«Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці» в MAPLE 7

Дискретні динамічні системи

Завдання № 1

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням

(1.1.0)

де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=1

Рішення

1. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve ({y (n)=¼*y (n₁)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

>

> R3:=simplify (%);

Результат:

Завдання № 2

Динаміка національного доходу Y_t визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Y_t, якщо Y₀=0, Y₀=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

x_t = F (xt_1, x_t-2,…, xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єкта x_t у будь-який момент часу t зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n_го порядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення x_t при t = 0, 1,…, n — 1.

Підставляючи початкові значення xn_1,…, x₁, x₀ і t = n як аргументи функції в правій частині (1.2.1), знаходимо x_n; використовуючи знайдене значення й підставляючи тепер x_n, xn_1,…, x₂ x₁ і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо x_n+1, і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значення t.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння виду x_t = a_{1 xt-}1 + a_{2 xt-}2 + f(t) — лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y₀=0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve ({f (n)=(2*f (n₁) — (1*¼)*f (n₂)+2), f(0)=0}, f(n));

Ш Samuelson_Hiks3:=simplify (%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n₁, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n₁), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y (1).

3. Варіант початкових даних Y₀=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve ({f (n)=(2*f (n₁) — (1*¼)*f (n₂)+2), f(0)=1}, f(n));

> Samuelson_Hiks3:=simplify (%);

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n₁, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n₁), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y (1).

4. Варіант початкових даних Y₀=0, Y₁=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve ({f (n)=(2*f (n₁) — (1*¼)*f (n₂)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

Ш Samuelson_Hiks3:=simplify (%);

Завдання № 3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

(1.3.0)

Знайти стаціонарну ціну p_D=S(при умові D=S — вирівнювання попиту та пропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни p_D=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

(1.3.1)

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом.

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

(1.3.2)

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

(1.3.4)

а оскільки

(1.3.5)

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

(1.3.7)

Для приросту ціни ?p_i отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розв’язку має вигляд [1]:

(1.3.8)

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни P_D=S виконується за схемою:

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:

> solve (- (sqrt (L)*sqrt (L))+sqrt (L)+2=0);

тобто p=4.

3. Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4:

(1.3.10)

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким

(1.3.11)

Неперервні динамічні системи

Завдання № 1

Найти розв’язок рівняння Харода-Домара з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і - const;

Позначення (згідно з моделлю Харода — Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:

Y (t) — рівень національного доходу держави у часі;

— схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження;

t — час;

i — коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу? Y (t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;

А — рівень незалежних сталих інвестицій Рішення:

1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи п’яти рівнянь [6]:

1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;

2) основна макроекономічна тотожність Y_t=C_t+I_t показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);

3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:

K_t=K_t-1+I_t-W_t,

де K_t — запас капіталу наприкінці періоду t;

І_t — інвестиції за весь період t;

W_t, — амортизація капіталу за період t.

Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань;

4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:

де — постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу;

5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску I_t= s_* Y_t, де s — норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження S_t дорівнюють сукупним інвестиціям І_t. Відповідно, Y_t=C_t+S_t=C_t+I_t.

Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи п’яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються екзогенно:

— затрати праці L (зростають із постійним темпом n);

— норма амортизації основного капіталу ;

— норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).

Мета дослідників — з’ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання.

Модель економічного зростання Харода-Домара

Це найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40_х рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С) та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.

Основні передумови моделі:

— постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;

— постійна норма заощадження s = I/Y;

— відсутній процес вибуття капіталу W = 0;

— інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять у приріст капіталу. Формально це означає, що dK (t) = I (t);

— модель не враховує технічного прогресу;

— випуск не залежить від затрат праці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;

— використовується виробнича функція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва — праці і капіталу.

Припускається, що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK * I (t) = MPK * s * Y, а темп приросту доходу dY/Y * dt є постійним і дорівнює s * MPK. Він прямо пропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції (І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким же постійним темпом (s * MPK).

2. Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішення диференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y₀:

> L6:=diff (y (t), t)=(s/i*y (t) — A/i*t);

Ш ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0}, y(t));

Таким чином, розв’язком рівняння Харода-Домара у вигляді

з початковою умовою Y (t=0) =Y₀; s, A, і - const;

є функція:

Завдання № 2

Попит D та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F (t) та її похідних задаються виразами

(2.2.0)

Знайти стаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції p_D=S(t) — при умові D=S — вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вона є стійкою (оцінити рівень динаміки похідної).

Рішення:

1. Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p (t) та її першої та другої похідних, то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:

(2.2.1)

2. В умовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:

(2.2.2)

рівняння (2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння

(2.2.3)

яке має наступні початкові умови:

(2.2.4)

Загальний розв’язок рівнянь (2.2.1) — (2.2.4) має вигляд [1]:

(2.2.5)

де С1 та С2 — довільні сталі;

— корені характеристичного рівняння:

(2.2.6)

Після вирішення рівняння (2.2.6), отримані - корені характеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважної ціни p (t) наступним чином:

1) Якщо обидва корені - є дійсними від'ємними або комплексними з від'ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5) перетворюється до вигляду:

(2.2.7)

та з наростанням t рівноважна ціна p (t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D та S — P_D=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будуть наближатися до нуля.

2) Якщо обидва корені - є дійсними позитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивною дійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважна ціна p (t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S — P_D=S, оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до .

3. В точці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються в наступне диференційне рівняння другого порядку похідних:

(2.2.8)

Для пошуку точок стаціонарної ціни рівноваги p_D=S враховуємо умови дорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:

(2.2.9)

тоді рівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значення стаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:

(2.2.10)

Для рівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:

(2.2.11)

а корені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють

> solve (L*L_7*L_30);

Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) дійсні та мають різні знаки — рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.

Завдання № 3

Знайти стаціонарні точки динамічної системи

(2.3.0)

та дослідити їх стійкість в лінійному наближенні.

Рішення:

1. Положення рівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначається наступними умовами:

(2.3.1)

звідкіля маємо систему рівнянь рівноваги

(2.3.2)

Рішення системи рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів — стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):

> eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0;

> eqp2:=-y*y+6*y_2*x*y=0;

>

> solve ({eqp1, eqp2}, {x, y});

(2.3.3)

2. Для дослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першого наближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. Формула Тейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1 похідних) для функції в околицях точки x₀, y₀ має наступний вигляд [7]:

(2.3.4)

Побудову систем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакета MAPLE7 [4]:

> DxDt:=-x*x+2*x-x*y;

> mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2);

(2.3.5)

> DyDt:=-y*y+6*y_2*x*y;

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2);

> mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2);

>

(2.3.6)

6. Використовуючи отримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4_х пар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:

6.1. 1 пара коренів — x=0, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=0) має вигляд:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішення рівноваги в точці (x=0, y=0).

Пара коренів — x=2, y=0

Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2, y=0) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7

> L2:=a*a+0*a_2=0;

>

> solve (L2);

Корені рішення цього рівняння та є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішення рівноваги в точці (x=2, y=0).

3 пара коренів — x=4, y=-2

Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0, y=6) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння Вирішуємо рівняння () в пакеті MAPLE7

> solve (L*L+2*L+8);

Корені рішення цього рівняння та є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині, що відповідає стійкості рішення рівноваги в точці (x=4, y=-2).

Пара коренів — x=0, y=6

Cистема характеристичних рівнянь 1_го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4, y=-2) має вигляд:

Виконуючи заміну змінних в системі () на отримуємо модифіковану систему рівнянь:

Для знаходження умов стійкості будуємо характеристичну матрицю:

Звідки характеристичне рівняння Корені рішення цього рівняння та є дійсними та мають знак (-) при дійсній частині, що відповідає асимптотичній стійкості рішення рівноваги в точці (x=4, y=-2).