігури (прямокутники), які не подібні. Термін «однакові за формою» потребує свого означення.

Потрібно відразу ввести означення подібних фігур як таких, що переводяться одна в одну перетворенням подібності. Загальне означення подібних фігур дає можливість не формулювати окремо означення подібних трикутників.

Доцільно наголосити, що будь-які два кола подібні, і запропонувати учням навести ще один приклад фігур, які подібні одна до одної. Зазвичай учні називають лише квадрати.

Аналізуючи властивості фігур у четвертому прикладі, треба зауважити, що фігури і не тільки подібні, а й розміщені відносно точки так, що виконується рівність. Це перетворення називають перетворенням гомотетії, а відповідні фігури гомотетичними, формулюється означення гомотетії, вводиться поняття коефіцієнта гомотетії.

Слід звернути увагу учнів на те, що кожні дві гомотетичні фігури подібні, але не кожні дві подібні фігури гомотетичні. Гомотетія дає спосіб побудови подібних фігур і вважається заданою, якщо: 1) задано центр гомотетії і коефіцієнт гомотетії або 2) задано центр гомотетії і дві відповідні точки і .

Відтак варто запропонувати учням виконати перетворення гомотетії трикутника, кола, квадрата. У класах з поглибленим вивченням математики доцільно ввести поняття гомотетії з від'ємним коефіцієнтом і запропонувати виконати відповідні перетворення фігур.

Поняття вписаного і центрального кутів вводять або конкретно-індуктивним або абстрактно-дедуктивним методом. Означення плоского кута повинен ввести сам вчитель.

За умови роботи за підручником О.В.Погорєлова вивчають доведення п’яти теорем, з яких найважливішими є ті, що стосуються ознак подібності трикутників і вимірювання вписаного кута. Крім того, доводять деякі твердження, які не названо теоремами: властивість перетворення подібності та її наслідки, властивість транзитивності відношення подібності фігур, співвідношення елементів прямокутних трикутників і властивість бісектриси трикутника ділити протилежну сторону на частини, пропорційні двом іншим сторонам. Останні твердження широко використовуються при розв’язанні задач.

Після вивчення властивості перетворення подібності і властивостей подібних фігур, що випливають з неї, треба конкретизувати їх для подібних трикутників, оскільки саме цю властивість доводиться часто використовувати при розв’язанні задач. При цьому так само, як і для рівності трикутників суттєвим є порядок запису вершин подібних трикутників: якщо, то, і .

Для вироблення навичок виконання правильних записів корисними є вправи на зразок таких:

1),, ,. Визначити, , ;

2), см, см, см, см. Обчислити і.

Під час вивчення ознак подібності трикутників варто знову нагадати відмінність між поняттями «означення подібних трикутників» і «ознак подібності трикутників».

Доведення трьох ознак подібності трикутників виконується за однаковою схемою, на яку доцільно звернути увагу учнів, перш ніж братися за доведення:

1) піддається перетворенню подібності, наприклад гомотетії з коефіцієнтом. В цьому разі одержують ;

2) доводять, що =;

3) використовуючи транзитивність подібності фігур, роблять висновок, що .

Проілюструвати цю схему варто на доведенні першої ознаки. Це дасть можливість залучити учнів для колективного пошуку доведення двох інших ознак.

Оскільки при доведенні всіх трьох ознак подібності трикутників використовують ознаки рівності трикутників, треба заздалегідь запропонувати учням повторити ознаки рівності.

При доведенні твердження про властивість бісектриси кута трикутника використовують ознаку подібності прямокутних трикутників. Однак учням не зрозуміло, як можна «додуматися» до додаткової побудови, що полягає в проведенні перпендикулярів з двох інших вершин трикутника до прямої, якій належить бісектриса кута, проведена з третьої вершини. Тому можна запропонувати учням доведення властивості бісектриси кута трикутника аналітичним методом з використанням відомої учням властивості прямої, паралельної стороні трикутника.

У підручнику О.В. Погорєлова після § 11 «Подібні фігури» передбачено різноманітні задачі. Частина з них спрямована на закріплення означення подібних, гомотетичних фігур і перетворення гомотетії та подібності, на формування навичок побудови фігури, гомотетичної даній. У деяких подані теоретичні факти, які використовуються при розв’язуванні інших задач, деякі розглядають як теореми. Зрозуміло, що перелічені задачі треба розв’язувати в класі або як домашнє завдання з наступною перевіркою в класі. У системі задач є чимало задач на доведення, які значна частина учнів не зможе розв’язати самостійно. Тому їх треба розглянути в класі.

У систему задач на подібність фігур варто включити задачі практичного змісту на визначення висоти предметів (телеграфного стовпа, башти, ширини річки, відстані до неприступної точки).

Цікавим може виявитися для учнів прилад, яким послуговуються лісники для визначення висоти дерева, — висотомір лісовода, пропорційний циркуль, далекомір, поперечний масштаб, пантограф. [3,302]

Розділ 2. Методика розв’язування задач за допомогою геометричних перетворень

У міру вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови (наприклад, різницю двох сторін, периметр трикутника тощо).

Такі перетворення фігур не випадкові. Це окремі випадки застосування геометричних перетворень.

За новою програмою з математики весь курс геометрії розгортається на основі ідей геометричних перетворень.

Геометричні перетворення використовуються і для доведення теорем, і для розв’язування різноманітних задач. При цьому основною формою роботи є розв’язування задач на побудову.

Суть методу геометричних перетворень така: при розв’язуванні задачі на побудову вважають, що задача розв’язана, тобто шукана фігура побудована. До окремих частин шуканої фігури або до всієї шуканої фігури, а іноді і до кількох даних фігур, використовується яке-небудь перетворення, і тим самим розв’язування даної задачі зводиться до розв’язування нової допоміжної задачі. Допоміжні задачі розв’язуються, як правило, або безпосередньо, або методом геометричних місць.

Розв’язавши допоміжну задачу, виконують обернене перетворення і тим самим одержують розв’язок даної задачі. У деяких випадках дана задача вважається розв’язаною, як тільки розв’язана допоміжна задача. У цих випадках відпадає необхідність у виконанні оберненого перетворення.

2.1 Методи рухів

Багато спільного мають методи рухів (метод паралельного перенесення, осьової та центральної симетрії, обертання).

Основними ідеями використання рухів при розв’язуванні задач на побудову є:

1) введення в малюнок даних;

2) суміщення рівних відрізків і кутів;

3) суміщення окремих частин шуканої фігури в таке положення, в якому вони будуються безпосередньо.

Приклади

1. Побудувати трикутник, знаючи дві його бічні сторони та і різницю кутів .

Розв’язання Припустимо, що трикутник АВС — шуканий. Якщо побудувати точку, симетричну, А відносно серединного перпендикуляра до відрізка ВС, то одержимо рівнобедрену трапецію і трикутник .

Для побудови шуканого трикутника достатньо побудувати трикутник за двома сторонами, і кутом між ними. Потім виконуємо обернене перетворення (побудувати точку, симетричну точці С відносно серединного перпендикуляра до відрізка). 4,109]

Таким чином, використавши перетворення осьової симетрії до точки, А (до відрізка АВ), ми звели розв’язування даної задачі до розв’язування допоміжної задачі, в якій потрібно побудувати трикутник за двома сторонами і кутом між ними. Метою використання осьової симетрії є введення в малюнок даного кута рівного .

2. Побудувати чотирикутник за його сторонами, якщо відомо, що діагональ ділить кут навпіл.

Розв’язання Припустимо, що задача розв’язана, тобто шуканий чотирикутник побудований. Побудуємо трикутник, симетричний трикутнику відносно прямої. Оскільки діагональ чотирикутника ділить кут навпіл, то точка належить пів прямій .

Для побудови шуканого чотирикутника достатньо побудувати трикутник, у якому відомі всі сторони. Дійсно, якщо побудувати трикутник, то на прямій однозначно знайдеться точка, тобто за умовою задачі нам відома сторона чотирикутника. Побудувавши точку, симетричну точці відносно прямої, одержимо шуканий чотирикутник.

Таким чином, використавши перетворення осьової симетрії, ми звели розв’язання даної задачі до розв’язування допоміжної задачі, в якій потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами. Метою використання осьової симетрії стало суміщення рівних кутів і .

Розглянутий метод розв’язування задачі можливий за умови, що. Якщо, то. У цьому випадку чотирикутник (дельтоїд) симетричний відносно прямої, тобто задача має безліч розв’язків.

3. Побудувати трапецію, якщо відомі її основи і діагоналі.

Розв’язання Припустимо, що задачу розв’язано, тобто побудовано шукану трапецію. Перенесемо діагональ у напрямку пів прямої на відстань. Одержимо трикутник, в якому відомі всі сторони.

Якщо побудувати трикутник і виконати обернене паралельне перенесення в напрямку пів прямої на відстань, то одержимо шукану трапецію. 4,110]

Таким чином, виконавши паралельне перенесення діагоналі, ми зводимо розв’язування даної задачі до допоміжної, в якій потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами. Метою паралельного перенесення є зміщення діагоналі в таке положення, в якому кут, рівний куту між діагоналлю і основою трапеції, будується простіше, ніж в шуканому положенні.

4. Побудувати квадрат, якщо відома точка перетину його діагоналей і дві точки та на його протилежних сторонах.

Розв’язання Припустимо, що задача розв’язана, тобто побудовано квадрат, діагоналі якого перетинаються в точці, а точки та належать двом протилежним сторонам Побудову квадрата можна звести до побудови прямих і. Пряма могла бути побудована як центрально-симетрична прямій .

5. Через дану точку провести січну до даного кола так, щоб її внутрішня частина мала задану довжину.

Розв’язання Припустимо, що задачу розв’язано, тобто побудовано січну до даного кола, яка проходить через дану точку, а її внутрішня частина має довжину .

Повернувши січну навколо центра кола на деякий кут, одержимо січну, внутрішня частина якої має довжину, але вона не проходить через дану точку. Якщо побудувати січну, а потім виконати поворот у зворотному напрямку, то одержимо шукану січну. Кут оберненого повороту дорівнює куту, де — образ точки при обертанні січної навколо точки. 4,111]

2.2 Клас задач, що розв’язуються за загальною схемою (методом рухів)

Для кожного методу рухів існує цілий клас задач, що розв’язуються за загальною схемою.

Розглянемо такі класи задач і схеми їх розв’язування.

1. Багато задач на побудову, що розв’язуються методом паралельних перенесень, зводяться до розв’язування задач типу:

· Задані дві фігури і, пряма і відрізок. Провести пряму, паралельну прямій, таким чином, щоб її відрізок, що лежить між даними фігурами, дорівнював заданому відрізку .

Нехай пряма є шуканою, тобто вона:

1) паралельна прямій ;

2) відрізок, що лежить між фігурами і, дорівнює даному відрізку .

Перенесемо фігуру в напрямку прямої на відстань таким чином, щоб точка відобразилась в точку. Точка є точкою перетину фігури і, яку одержали в результаті паралельного перенесення фігури. Виконуючи обернене паралельне перенесення, одержимо точку. Пряма є шукана пряма.

Фігурами можуть бути, наприклад, прямі, кола, многокутники.

До класу, який розглядається, відносяться такі задачі:

— побудувати паралелограм, якщо відома сторона і гострий кут так, щоб задана сторона була паралельною заданій прямій, її кінці належали б двом заданим фігурам і, крім того:

— 1) дві інші сторони мали б задану довжину;

— 2) сторони паралелограма відносились би як два заданих числа.

Аналогічні задачі можна сформулювати, якщо шуканою фігурою є ромб, трикутник, трапеція квадрат і т. ін.

Шукані відрізки і. 4,112]

2. Існує клас задач, які розв’язуються методом осьової симетрії, розв’язування яких зводиться до розв’язування задач типу:

1) Задана пряма s і дві фігури і. На фігурах і знайти такі точки і, які симетричні відносно прямої s. Точка відобразиться в точку. Таким чином, точка є точкою перетину фігур і. Виконавши обернене відображення, одержимо точку. На малюнку розглянуто розв’язок задачі цього класу для випадку, коли фігура — коло, а фігура — трикутник. Пари точок, , і - шукані.

До задач даного класу відносяться наприклад такі задачі:

— побудувати ромб з гострим кутом такий, щоб його більша (менша) діагональ лежала на заданій прямій, а кінці другої діагоналі лежали б на двох даних колах (на даній прямій і на даному колі, на двох даних прямих і т. д.). Замість гострого кута можна задати довжину діагоналі, що лежить на заданій прямій;

— побудувати трикутник, медіана якого лежить на заданій прямій.

— 3. Задачі, які розв’язуються методом центральної симетрії, зводяться до розв’язування задач типу:

— 1) задані дві рівні фігури і точка S. Через точку S провести пряму так, щоб S була серединою відрізка цієї прямої, який лежить між даними фігурами;

— 2) нехай пряма (точки і належать даним фігурам) є шуканою. Побудуємо фігуру, центрально-симетричну фігурі. При цій центральній симетрії точка відобразиться на точку. Таким чином, точка є точкою перетину фігур і. Виконавши обернену симетрію, одержимо точку .

— На малюнку розглянуто розв’язок задачі, коли — коло, а — пряма. Прямі, і - шукані.

До задач даного класу відносяться, наприклад, такі задачі:

— побудувати паралелограм, діагоналі якого перетинаються в заданій точці О, а кінці однієї діагоналі лежать на даних колах (на даній прямій, на даному колі, на даних прямих і т. д.), якщо відомі:

— 1) друга діагональ і кут між діагоналями;

— 2) його сторони і т. д.

Аналогічно можна сформулювати задачі на побудову ромба, квадрата, прямокутника.

3. Розв’язування класу задач за допомогою обертання зволиться до розв’язування задач виду:

1) задана точка кут і дві фігури і. Побудувати рівнобедрений трикутник з вершиною у точці і кутом при вершині таким чином, щоб кінці основи трикутника лежали на даних фігурах;

2) нехай трикутник — шуканий, де точка В лежить на фігурі, а С на фігурі. Обертаючи фігуру навколо точки, А на кут таким чином, щоб точка В співпала з С, одержимо фігуру. Точка С — точка перетину фігур і. Виконавши обертання, одержимо точку В.

3) Розглянемо розв’язок задачі даного класу для випадку, коли фігури є колами. 4,104]

Трикутники і - шукані.

Аналогічно можна сформулювати задачі на побудову квадрата або ромба.

До задач даного класу відноситься і така задача:

— задані три паралельні прямі. Побудувати рівносторонній (рівнобедрений з даним кутом при вершині) трикутник, вершини якого лежали б на даних прямих.

Задача розв’язується з точністю до паралельного перенесення в напрямку даних прямих. Тому точка, А на прямій, а може бути вибрана довільно.

Приклади задач цього типу:

Задані точка, А і дві прямі і .Побудувати рівнобедрений трикутник з вершиною в точці А і заданим кутом при вершині таким чином, щоб кінці основ трикутника лежали на прямих і .

2.3 Використання гомотетії при розв’язуванні задач на побудову

При використанні гомотетії необхідно звернути увагу на те, що гомотетії є подібним перетворенням, а тому гомотетичні фігури подібні (однакові за формою, але різні за розмірами) Якщо фігура при гомотетії з центром і коефіцієнтом переходить у фігуру, то записують так: .

Звертаємо увагу на те, що коли, то виконуються такі умови:

1) ;

2) точки належить одній прямій.

Примітка символ читаємо так: «Точка М лежить між точками О і М1».

З таблиці легко помітити особливості, які наведені у наступній таблиці.

2.4 Задачі, що розв’язуються методом подібних перетворень

Умови задачі розподіляються на дві групи:

1. Умови, які дають можливість побудувати фігуру, подібну шуканій. До цієї групи відносяться умови, що визначають форму шуканої фігури (назва шуканої фігури, кути, відношення відрізків) і деякі з умов, що визначають розміщення даної фігури.

2. Умови, які дають можливість перетворити фігуру, подібну шуканій, в шукану фігуру. До цієї групи умов відносяться задані відрізки і деякі з умов, що визначають розміщення даної фігури.

Таким чином, умови, які визначають розміщення шуканої фігури, можуть належати як до першої, так і до другої групи.

Розглянемо приклади задач, які розв’язуються методом подібності.

1. У даний трикутник АВС вписати квадрат Умова задачі:

1) шукана фігура квадрат;

2) дві вершини шуканого квадрата повинні лежати на відрізку АВ (або на одному із відрізків АС та ВС);

3) одна вершина квадрата повинна лежати на відрізку АС;ї

4) одна вершина квадрата повинна лежати на відрізку ВС.

Умови 1)-3) дозволяють побудувати квадрат (подібний шуканому), який не задовольняє тільки умові 4).

Умова 4) дозволяє перетворити квадрат в шуканий за допомогою гомотетії з центром в точці А. Коефіцієнт гомотетії визначається вимогою, щоб точка P належала відрізку ВС.

При розв’язуванні задач на побудову іноді використовують декілька геометричних перетворень.

Нехай, наприклад, потрібно побудувати трикутник АВС з кутом при вершині А і відношенням сторін АВ: АС=3:2 таким чином, щоб його вершини лежали відповідно на паралельних прямих .

Точку, А на прямій a можна вибрати довільно, так як задача розв’язується з точністю до паралельного перенесення в напрямку даних прямих. Застосуємо до прямої с перетворення гомотетії з центром в точці А і коефіцієнтом =3/2. Нехай пряма с відображається на пряму, а точка С на точку. Якщо побудувати рівнобедрений трикутник, то буде побудований і шуканий трикутник АВС. Таким чином, розв’язування задачі звели до побудови рівнобедреного трикутника з заданим кутом при вершині А, дві інші вершини якого повинні лежати на паралельних прямих і. Ця задача розв’язується методом обертання. Розв’язання цієї задачі розглянуто раніше.

Таким чином, при розв’язуванні цієї задачі потрібно використати послідовно два перетворення — гомотетії і обертання.

2.5 Зв’язок геометричних перетворень з іншими методами розв’язування задач

У багатьох випадках геометричні перетворення не є самоціллю, а виступають як частина розв’язування задачі. За допомогою геометричних перетворень здійснюється перехід до такої фігури, про яку є достатня кількість відомостей, для виконання побудови або обчислення лінійних та кутових елементів (чого потребує умова задачі). 5,131]

Розглянемо приклади такого використання геометричних перетворень у процесі розв’язування задачі на обчислення.

Задача. На гіпотенузі ВС прямокутного трикутника, сума катетів якого дорівнює, поза трикутником побудовано квадрат. Визначити відстань від вершини А трикутника до центра квадрата.

Порівняно просте розв’язування дає розгляд чотирикутника АВОС, якщо застосувати теорему Птоломея: Добуток діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі добутків протилежних його сторін. Проте ця теорема перебуває за межами шкільної програми.

Якщо вважати відомими катети, провести висоту на гіпотенузу, продовжити її до перетину з прямою, що проходить через точку О паралельно ВС, і виконати обчислення (за допомогою співвідношень між елементами прямокутного трикутника), то це вимагатиме багато часу.

Справа істотно змінюється, якщо виконати обертання трикутника АОВ навколо точки О на. Про можливість такого перетворення свідчить той факт, що ОВ=ОС і. Після такого обертання точка В перейде в точку С, а точка А в точку М. підрахунок кутів при точці С показує, що точки А, С і М лежать на одній прямій.

Таким чином, виявляється, що шуканий відрізок АО є катетом рівнобедреного трикутника АОМ, гіпотенуза якого АМ=АВ+АС=, тому АО=.

Задача. Периметр гострокутного трикутника АВС дорівнює Р. Визначити периметр трикутника, вершини якого симетричні центру кола О, описаного навколо трикутника АВС, відносно сторін трикутника.

Безпосередньо обчислювати розміри сторін трикутників АВС (з використанням тригонометрії) явно нераціонально. Розглянемо трикутник, вершини якого є серединами сторін трикутника АВС. За властивістю середньої лінії трикутника, периметр якого дорівнює. Розглядаючи трикутники і, можна помітити, що вони гомотетичні, причому центром гомотетії є точка О, а коефіцієнт гомотетії =2. Тому периметр шуканого трикутника дорівнює .

При розв’язуванні задач на побудову можливе поєднання, зв’язок кількох перетворень. Наприклад, якщо треба побудувати трапецію за відношенням всіх її сторін та висотою, то спочатку будують трапецію, подібно до шуканої. При цьому відомі всі сторони трапеції, і доводиться застосовувати паралельне перенесення. Потім, щоб перейти до шуканої фігури, треба використовувати відомий розмір висоти. Тому застосовують гомотетії.

Найчастіше геометричні перетворення застосовують при побудовах у сполученні з геометричним місцями точок. Наприклад.

Задача. Побудувати трикутник за кутом, медіаною та висотою, проведеними з вершини цього кута. 5,133]

Якщо дано кут А та величину висоти і медіани, то можна побудувати трикутник. При цьому лишиться визначити положення вершини В і С на прямій. Якщо виконати побудову точки М, симетричної до А відносно, то виявиться, що АС=МВ, тобто. Таким чином, для визначення положення точки В досить побудувати на відрізку АМ сегмент, що вміщує кут .

Побудова здійснена, якщо .

Задача. Всередині кута ВАС дано точки D і E. Побудувати рівнобедрений трикутник, основа якого лежить на прямій АС, третя вершина на АВ, причому бічні сторони проходять через точки D і E.

Побудуємо точку симетричні точці Е відносно прямої АВ. Якщо, то легко обчислити, що. Таким чином, побудова сегмента, що вміщує такий кут на відрізку визначають вершину К шуканого трикутника.

Отже, геометричні перетворення не протиставляються іншим прийомам розв’язування геометричних задач, а поєднуються з ними. Правильне розуміння місця геометричних перетворень в арсеналі методів розв’язування задач збагачує учнів, дає змогу в багатьох випадках швидше знайти шлях для розв’язання і розв’язати поставлену задачу простіше.

Розділ 3. Конспект уроку з теми перетворення фігур. Рух та його властивості

Мета: Ввести поняття перетворення фігур, рух як таке перетворення, при якому зберігаються відстані. Розглянути властивості руху.

Хід уроку

I. Аналіз тематичної контрольної роботи.

Ця робота проводиться вчителем з урахуванням того, як учні впорались із завданням контрольної роботи.

II. Вивчення нового матеріалу Розповідь учителя Якщо кожну точку деякої фігури F перемістити яким-небудь чином, то одержимо нову фігуру. Кажуть, що фігура одержана з фігури F перетворенням.

(Зручно показати таке перетворення за допомогою кодоскопа).

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто переводить будь-які точки X, Y однієї фігури в точки другої фігури так, що .

Поговоримо про властивості руху.

Властивість 1

Два рухи, виконані послідовно, дають знову рух.

Дійсно, нехай при деякому русі точки X і Y фігури F переходять в точки фігури. При цьому. А при деякому русі точки фігури переходить в точки фігури і виконується рівність, тобто. Отже перетворення фігури F в фігуру є рухом, що і треба було довести.

Властивість 2

Перетворення, обернене до руху, теж рух.

(Доведення цього твердження учні проводять самостійно) Властивість 3

Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Іншими словами, якщо точки А, В, С, які лежать на прямій, переходять у точки, то теж лежать на прямій і, якщо, то і .

Доведення Під час руху ;

Довести. 1) .

1. Проведемо через точки і пряму. Нехай .Тоді (нерівність трикутника), але ж, тобто. Це суперечить умові, бо оскільки точка В лежить між точками А і С, то АС=АВ+ВС

Отже, .

2. Нехай не лежить між точками і .

Тоді або точка лежить між точками і; або точка лежить між точками і. Нехай, тоді, тобто АВ+АС=ВС, бо. Це суперечить умові АВ+ВС=АС, бо .

Висновок: точка А лежить між точками В і С.

Аналогічне доведення проводиться для випадку: точка лежить між точками і .

Властивість 4 (наслідок із властивості 3)

Під час руху прямі переходять у прямі, півпрямі - у півпрямі, відрізки — у рівні їм відрізки, трикутники — в рівні їм трикутники.

Властивість 5

Під час руху зберігаються кути між півпрямими Доведення Нехай АВ і АС — дві пів прямі, що виходять з точки А і не лежать на одній пів прямій. Під час руху ці пів прямі перейдуть у півпрямі і .

Оскільки рух зберігає відстані, то за трьома сторонами. З рівності трикутників випливає рівність кутів ВАС і, що і треба було довести.

Властивість 6

Під час руху паралельні прямі переходять у паралельні прямі (Для доведення скористатися малюнком)

III. Домашнє завдання Вивчити п. 82, 83 із § 9.

Дати усно відповіді на запитання 1−4 до § 9 (с.137).

Розв’язати задачі № 1і 2 до § 9 (с. 138).

IV. Підведення підсумків уроку Підведення підсумків уроку можна провести шляхом повторення його ключових моментів, а саме: означення руху і властивостей руху, з демонстрацією їх на рисунках (або через кодоскоп).

Висновки

Ідея перетворень є однією з провідних у сучасній математичній науці і в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов’язана із ідеями функцій, відображень, які широко використовуються в практиці (архітектура, геодезія тощо). Крім того, геометричні перетворення — добрий засіб доведення теорем і розв’язування задач.

За програмою 12-ти річної школи учні повинні самостійно описувати симетрію відносно точки і прямої; паралельне перенесення; поворот; рівність фігур; перетворення подібності; гомотетії; подібність фігур. Також будувати і наводити приклади фігур, в які переходять дані фігури при переміщеннях та перетвореннях подібності; формулювати властивості переміщення та перетворення подібності та практично застосовувати отриманні знання з теми. Тому у вчителів постає проблема методики викладання теми «Геометричні перетворення» в основній школі.

Суть цієї проблеми розкриває дана курсова робота. Вона буде корисною студентам та викладачам при вивченні даної теми.

Список використаних джерел:

1. Державна національна програма для 12-ти річної школи // Математика в школі № 2, 2006 р.

2. А.В. Погорєлов. Геометрія: Учеб. Для 7−11 кл. сред. шк. — 4-е изд. — М.: Просвещение — 1993 г.

3. З.І. Слєпкань Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальносте пед. навч. закладів. — К.:Зодіак-ЕКО, 2000 р.

4. И. Ф. Тесленко, С. М. Чашечников, Л. И. Чашечникова. Методика преподавания планиметрии: Метод. пособие. — К.:Рад. шк. — 1986

5. М. Б. Гельфанд, Л. М. Лоповок, Г. М. Скобелев, І.Ф. Тесленко Розв’язування геометричних задач у середній школі. — Рад. Шк., К: — 1972 р

6. Методика преподования математики: практикум Под общ. ред. Г. П. Бевза. — К.: Вища школа — 1981 р.

7. М.І. Бурда Розв’язування задач на побудову в 6−8 класах. — К.: Рад. Шк., 1986 р.