Транспортна модель. 
Математична модель задачі

[Введите текст]

ДЕРЖАВНА МИТНА СЛУЖБА УКРАЇНИ АКАДЕМІЯ МИТНОЇ СЛУЖБИ УКРАЇНИ

Контрольна робота

з дисципліни: «Економіко-математичне моделювання»

м. Дніпропетровськ

Завдання 1

Побудувати математичну модель задачі. Розв’язати отриману задачу за допомогою електронних таблиць Microsoft Excel.

Компанія Show&Sell має можливість рекламувати свою продукцію по місцевому радіо і телебаченню. Бюджет на рекламу обмежений сумою 10 000 дол. на місяць. Одна хвилина рекламного часу на радіо коштує 15, а на телебаченні - 300 дол. Компанія припускає, що реклама на радіо за часом повинна перевищувати рекламу на телебаченні не менш чим у два рази. Разом з тим, відомо, що нераціонально використовувати більш 400 хвилин реклами на радіо на місяць. Останні дослідження показали, що реклама на телебаченні в 25 разів ефективніше реклами на радіо. Визначте оптимальний бюджет для реклами на радіо і телебаченні.

Розв’язок. Позначимо через х1 — кількість хвилин рекламного часу на радіо, а через х2 — кількість хвилин рекламного часу на телебаченні.

Математична модель задачі буде записана наступним чином:

Максимізувати

z=1×1+25х2

при виконанні обмежень:

15×1+300×2 10 000;

— 2×1 +1×2 0

;

х1 400.

Вирішимо задачу ЛП за допомогою Excel. Для цього скористаємося такою можливістю Excel як Поиск решения.

Занесемо данні так, як показано на рис. 1. В полях С11 та С12 будуть визначатися значення та відповідно, тому на початковому етапі ми занесли туди нулі. Поля К4 та К5 необхідні для того, щоб виконувались наші обмеження.

Рис. 1

Встановлюємо курсор у чарунку С10 — цільова функція. Вибираємо команду Сервис — Поиск решения. У вікні Поиск решения заповнюємо поля так, як показано на рис. 2. Обмеження додаємо за допомогою кнопки Добавить. Після чого натискаємо кнопку Выполнить.

Рис. 2

Після того, як з’явиться інформація про те, що розв’язок знайдено у вікні Результаты поиска решения вибираємо Сохранить найденное решение.

Розв’язок задачі показано на рис. 3.

Рис. 3

Аналізуючи розв’язок задачі, можна зробити такі висновки.

Оптимальний бюджет для реклами на радіо та телебаченні 829,30. Компанія може використовувати 16,3 хвилини рекламного часу на радіо, та 32,5 хвилини на телебаченні.

Завдання 2

Побудувати математичну модель транспортної задачі. Розв’язати за допомогою електронних таблиць Microsoft Excel.

Компанія, що займається видобутком залізної руди, має чотири кар'єри. Продуктивність кар'єрів відповідно 170, 120, 190 і 210 тис. т щомісяця. Залізна руда направляється на три збагачувальні фабрики, що належать цій компанії, потужності яких відповідно 250, 160 і 270 тис. т на місяць. Транспортні витрати (у тис. грн.) на перевезення 1 тис. т руди з кар'єрів на фабрики зазначені в наступній таблиці:

Необхідно визначити план перевезень залізної руди на збагачувальні фабрики, що забезпечує мінімальні сукупні транспортні витрати.

Скільки руди варто перевозити з кар'єру 2 на збагачувальну фабрику 3? Скільки руди варто перевозити з кар'єру 3 на збагачувальну фабрику 2? Який обсяг потужностей по видобутку руди виявиться невикористаним? Які мінімальні сукупні транспортні витрати?

Розв’язок.

Цільова функція:

Перевіримо задачу на закритість.

Так як:

,

тобто

Отримали, що задача вiдкрита, а це означає, що необхiдно ввести фіктивну фабрику з потребою

.

У нашому випадку фабрику 4, з продуктивністю 10 тис. щомісяця.

Так як задачу збалансували, то система обмежень має наступний вигляд Заносимо дані до таблиці Excel як показано на рис. 4:

Рис. 4

Пiсля занесення всiх формул користуємося такою можливiстю excel як Поиск решений. У результатi розв’язання задачi маємо таке (рис.5).

Рис. 5

Аналіз розв’язку задачі. В результатi вирiшення задачi було визначено план перевезень руди з кар'єру на збагачувальну фабрику, що забезпечує мiнiмальнi сукупнi транспортнi витрати. Мiнiмальнi сукупнi транспортнi витрати дорiвнюють 1740 тис. грн. З кар'єру 2 на збагачувальну фабрику 3 та з кар'єру 3 на збагачувальну фабрику 2 не варто нічого перевозити. 10 тис. т. руди виявиться не використаним.

Завдання 3

Скласти математичну модель задачі планування фінансів. Розв’язати за допомогою електронних таблиць Microsoft Excel. Зробити аналіз чутливості отриманого розв’язку.

У вас є 90 тис. грн., які можна інвестувати. Необхідно максимізувати готівку до кінця шестимісячного періоду. Можливі види інвестицій представлені в наступній таблиці:

модель лінійний програмування дохід Для кожного виду внесків відома експертна оцінка ризику затримки виплати по внеску.

Складіть модель лінійного програмування для визначення максимального розміру доходу, що ви можете одержати через півроку, використавши наявні у вас можливості для вкладення 90 тис. грн.

Який максимальний розмір доходу через півроку (без урахування ризику)? Який максимальний доход можна одержати через півроку від вкладення однієї гривні в початковий момент часу? Який максимальний розмір доходу можна одержати через півроку, якщо середній ризик у кожен момент часу не повинен перевищувати 6? Яка «плата» за зниження ризику (у грн.)?

Розв’язок.

Нехай z — розмір доходу у грн.;

Аi — розмір внеску виду, А в місяці i, i=1, 2, 3, 4, 5, 6 у грн.;

Bj — розмір внеску виду В у місяці j, j=1, 3, 4 у грн.;

Сk — розмір внеску виду С у місяці k, k=2, 3 у грн.;

Dl — розмір внеску виду D у місяці l, l=1 у грн.

Цільова функція

за умов:

Занесемо вихідну інформацію для даної задачі в середовищі Excel (рис.6).

Рис. 6 — Вихідна інформація Далі задача розв’язується в середовищі Excel за допомогою меню СервисПоиск решения.

Зауваження! Перед тим як натиснути кнопку Выполнить у Поиск решений, необхідно перевірити у Параметры, що модель лінійна (рис. 7).

На рис. 7 зображено вихідну інформацію для Поиск решения.

Рис. 7

Натискаємо Выполнить, обираємо Сохранить найденное решение та обираємо Тип отчета Устойчивость та натискаємо ОК.

У результаті розв’язання задачі маємо наступну інформацію (рис. 8).

Рис. 8

Аналіз розв’язку задачі. Як видно з рис. 3 необхідно вкласти 90 000 грн. у А1, потім отримані гроші (91 710 грн.) покласти у А2, 93 452,490 грн. покласти у С3, та нарешті отримані гроші 100 741,784 грн. покласти у А6. Таким чином, максимальний прибуток складатиме 102 655,878 грн.

Аналіз чутливості отриманого розв’язку. Як видно зі звіту чутливості (рис. 9) Теневая Цена першого обмеження дорівнює 1,141. Таким чином, кожна додаткова гривня, що була вкладена у початковий момент часу без урахування ризику збільшить прибуток на 1,141 грн.

Рис. 9 — Звіт по стійкості

Розв’яжемо задачу з урахуванням ризику, якщо середній ризик у кожний момент часу не повинен перевищувати 6. Для цього необхідно добавити обмеження:

Додамо отримані обмеження у задачу (рис. 10).

Рис. 10

На рис. 11 зображено вихідну інформацію для Поиск решения.

Рис. 11

У результаті розв’язання задачі з урахуванням ризику маємо наступну інформацію (рис. 12).

Рис. 12

Максимальний розмір доходу з урахуванням ризику, що можна одержати через півроку становить 101 673,783 грн.

«Плата» за зниження ризику (у грн.) становить 102 655,878−101 673,783=982,095 грн.

Відповіді: 1. 102 655,878 грн.;

2. 1,141 грн.;

3. 101 673,783 грн.;

4. 982,095 грн.