Побудова множинних фільтрів для лінійних алгебраїчних систем (реферат)

p.

.

.

u — керуючий вплив, що вибирається, значення якого відомі;

f — збурення, значення їх невідома, відомо апріорна множина $${\mathrm{}}_f$$ можливих значень збурень;

p — параметр, у який може входити вектор стану системи, значення невідомі;

y — вимірювані дані про стан системи, значення відомі.

Зазначені дії на систему, параметри, вимірювані дані можуть бути скалярами, векторами, матрицями, функціями.

Рівняння математичної моделі системи керування у вищеописаних термінах має загальний вигляд.

$$y=A(p,u,f)$$

(8.1).

.

де, А — відома функція.

При прийнятій моделі невідомих шумів для системи, що описується рівнянням (1), можуть бути сформульовані наступні задачі:

Задача 1. Знайти при фіксованому u таку функцію $$(y)$$, що $$p{\mathrm{}}_p\left(u,y,{\mathrm{}}_f\right)$$ має місце умова.

$$p=\left(A\left(p,u,0\right)\right)\text{.}$$.

У загальному випадку при фіксованому u існує множина $${\mathrm{}}_{\left(y\right)}\left(u\right)$$ таких функцій $$(y)$$, яку будемо називати множиною фільтрів.

Задача 2. Знайти при фіксованому u оптимальну функцію $${}_0(y)$$ згідно з умовою оптимальності.

$${}_0\left(y\right)=\text{arg}\left\{\underset{\left(y\right){\mathrm{}}_{\left(y\right)}\left(u\right)}{\text{min}}\underset{p{\mathrm{}}_p\left(\right),f{\mathrm{}}_f}{\text{max}}p-\left(A\left(p,u,f\right)\right)\right\}$$

. (8.3).

.

Множини $${\mathrm{}}_p\left(u,y,{\mathrm{}}_f\right)$$, $${\mathrm{}}_{\left(y\right)}\left(u\right)$$ і функція $${}_0(y)$$ будуються до проведення експерименту.

Розглянемо модель системи, що представлена у загальному випадку системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

$$A\left(u\right)p+d\left(u\right)+f=y$$

(8.4).

.

де матриця $$A\left(u\right)R^{mxn}$$, вектори $$d\left(u\right)R^m$$, $$f{R}^m$$, $$y{R}^m$$ .

Матриця A і вектор d відомі параметри, досліджуваного об'єкта.

У випадку, коли відомо апріорна множина $${\mathrm{}}_f$$

значень шумів f і маючи систему рівнянь, якій задовольняє вимірюваний вектор y, можна оцінити апостеріорну множину.

$${\mathrm{}}_f|y$$

значень f і з використанням останньої і апріорної множини.

$${\mathrm{}}_p(u,y,{\mathrm{}}_f)$$.

Апостеріорна множина значень f (множина тих значень f, при котрих y може реалізуватися при деяких значеннях p відповідно до системи (8.4)) визначається таким чином.

$${\mathrm{}}_f|y={\mathrm{}}_f\left\{f\mathrm{:}Z\left(A^T\left(u\right)\right)\left(y-f-d\left(u\right)\right)=0\right\}$$

(8.5).

.

де.

$$Z\left(A^T\left(u\right)\right)=I_m-A\left(u\right)A^{+}\left(u\right)$$

.

.

$$I_m$$ — одинична матриця розмірності $$mxm$$, $$A^{+}\left(u\right)$$ — псевдообернена матриця, що визначається в такий спосіб [1].

$$A^{+}\left(u\right)=\underset{->0}{\text{lim}}\left[A^T\left(u\right){\left(A\left(u\right)A^T\left(u\right)+{}^2{I}_m\right)}^{-1}\right]$$

.

.

Апостеріорна повна множина оцінюваних величин p (множина тих значень p, при яких реалізується вимірюваний вектор y і шум f, що належить множині значень (5)) визначається таким чином.

$${\mathrm{}}_p(u,y,{\mathrm{}}_f)|y,f=$$.

$$$$ $$=\left\{p\mathrm{:}p=A^{+}(u)(y-f-d(u))+Z(A(u))v,v{R}^{n}f{\mathrm{}}_f|y\right\}$$, (8.6).

де $$Z\left(A\left(u\right)\right)=I_n-A\left(u\right)A^{+}\left(u\right)$$, $$I_n$$ — одинична матриця розмірності nМножина (8.6) записана з умови знаходження розв’язку [7] системи (8.4) відносно вектора p.

Для лінійної алгебраїчної системи, що описується рівнянням (8.1) розглянемо задачу 1. Рівняння (8.2), отримане на підставі (8.4) при $$f=0$$

буде мати вигляд.

.

$$p=\left(A\left(u\right)p+d\left(u\right)\right)$$

(8.7).

.

де функцію $$Y\left(\right)$$ виберемо лінійною наступного виду.

$$\left(A\left(u\right)p+d\left(u\right)\right)=VA\left(u\right)p=V\left(y-d\left(u\right)\right)$$, (8.8).

де $$V{R}^{nxm}$$ — невідома матриця.

Якщо система (8.4) спостережна, тобто при з $$f=0$$ системи алгебраїчних рівнянь.

$$A\left(u\right)p=y-d\left(u\right)$$.

вектор p знаходиться однозначно, то з представлення (8.8).

$$p=VA\left(u\right)p$$.

одержуємо умову $$VA\left(u\right)=I_n$$, з якого матриця $$V$$ $$W{R}^{nxm}$$ знаходиться наступним способом.

$$V=A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)$$ $$W{R}^{nxm}$$, (8.9).

де $$A^{+}$$ псевдообрнена до матриці A, $$Z\left(A^T\left(u\right)\right)=I_m-A\left(u\right)A^{+}\left(u\right)$$ ,.

$$I_n$$ — одинична матриця розмірності $$nxn$$ .

Таким чином, у класі лінійних функцій множина фільтрів $$\left(\right)$$ лінійної алгебраїчної системи, що описується системою рівнянь (8.4), має вид.

$$\left(y\right)=\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]\left(y-d\left(u\right)\right)$$ $$W{R}^{nxm}$$. (8.10).

У випадку присутності шуму f множина фільтрів (8.10) породить множину конкуруючих оцінок.

$$\widehat{p}=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T))\right](y-d(u))=$$.

$$=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T))\right]A(u)p+$$.

$$+\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]fW{R}^{nxm}$$.

Якщо система (8.4) не спостережувана при f=0. Тоді для системи.

$$A\left(u\right)p=y-d\left(u\right)$$.

вектор p знаходиться неоднозначно.

$$p=A^{+}(u)(y-d(u))+(I_n-A(u)A^{+}(u))v=$$.

$$=A^{+}(u)(y-d(u))+Z(A(u))v,v{R}^n$$. (8.12).

Тоді у випадку присутності шуму f, без обмеження загальності в (8.12) покладемо $$v=p$$, множина конкуруючих оцінок має вигляд.

$$\widehat{p}=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T))\right](y-d(u))=$$.

$$=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)p+$$ $$\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]f=$$.

$$=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)(A^{+}(u)(y-d(u))+Z(A(u)p)+$$.

$$+\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]f=$$.

$$=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)A^{+}(u)A(u)p+$$.

$$+\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)Z(A(u))p$$ $$+\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]f$$ .

Тому що [5] $${\text{AA}}^{+}A=A$$, тоді.

$$\widehat{p}=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)p+$$.

$$+\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)(I_n-A^{+}(u)A(u))p$$ $$+\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]f=$$.

$$=\left[A^{+}(u)+\text{WZ}(A^T(u))\right]A(u)p+$$ $$\left[A^{+}\left(u\right)+WZ\left(A^T\left(u\right)\right)\right]f$$ .

Таким чином формула (8.12) має загальний зміст.

Для множинних фільтрів при фіксованому u визначимо оптимальну функцію $${}_O\left(y\right)$$ згідно до умови оптимальності.

$${}_O\left(y\right)=\text{arg}\left\{\underset{\left(y\right){\mathrm{}}_{\left(y\right)}\left(u\right)}{\text{min}}\underset{p{\mathrm{}}_p\left(\right)f{\mathrm{}}_f}{\text{max}}p-\left(A\left(p,u,f\right)\right)\right\}$$.

Множини $${\mathrm{}}_p\left(u,y,{\mathrm{}}_f\right)$$, $${\mathrm{}}_{\left(y\right)}\left(u\right)$$ і функція $${}_O\left(y\right)$$ будуються до проведення експерименту.

Тоді умова (8.13) визначає оптимальне значення матриці $$W_0$$ таким чином.

$$W_0=\text{arg}\underset{W}{\text{min}}\underset{f{\mathrm{}}_f}{\text{max}}\left(A^{+}(u)+WZ(A^T(u))\right)f$$. (8.14).

Будемо припускати, що мінімум і максимум досягаються.

Якщо f є випадковим векторною величиною з функцією розподілу $$F_f(w)$$, то тоді матрицю W можна вибрати оптимально згідно з імовірнісною умовою.

$$P_{}(p-\widehat{p}{\mathrm{}}_{\text{доп}})=$$ $$P_{}\left\{\left[A^{+}(u)+WZ(A^T(u))\right]f(){\mathrm{}}_{\text{доп}}\right\}=$$.

$$=\underset{W}{\text{max}}\underset{\left[A^{+}(u)+WZ(A^T(u))\right]f(){\mathrm{}}_{\text{доп}}}{}{\mathit{dF}}_f()$$

.

.

або середньоквадратичною умовою.

$$E{p-\widehat{p}}^2=$$.

$$=\text{tr}\left\{{\left(A^{+}(u)+WZ(A^T(u))\right)}^T\left(A^{+}(u)+WZ(A^T(u))\right)K_f\right\}->\underset{W}{\text{min}}$$

(8.15).

.

де $${\mathrm{}}_{}$$ опустима множина відхилень оцінки вектора від вектора параметрів, $$K_f$$ ореляційна матриця вектора $$f$$ випадкових величин.

У загальному випадку умова мінімуму (8.15) досягається неоднозначно, тому вся множина оптимальних фільтрів при середньоквадратичній умові оптимізації має вигляд.

$$W=-A^{+}(u)K_f^{1/2}{\left(Z(A^T(u))K_f^{1/2}\right)}^{+}+\tilde{W}A(u)A^{+}(u)\tilde{W}{R}^{nxm}$$

(8.16).

.

де матриця $$K_f^{1/2}$$ задовольняє умові $$K_f=K_f^{1/2}{K}_f^{1/2}$$ .