Интеграл по комплексної перемінної. 
Операційне літочислення і її приложения

Інтеграл по комплексної перемінної. Визначення 1: Крива Р називається гладкою, якщо вона не має безупинно непостійну дотичну. Визначення 2: Крива називається кусочно-гладкой, якщо вона з кінцевого числа гладких дуг. Основні властивості: Нехай на комплексної площині Z задана кусочногладка крива З довжиною ?, використовуючи параметрическое завдання кривою З поставимо ?(t) і? (t), де? і? є кусочно-гладкими кривими від дійсною перемінної t. Нехай? 0 існує межа приватних сум не залежить ні від способу розбивки кривою З на часткові дуги, ні від вибору точок? і, цей межа називається інтегралом від функції f (?) по кривою З. [pic] (2) f (?і*) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3) де ?? і = ?? (t) + i??(t) (? (t) і ?(t) — справжні числа) Підставивши (3) в (1) одержимо :

(4).

Очевидно, що (4) складається з суми двох приватних сум, криволинейных з дитинства інтегралів дійсною перемінної. Переходячи в (4) до межі при ?? і ?? > 0 й гадаючи, що ці межі існують, отримуємо :

(5).

Заметим, що з існування криволинейного з дитинства інтегралів, які входять у (5), а тим самим в існуванні інтеграла (2) досить кусочной безперервності функцій u і v. Це означає, що (2) існує й разі неаналитичности функції f (?). Сформулюємо деякі властивості інтеграла від функції комплексної перемінної. З рівності (5) йдуть властивості :

О обмеженості інтеграла. У цьому z =? (?).

7.) Нехай Cp — окружність радіуса ?, з центром у точці Z0. Обхід навколо контуру Cp здійснюється проти годинниковий стрілки. Cp: ? = Z0 + ??ei?, 0? ?? 2?, d? = i?? ei? d?. Кусочно-гладкую замкнуту криву називатимемо замкнутим контуром, а інтеграл по замкненому контуру — контурним интегралом.

ТЕОРЕМА КОШІ. Як позитивного обходу контуру виберемо напрям у якому внутрішня область, обмежена даним замкнутим контуром залишається зліва від напрямку руху: Для дійсною перемінної мають місце формули Гріна. Відомо, що й функції P (x, y) і Q (x, y) є безперервними у певній заданої області G, обмежені кусочно-гладкой кривою З, які приватні похідні 1- го порядку безупинні в G, то має місце формула Грина:

(8).

ТЕОРЕМА: нехай у односвязной області G задана аналітична функція f (Z), тоді інтеграл від цього функції замкненому контуру Р повністю лежачому в G, нульовий. Доказ: з формули (5) слід: Т.к. f (?) аналітична скрізь, то U (x, y), V (x, y) — безупинні в області, обмеженою цим контуром і навіть виконуються умови КошіРімана. Використовуючи властивість криволинейных з дитинства інтегралів: Аналогічно: За умовою Коши-Римана на минулих равенствах дужки рівні нулю, отже, і обидва криволинейных інтеграла рівні нулю. Звідси :

ТЕОРЕМА 2 (Друга формулювання теореми Коші): Якщо функція f (?) є аналітичної в односвязной області G, обмеженою кусочно-гладким контуром З, і безупинна в замкнутої області G, то інтеграл від такої функції кордоні З області G дорівнює нулю.

TEOPEMA 3 (Розширення теореми Коші на многосвязную область): Нехай f (?) є аналітичної функцією в многосвязной області G, обмеженою ззовні контуром С0, а зсередини контурами С1, С2,., Сn (див. рис.). Нехай f (?) безупинна в замкнутої області G, тоді :

де З — повна кордон області G, що складається з контурів С1, С2,. , Сn. Причому обхід кривою З ввозяться позитивному направлении.

Невизначений інтеграл. Наслідком формули Коші є що становище: нехай f (Z) аналитична в односвязной області G, зафіксуємо у цій галузі точку Z0 і позначимо: інтеграл з якоїсь кривою, повністю що у області G, що містить Z0 і Z, з теорії Коші цей інтеграл залежить від вибору кривою інтегрування і є однозначної функцією Ф (Z). Аналітична функція Ф (Z) називається первообразной від функції f (Z) у сфері G, тоді як цієї області має місце рівність: Ф «(Z) = f (Z). Визначення: Сукупність усіх первообразных називається невизначеним інтегралом від комплексної функції f (Z). Як у разі з функцією дійсного змінного має місце рівність :

(9).

Це аналог формули Ньютона-Лейбница.

Інтеграл Коші. Висновок формули Коші. Раніше було сформульовано теорема Коші, що дозволяє встановити зв’язок між значеннями аналітичної функції у внутрішніх точках області їх аналітичності і граничними значеннями цієї функції. Нехай функція f (Z) — аналітична функція в односвязной області G, обмеженою контуром З. Візьмемо всередині цій галузі довільну точку Z0 й області G довкола цієї точки побудуємо замкнутий контур Р. Розглянемо допоміжну функцію? (Z). Ця функція аналитична у сфері G скрізь, крім точки Z=Z0. Проведемо контур? із достатньою радіусом, обмежує точку Z0, тоді функція буде аналитична у певній двусвязной області, яка є між контурами Р і ?. Відповідно до теоремі Коші маємо :

По властивостями з дитинства інтегралів :

(2) Оскільки лівий інтеграл в (2) залежить від вибору контуру інтегрування, те й правий інтеграл теж залежатиме від вибору контуру. Виберемо в ролі? окружність ?? з радіусом?. Тогда:

(3).

Уравнение окружності ??: ? = Z0 + ?ei? (4) Підставивши (4) в (3) одержимо :

(5).

(6).

(7).

Устремим ??> 0, тобто. ?> 0. Тоді т.к. функція f (?) аналитична у точці Z=Z0 і скрізь у сфері G, а отже й безупинна в G, то тут для всіх ?>0 існує ?>0, що з всіх? з ?-околиці точки Z0 виконується | f (?) — f (Z0) | < ?.

(8).

Підставивши (7) в (6) з урахуванням (8) отримуємо: Підставляючи в (5) і висловлюючи f (Z0) маємо :

(9).

Это інтеграл Коші. Інтеграл, котрий у (9) у правій частині висловлює значення аналітичної функції f (?) у певній точці Z0 через його значення на довільному контурі? , лежачому у сфері аналітичності функції f (?) і що містить точку Z0 всередині. Вочевидь, якби функція f (?) була аналитична й у точках контуру З, то як кордону? у формулі (9) можна було використовувати контур З. Наведені міркування залишаються справедливими у разі многосвязной області G.

Следствие: Інтеграл Коші, повністю приналежний аналітичної області G можна буде нічого для будь-якого становища Z0 на комплексної площині за умови, що цю крапку є внутрішньої точкою області Р. У цьому якщо Z0 належить області з кордоном Р, ті значення інтеграла одно (9), і якщо т. Z0 належить зовнішньої області, то інтеграл нульовий: При Z0? Р зазначений інтеграл не существует.

Інтеграли, залежать від параметра.

Рассматривая інтеграл Коші, бачимо, що подинтегральная функція залежить від 2- x комплексних змінних: перемінної інтегрування? і Z0. Отже інтеграл Коші може розглядатися як інтеграл, залежить від параметра, в ролі якого вибираємо точку Z0. Нехай задана функція двох комплексних змінних? (Z, ?), причому Z= x + iy у точці, що належить деякою комплексної площині G. ?= ?+ і?? З. (З — кордон G). Взаємна розташування області й кривою довільно. Нехай функція? (Z, ?) задовольняє умовам: 1) Функція всім значень? ? З є аналітичної у сфері G. 2) Функція? (Z, ?) і його похідна ??/?? є безперервними функціями за сукупністю змінних Z і? при довільному зміні області G і змінних на кривою З. Вочевидь, що при зроблених припущеннях: Інтеграл є і є функцією комплексної перемінної. Справедлива формула :

[pic] (2).

Эта формула встановлює можливість обчислення похідною від вихідного інтеграла шляхом диференціювання подинтегральной функції параметру.

ТЕОРЕМА. Нехай f (Z) є аналітичної функцією у сфері G і безупинної у сфері G (G включаючи граничні точки), тоді в внутрішніх точках області G існує похідна будь-якого порядку від функції f (Z) причому на її обчислення має місце формула :

(3).

С допомогою формули (3) можна отримати роботу похідну будь-якого порядку від аналітичної функції f (Z) у будь-якій точці Z області їх аналітичності. Для докази цієї теореми використовується формула (2) і відповідні міркування, що призвели до її выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Нехай f (Z) безупинна в односвязной області G і інтеграл від цієї функції кожному замкненому контуру, повністю приналежному G дорівнює 0. Тоді функція f (Z) є аналітичної функцією у сфері G. Ця теорема узагальнюється і випадок многосвязной області G.

Розпад функції комплексного змінного в ряды.

Если функція f (x, y) визначена і безупинна разом із приватними похідними (до n-го порядку), що існує розкладання цієї функції до кількох Тейлора: [pic] Отже, якщо задана функція f (z) комплексного змінного, причому f (z) безперервна разом із похідними до n-го порядку, то: [pic] (2) — розкладання до кількох Тейлора.

Формула (2) записана всім Z що належать деякому колу | Z-Z0 |? .

Формули ЭЙЛЕРА. Застосуємо розкладання (3) поклавши, що Z = ix і Z= - ix; [pic] [pic] [pic] (6) Аналогічно узявши Z = - ix одержимо: [pic] (7) З (6) і (7) можна сформулювати т.зв. формули Эйлера: [pic] (8) У випадку: [pic] (9) Відомо, що: [pic] (10) Тоді з (9) і (10) випливає зв’язок між тригонометричними і гиперболическими косинусами і синусами: [pic].

Ряд ЛОРАНА. Нехай функція f (z) є аналітичної функцією у певній колі радіусом R, то її розкласти до кількох Тейлора (2). Одержимо хоча б ряд іншим шляхом. ТЕОРЕМА 1. [pic] Однозначна функція f (Z) аналітична по колу радіусом |Z-Z0| < R розкладається в сходитися до неї статечної ряд по ступенів Z-Z0. Наведемо по колу радіусом R окружність r, приналежну колу з радіусом R. Візьмемо по колу радіуса r точку Z, але в кордоні області точку? , тоді f (z) буде аналитична всередині кола з радіусом r і вкриваю його кордоні. Виконується умова в існуванні інтеграла Коші: [pic].

(13) [pic] (11) Оскільки [pic], то вираз [pic] можна подати як суму нескінченно убутній геометричній прогресії зі знаменником [pic], тобто.: [pic][pic] [pic] (12) Уявімо рівномірно сходящимся поруч, у колі радіуса r, примножуючи (12) на 1/(2?i) і інтегруючи по L при фіксованому Z, одержимо: зліва інтеграл (13) що дорівнює f (Z), а справа буде сума з дитинства інтегралів: [pic].

Обозначая [pic], одержимо: [pic] (14) Це розкладання функції f (Z) по колу R до кількох Тейлора. Порівнюючи (14) з поруч (2) знаходимо, що [pic].

(15).

ТЕОРЕМА 2. Якщо однозначна функція f (Z) аналитична з-поза кола з радіусом r з центром в точці Z0 всім Z виконується нерівність r < |Z-Z0 |, вона представляється поруч: [pic] (16) де h — орієнтована проти годинниковий стрілки окружність радіуса r (як завгодно велика кількість). Якщо позначити [pic] (17), одержимо: [pic] (18).

ТЕОРЕМА 3. Якщо однозначна функція f (Z) аналітична в кільці Z< |Z-Z0 |.