Векторний метод в шкільному курсі геометрії

Міністерство освіти і науки України Криворізький державний педагогічний університет Кафедра математики Курсова робота з математики Векторний метод в шкільному курсі геометрії

Студентки ІV курсу фізико-математичного факультету Шевчик Вікторії Сергіївни Науковий керівник к.п.н., доцент Лов’янова І.В Кривий Ріг 2007 р.

ВСТУП Розділ І. Теоретичні відомості про векторний метод

1. Історичні відомості. Аксіоматика Вейля.

2. Суть векторного метода в шкільному курсі геометрії.

3. Методика введення основних понять теми.

4. Методика розв’язування задач векторним методом.

5. Доведення теорем векторним методом.

Розділ ІІ. Практичні застосування векторного метода в шкільному курсі геометрії

1. Вибір тем, які легко викладаються з використанням векторного метода.

2. Розробка конспектів уроків на використання векторного методу.

Висновки Список використаних джерел Додатки

ВСТУП Сучасні потреби суспільства вимагають переходу на нову, більш гнучку стратегію математичної освіти, ніж нинішня. Навчання математики на всіх ступенях повинно мати розвиваючий характер і прикладну спрямованість: розвиток інтелекту, алгоритмічної культури, математичної інтуїції, вміння і бажання вчитися і застосовувати свої знання для розв’язування практичних і прикладних задач.

В геометрії застосовуються різні методи розв’язку завдань — це синтетичний (чисто геометричний) метод, метод перетворень, векторний метод, метод координат і інші. Вони займають різне положення в школі. Основним методом уважається синтетичний, а з інших найбільш високе положення займає метод векторний тому, що він тісно пов’язаний з лінійною алгеброю, аналітичною та диференціальною геометрією, вивчення векторів тісно пов’язані меж предметними зв’язками з вивченням курсу фізики. Нажаль традиційно у учнів школи відкладається враження, що вектор це фізичне поняття, але вектор насправді є суто математичним поняттям, яке застосовують при розв’язку задач прикладних наук, для простоти розв’язку деяких складних задач.

Векторний метод ефективний при доведенні паралельних прямих і відрізків; при поділі відрізка даною точкою в указаному відношенні; при з’ясуванні належності трьох точок одній прямій; при доведенні перпендикулярності прямих і відрізків; при доведенні залежностей між довжинами відрізків; при знаходженні величини кута.

Для визначення змісту вправ, які формують вміння застосовувати вектори необхідно виділити дії, адекватні цій діяльності. Використання векторного методу у вказаних вище ситуаціях припускає володіння наступними вміннями: переклад геометричної мови на векторну і навпаки (здійснювати перехід від співвідношення між фігурами до співвідношення між векторами і навпаки); виконувати операції над векторами (знаходити суму, різниці векторів; добуток вектора на число; скалярний добуток векторів); зображувати вектор у вигляді суми векторів, різниці векторів; зображувати вектор у вигляді добутку вектора на число; перетворювати векторні рівності; переходити від співвідношення між їх довжинами і навпаки; виражати довжину вектора через його скалярний квадрат; виражати величину кута між векторами через їх скалярний добуток.

Можна із упевненістю говорити про те, що вивчення даного методу є невід'ємною частиною шкільного курсу геометрії. Але не можна забувати, що при розв’язку завдань векторним методом необхідна навичка алгебраїчних обчислень і потрібна високий ступінь кмітливості, а це у свою чергу позначається на творчих здібностях учнів. Цим і визначається актуальність обраної теми: «Вивчення методу координат у шкільному курсі геометрії основної школи» .

Об'єкт дослідження даної роботи — це процес вивчення учнями геометрії.

Предметом дослідження є вивчення методу векторів у курсі геометрії основної школи.

Ціль роботи — розробити методику вивчення й використання методу векторів у шкільному курсі геометрії.

Гіпотеза: вивчення векторного метода в школі буде більш ефективно, якщо:

в 5−6 класі проведена пропедевтична робота з учнями, по формуванню основних умінь і навичок;

— у системному курсі планіметрії учні знайомляться зі структурою цього методу;

— використовується продумана система завдань для формування окремих компонентів методу.

Предмет, ціль і гіпотеза дослідження визначають наступні завдання:

1. Аналіз варіантів вивчення векторного метода у деяких з діючих підручників, а також зміст програми по математиці по даній темі.

2. Опис векторного метода і способів його застосування на прикладі конкретних математичних завдань.

3. Виділення вмінь, необхідних для успішного оволодіння методом і добір завдань, що формують дані вміння.

4. Досвідчена перевірка.

Для досягнення цілей роботи, перевірки гіпотези й розв’язку поставлених вище завдань були використані наступні методи:

* аналіз програми по математики, навчальних посібників, методичних матеріалів, що стосуються векторного метода;

* спостереження за ходом освітнього процесу, за діяльністю учнів.

Основною досвідченою базою була Криворізька загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів № 11.

РОЗДІЛ І. Теоретичні відомості про векторний метод

1. Історичні відомості. Аксіоматика Вейля У цей час відоме кілька різних шляхів аксіоматизації елементарної геометрії. Історично однієї з перших була аксіоматика, запропонована на рубежі XIX і XX сторіч Гильбертом. У нього до невизначуваних понять належать «крапка», «пряма», «площина» і ін. За допомогою аксіом і невизначуваних понять уводяться подальші (обумовлені) поняття й доводяться теореми. Пізніше були «сконструйовані» інші аксіоматики геометрії, що відрізняються друг від друга не тільки самим списком, а також і переліком невизначених понять. Інші шляхи аксіоматичної побудови буди зроблені І. Шуром, Дж. Биркгофом та іншими математиками. Вектори та операції над ними вивчаються, за аксіоматикою цих вчених, у кінці курсу як підсумок побудови геометрії.

Самим коротким шляхом аксіоматизації геометрії є шлях, запропонований в 1917 році - року найбільших революційних здійснень — Германом Вейлем. Ідея Вейля полягала в тому, що векторні простори, які усе більш проникають у різні розділи математики і її додатків, повинні органічно ввійти в курс елементарної геометрії. Поняття «пряма», «площина», «конгруентність» і ін. Вейль виключив із числа первісних, побравши замість них у якості невизначуваних інші поняття: «вектор», «сума векторів», «добуток вектора на число», «скалярний добуток векторів», «відкладання вектора від крапки». З формальної сторони це лише один з можливих шляхів аксіоматизации геометрії, еквівалентний гильбертовскому, тобто, що дозволяє довести ті ж самі теореми. Але з методологічної точки зору вейлевский шлях є незмірно більш цінним. Замість скрупульозного, стомлюючого й довгого ланцюжка міркувань по гильбертовской схемі (до того ж відірваної від інших розділів математики й від природничих наук) вейлевская схема дає винятково ясний і короткий виклад, насичений сучасними ідеями і близькою до найактуальнішими розділами математики, фізики, економіки, та інших сфер знання. З логічної точки зору вейлевский шлях побудови аксіоматизації є, еквівалентний гильбертовскому, так як доводила ті самі теореми геометрії. Та з точки зору викладання його побудова геометрії має значні переваги. Вейлевське викладання геометрії - найбільш сучасне в з точки зору науки, воно дає нам змогу познайомитися з поняттям векторного простору, яке має важливу роль не тільки в математиці, але і в фізиці, хімії, економіці. Вейлевське трактування дозволяє володіти більш ефективним векторним методом рішення задач просторової геометрії, також найбільш локальним та простим.

Вейлімська аксіоматика включає сімнадцять аксіом, поєднаних між собою в п’ять груп.

Ідея вектора — одна з фундаментальних ідей сучасної математичної науки та її застосувань. На векторній основі зараз будуються лінійна алгебра, аналітична і диференціальна геометрія, теорія багатовимірних просторів. Вектори широко застосовуються в сучасній фізиці, технічних науках. Тому природно, що в 50-х роках XX ст. на початку всесвітнього руху за реформу шкільної математичної освіти у всіх розвинутих країнах була висловлена одностайна думка — впровадити ідею вектора в шкільну математику. При цьому пропонувалося два підходи.

1. Крайні модерністи (Ж. Дьєдонне, Л. Фелікс, Г. Шоке) наполягали на тому, щоб зробити ідею вектора базисною ідеєю шкільного курсу і, зокрема, курс геометрії будувати на основі ідеї векторного простору, наприклад, використовуючи аксіоматику Вейля.

2, У колишньому СРСР А. М. Колмогоров, О. І. Маркушевич, які очолювали перебудову змісту шкільної математичної освіти, дотримувались поміркованого підходу і пропонували не розглядати ідею вектора як базисну і не будувати навіть певний розділ геометрії на векторній основі. Разом з тим передбачалось ввести поняття вектора і. необхідний апарат векторної алгебри із загальноосвітньою метою та використовувати вектори як апарат для доведення теорем і розв’язування задач геометрії, фізики. Спробу реалізувати такий погляд здійснено в посібниках з геометрії за редакцією А. М. Колмогорова та 3. А. Скопця, а також у паралельних підручниках геометрії.

2. Суть векторного метода в шкільному курсі геометрії

За чинною програмою і проектом нової програми з математики вектори передбачено вивчати в два етапи: спочатку вивчаються вектори на площині, а потім — у просторі. У підручнику О. В. Погорєлова у 8 класі крім основних понять, що стосуються векторів, вивчаються всі операції над векторами (додавання, віднімання, множення вектора на число і скалярний добуток двох векторів, розкладання векторів по координатних осях). Дещо інше місце вектори посідають у підручнику Л. С. Атанасяна та ін. Тут вектори починають вивчатися у 9 класі, що звужує можливості їх застосування в геометрії і фізиці.

Базова програма вимагає в 8−9 класах мати уявлення про вектор, рівні вектори, вміти виконувати операції над векторами, передбачені програмою, і використовувати вектори до розв’язування нескладних стандартних задач (обчислення довжин відрізків і міри кутів, додавання і віднімання векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів).

Про різні можливі означення вектора. У зв’язку з введенням векторів у шкільний курс насамперед постало питання: яке означення вектора взяти в курсі геометрії? У журналі «Математика в школе» з цього приводу спеціально друкувались статті (див., зокрема: Г. П. Бевз. Об определении понятия «вектор» // Математика в школе, 1980, № 2; А. Д. Александров. Так что же такое вектор? // Математика в школе, І 984, № 5). Як зазначає О. Д. Александров у згаданій вище статті, питання «Що ж таке вектор?», «Яке означення правильне?» не точні. Відповіді на ці питання такі: вектор — це те, що називають вектором, і правильне означення те, яке прийняте, якщо тільки воно свідоме і не містить у собі суперечності. Точніше запитати не що таке вектор, а що називають вектором або що слід називати вектором, щоб означення було осмисленим, не призводило до плутанини і було плідним у застосуваннях. Г. П. Бевз звернув увагу на те, що в фізиці і геометрії розглядають різні поняття вектора. У фізиці розрізняють зв’язані і ковзні вектори.

Зв’язані вектори звуться рівними, якщо вони мають не тільки рівні модулі й однакові напрями, а й спільну точку прикладання.

Клас рівних між собою векторів, розміщених на одній прямій, називають ковзними векторами. Отже, ковзний вектор визначається трьома елементами: прямою, напрямом і довжиною.

1) напрямлений відрізок прямої евклідового простору, в якого один кінець (точка А) називається початком вектора, а другий кінець (точка В) — кінцем вектора;

2) впорядкована пара точок;

3) клас еквівалентних напрямлених відрізків;

4) паралельне перенесення;

5) впорядкована пара, трійка,…, пчисел.

Множини об'єктів, що відповідають цим трактуванням, ізоморфні одна одній. Кожне з наведених трактувань є інтерпретацією більш загального абстрактного поняття вільного вектора, означення якого формулюється в теоретичних курсах геометрії: будь-яку множину об'єктів, що задовольняє перші вісім аксіом системи Вейля, називають множиною векторів, а будь-який елемент цієї множини — вектором. У школі з дидактичних міркувань звичайно розглядають одну з інтерпретацій. У посібниках вектор означається як паралельне перенесення, а в підручниках його трактують як напрямлений відрізок. О. Д. Александров у згаданій вище статті критично проаналізував різні означення векторів і звернув увагу на те, що, даючи означення через напрямлений відрізок, треба спочатку дати означення напрямленого відрізка і рівності напрямлених відрізків, а відтак — сформулювати означення: вектором в геометрії називають напрямлений відрізок, що розглядається з точністю до вибору початку, тобто рівні один одному напрямлені відрізки вважаються представниками або зображеннями того самого вектора.

Цілі вивчення векторного методу в середній школі:

§ дати ефективний метод розв’язання різних геометричних задач і доведення теорем;

§ показати широке застосування векторного апарату в інших областях знань: техніці, фізиці, хімії і ін.;

§ використання векторного методу при розв’язуванні задач з метою формування в учнів уміння виконувати узагальнення і конкретизацію;

§ формувати у учнів такі якості мислення, як гнучкість, цілеспрямованість, раціональність, критичність і ін.

3. Методика введення основних понять теми З метою мотивації запровадження поняття «вектор» доцільно нагадати учням, що з поняттям векторних величин вони стикались раніше, в 7 класі, в курсі фізики. У підручнику фізики векторними називають величини, які крім числового значення (модуля) мають напрям. Наприклад, сила — векторна величина. На рисунках силу зображують у вигляді відрізка прямої із стрілкою на кінці, яка вказує напрям. Взагалі поняття вектора в геометрії виникло як математична абстракція об'єктів, що характеризуються величиною і напрямом на відміну від скалярних величин, які характеризуються лише числом. Проте не будь-яка величина, що характеризується модулем (числовим значенням при даній одиниці) і напрямом, є вектором. Наприклад, потік машин на вулиці міста можна виміряти кількістю машин за 1 год., і цей потік має напрям. Однак такі величини не додаються як вектори, наприклад за правилом трикутника або паралелограма.

У темі, присвяченій векторам на площині, вводиться значна кількість нових для учнів понять — абсолютна величина (або модуль вектора), нульовий вектор, рівні вектори, координати вектора, кут між ненульовими векторами, колінеарні вектори та ін. Викладений в підручнику О. В. Погорєлова теоретичний матеріал, що стосується векторів на координатній основі, вигідно відрізняється чіткістю, економністю, простотою доведень законів дій над векторами. Водночас тут мало геометричних ілюстрацій, які розвивали б просторові уявлення і уяву, вправ на побудову. Одним з найважливіших для подальшого викладу теоретичного матеріалу є поняття про координати вектора. Не можна обмежуватися лише формальним введенням означення цього поняття. Доцільно мотивувати потребу в ньому, дати учням наочне уявлення про координати вектора на координатній площині.

Розглянемо один з можливих методичних варіантів запровадження поняття координат вектора. Учитель звертає увагу учнів на те, що сьогодні на уроці вони ознайомляться з новим для них поняттям — координатами вектора. Координати вектора, як і координати точки, дають можливість визначати положення вектора на координатній площині. Координати вектора дадуть змогу означити дії (операції) над векторами, довести їхні властивості і застосувати до розв’язування задач, а також встановити зв’язок між геометричними закономірностями в розміщенні векторів і арифметичними закономірностями .між їхніми координатами, навпаки.

Учням пропонується розглянути положення трьох векторів на, , на координатній площині і порівняти їх розміщення (рис. 1.1). Учні помічають, що вектори і рівні (мають рівні модулі і однаково напрямлені). Вектори і - різні і за довжиною, і за розміщенням на координатній площині. Щоб схарактеризувати помічені закономірності за допомогою чисел, введемо координати векторів, які задаються за допомогою координат початку і кінця вектора. Вводяться означення координат вектора, символічні позначення:,. Учням пропонується, користуючись означенням, записати координати векторів, , :

; ;

;

; ;

;

; ;

х

Рис. 1.1

Внаслідок розв’язування цієї вправи учні дістали два факти:

1) виявилось, що координати рівних векторів однакові, а різних — різні;

2) учні визначають за допомогою формули відстані між двома точками довжину вектора: і роблять висновок, що модуль вектора, а дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координат.

Отже,, тобто учні дійшли потреби довести необхідну і достатню умови рівності двох векторів. Далі доцільно поставити перед учнями запитання: чи можна визначати координати вектора за рисунком?

Виявляється, що можна. Для цього досить порахувати кількість клітинок під час руху від початку вектора до кінця спочатку вздовж осі х, а потім — вздовж осі у. На наступному уроці учням пропонується знайти за рисунком вже відомі координати вектора і векторів і, а відтак співвідношення між координатами векторів, і які утворюють трикутник. Це підведе учнів до означення суми двох векторів. За рисунком учні визначають координати векторів:, ,. Помічаємо, що координати вектора є сумою координат векторів і, які разом з вектором утворюють трикутник. Вивчення дій (операцій) над векторами. Вище наведено методичний варіант, за якого учні конкретно-індуктивним методом самостійно підводяться до формулювання означення суми двох векторів. Аналогічно можна підвести і до формулювання означення різниці двох векторів через їх координати. Для векторного методу розв’язування задач важливо, щоб учні навчились вільно шляхом відповідних побудов знаходити суму і різницю векторів. Тут виявляється ефективним алгоритмічний підхід — вміння знайти суму двох векторів за правилом трикутника або правилом паралелограма.

Задачу про побудову різниці двох векторів і корисно розглянути теж двома способами. 1. Від довільної точки О відкладаються вектори і (рис. 1.2). Позначається вектор. За правилом трикутника записується векторна рівність або. З означення різниці векторів і (це такий вектор, який у сумі з вектором дає вектор) випливає, що є різницею векторів і, тобто .

Рис. 1.2

Звідси випливає правило побудови вектора-різниці: щоб побудувати вектор, треба: а) перенести початки векторів і в довільну точку О; б) позначити вектор-різницю, у якого початком є кінець вектора-від'ємника (вектора), а кінець є кінцем вектора-зменшуваного (вектора).

2. Другий спосіб побудови вектора-різниці ґрунтується на означенні протилежного вектора і доведеної теореми: .

Звідси побудова: від довільної точки О відкладається вектор, а потім від точки, А вектор. Тому (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Слід мати на увазі, що в підручнику О.В. Погорєлова скалярний добуток двох векторів означається через їхні координати. Прийняте в багатьох посібниках за означення скалярного добутку твердження про властивість його дорівнювати добутку числових значень довжин на косинус кута між векторами. Введення скалярного добутку і поняття колінеарності векторів дає можливість розв’язувати різноманітні задачі, пов’язані з перпендикулярністю і паралельністю відрізків, метричні задачі на визначення довжин відрізків і величин кутів.

4. Методика розв’язування задач векторним методом До складу діяльності, спрямованої на використання векторного методу, входять такі специфічні розумові дії:

1) переформулювання відношень між фігурами з геометричної мови на мову векторів і обернена дія;

2) дії (операції) над векторами;

3) подання вектора у вигляді суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число;

4) перетворення векторних рівностей з використанням законів векторної алгебри і властивостей скалярного добутку;

5) перехід від співвідношень між векторами до співвідношень між їх довжинами.

Згідно з теорією поетапного формування розумових дій, важливе попереднє поетапне відпрацювання кожної розумової дії, що входить до складу діяльності щодо розв’язування задач векторним методом. З метою успішного засвоєння учнями першої розумової дії доцільно запропонувати учням таблицю основних відношень обома мовами які зображені на таблиці 1 (Додаток А).

З векторним методом доведення геометричних тверджень і відповідним правилом-орієнтиром доцільно ознайомити учнів на прикладах доведення двох тверджень, з яких перше учні вміють доводити і без застосування векторів.

Задача 1. Довести, що середня лінія трапеції паралельна основам і довжина її дорівнює півсумі довжин основ (рис. 1.4)

Дано: — трапеція, — середня лінія, і - основи.

Довести: ||,

Рис. 1.4

Доведення:

1) Щоб довести рівність, спробуємо подати вектор через вектори і, з чотирикутника

(1.1)

а з чотирикутника

. (1.2)

Додамо рівняння (1) і (2) і спростимо праву частину одержаної рівності, використовуючи властивості векторів і додавання, одержимо векторну рівність:

Оскільки, , тоді (1.3)

; враховуючи, що і співнаправлені

(1.4)

2) Показати, що ||, це означає довести, що і колінеарні, має існувати таке число, яке задовольняє рівності =,

||, тоді існує таке, що виконується умова колінеарних векторів

тоді в (1.3) підставимо; виконаємо перетворення та отримаємо:

позначимо через, тоді =, а це і є умова колінеарних векторів.

Задача 2. Довести, що висоти довільного трикутника перетинаються в одній точці.

Рис. 1.5

Дано: ?,, , — точка перетину і лежить на

Довести: (рис. 1.5)

Доведення: Введемо вектори, і, ,, .

Треба довести, що .

,

За умовою, , тоді ми можемо зробивши перетворення скласти наступні вирази

, з цього слідує, що

,

,

так як і - протилежні вектори, тому, а це означає, що, тобто відрізок — висота ?.

Правила-орієнтира векторного методу доведення тверджень:

1. виділити в формулюванні теореми (задачі) умови і вимоги, виконати рисунок. Сформулювати вимоги мовою векторів і, враховуючи їх, позначити вектори на рисунку;

2. враховуючи умови і вимоги, скласти допоміжні векторні рівності. Для цього виразити, якщо це потрібно, вектори у вигляді суми або різниці інших векторів, або у вигляді добутку вектора на число. Перетворити одержані рівності і прийти до потрібної.

3. перекласти одержану рівність на мову геометрії.

Найважчим для учнів є позначення векторів на рисунку. Досвід раціонального позначення векторів набувається на практиці, однак певні орієнтири в цьому дає аналіз формулювання теореми (задачі). Для формування навичок використання правила-орієнтира варто запропонувати учням розв’язати векторним методом відомі з планіметрії твердження про властивість середньої лінії трикутника, про суму квадратів діагоналей паралелограма, про властивість діагоналей ромба, прямокутника.

Слід зауважити увагу школярів на те, що векторний метод доведення теорем не універсальний, його зручно застосовувати для доведення паралельності і перпендикулярності прямих і відрізків, належності трьох точок одній прямій, подільність відрізка в даному відношенні для доведення співвідношень між довжинами відрізків і величинами кутів. При розв’язуванні метричних задач, зокрема на визначення довжини відрізків і міри кута векторним методом, доцільно запропонувати учням відповідні алгоритми (таблиця 1.1).

Таблиця 1.1

Розглядаючи теоретичні властивості використання векторного методу для розв’язання задач, просто необхідно звернути увагу на розв’язок задач даним методом в стереометрії, перед вивченням даної теми треба обов’язково з учнями повторити матеріал, що стосується вектора на площині, зокрема пригадати: означення вектора, його модуля, рівних векторів, координат вектора, властивість рівних векторів, заданих координатами, правила знаходження вектора-суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число, формулювання векторної рівності, означення скалярного добутку і його властивість через модулі і кут між ними.

Враховуючи, що окремі означення і твердження про вектори переходять без зміни або з невеликими змінами в простір, доцільно запропонувати учням заздалегідь заготовлену таблицю 2, в якій порівнюються означення і теореми про вектори на площині і в просторі (Додаток А).

Розв’язування стереометричних задач векторним методом. Правило-орієнтир розв’язування позиційних задач і алгоритм розв’язування метричних задач векторним методом в стереометрії той самий, що і в планіметрії яке розглянуте вище. Треба запропонувати учням пригадати це правило-орієнтир і алгоритм розв’язування.

Задача 3. Довести, що коли дві пари мимобіжних ребер тетраедра взаємно перпендикулярні, той ребра третьої пари також взаємно перпендикулярні.

Рис. 1.6

Доведення: Застосуємо для точок A, B, C, S векторну рівність для чотирьох точок (рис. 1.6).

Оскільки, то. Через те, що, маємо. Звідси, а це означає, що .

У старшій школі завжди є доцільним пропонувати учням поряд стереометричними задачами, які розв’язуються саме векторним методом, планіметричні задачі, які можна розв’язати векторним методом.

5. Доведення теорем векторним методом.

В попереднім пункті розділу вже було розглянуте питання правила-орієнтира векторного методу доведення тверджень, ці правила є доцільним використовувати і при доведені теорем із планіметрії та стереометрії, які саме доводяться векторним методом. Розглянемо деякі з них у даному пункті.

Багато теорем в шкільному курсі геометрії 70 роках минулого століття доводились саме методом векторів, але зараз векторним методом доводяться теореми які поглиблюють властивості векторів на площині та в просторі, а також тільки деякі теореми, а саме прикладом таких є, теорема косинусів.

Доведення цих теорем ми розглядаємо в програмі шкільного курсу, але є дуже доцільним надати учням деякі теореми шкільного курсу, які були доведені раніше, довести за методом векторів. Таким чином у учнів буде формуватися поняття про те, що теореми можуть доводитися різноманітними методами, а також буде формуватися погляд на геометрію з точки зору теорії векторів. Саме це дасть можливість учням краще розуміти тему векторів та застосування векторів в різних прикладних предметах таких як фізика, інформатика та ін.

Теорема. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.

Рис. 1.7

Доведення: Виразимо через вектори наступним чином, , із означення ромба, .

За означенням суми та різниці векторів ми маємо,

.

Розглянемо (за властивістю скалярного добутку). Так як сторони ромба рівні то і, тоді

.

Розглянувши теоретичні питання викладання векторного методу в шкільному курсі геометрії ми можемо зробити наступні висновки.

Основні компоненти векторного метода розв’язання задач: переклад умови задачі на мову векторів, в тому числі: введення в розгляд векторів, вибір системи координат (якщо це необхідно), вибір базисних векторів, розклад введених векторів по базисним; складення системи векторних рівностей (або однієї рівності); спрощення векторних рівностей; заміна векторних рівностей алгебраїчними рівняннями і їх розв’язання; пояснення геометричного смислу одержаного розв’язку цієї системи (або одного рівняння). Дії для оволодіння компонентами методу: переклад геометричних термінів на мову векторів і розв’язання оберненої задачі; переклад умови задачі на мову векторів; вибір базисних векторів, розкладання вектора по осям; спрощення системи векторних рівностей; заміна векторних рівностей алгебраїчними.

розділ ІІ. Практичні застосування векторного метода в шкільному курсі геометрії

1. Вибір тем, які легко викладаються з використанням векторного метода Вивчення геометрії в школі повинно досягти дві цілі: пізнання учнями властивостей абстрактних просторових форм навколишнього світу і розвиток у них уміння логічно міркувати, надавати власні виводи та аргументи при доведені теорем та задач.

За програмою викладання геометрії, затвердженої Міністерством освіти і науки України, поняття векторів вводиться у 8 класі загальноосвітніх навчальних закладах 11 років навчання. А саме, тема вивчається за наступним планом:

Вектор. Модуль і напрямки вектора. Рівність векторів 1 год.

Координати вектора 1 год.

Додавання векторів, його властивості 1 год.

Множення вектора на число, його властивості 1 год.

Розв’язування вправ. Самостійна робота 1 год.

Колінеарні вектори 1 год.

Кут між векторами. Скалярний добуток векторів та його властивості

1 год.

Розв’язування вправ. Самостійна робота 1 год.

Урок систематизація та корекція знань і вмінь 1 год.

Контрольна робота 1 год.

А також на поглиблення теми координати та вектори у просторі відводиться 8 годин навчального плану.

Тому дуже важливо зробити кожний урок творчим, плідним, щоб вивчити і закріпити матеріал за темою. При вивчені тем, вчитель не може вибирати, яким саме методом викладається та чи інша тема. Але вчитель має право, у межах програми, зробити підборку завдань і вправ за даною темою, щоб учні здобули певні знання за новим матеріалом, а також закріпили вже раніше вивчене і розширили знання та вміння з різних тем. Саме творчий вчитель повинен працювати так, щоб кожна тема, мала зв’язки з іншими темами, щоб кожен урок мав найбільшу результативність вивченого матеріалу.

В своїй роботі ми проаналізували використання методу векторів в сучасній школі. Зробивши аналіз встановили, метод векторів застосовується для розв’язку задач за темою вектори та дія над ними. Також метод векторів застосовується при доведенні теореми косинусів. Але буде доцільним, якщо ми застосуємо де які доведення теорем векторним методом. Наприклад, це теореми, що відносяться до теми чотирикутники, пряма та площина, випуклі багатогранники, рух та перетворення. Ми можемо використати доведення цих теорем методом векторів, для закріплення матеріалу або для розв’язання задач за темою.

Кінцевою метою і пошуком в нашій курсовій роботі було розробити і провести уроки, де використовується метод векторів при розв’язку задач. Якщо характеризувати самі уроки, які ми розробили за даною темою, то ми повинні надати характеристику методів навчання в сучасній школі.

Методи навчання це найважливіші способи навчання.

Метод навчання — не система дій вчителя, не власне навчання, а певна його характеристика. У більшості розглядаються такі види загальних методів навчання: словесні, наочні, практичні; індуктивні, дедуктивні, традуктивні; репродуктивні, проблемні, дослідниць. Загалом подібних класифікацій відомо декілька десятків. Але жодна з них не є загальновизнаною. Вчитель у кожному конкретному випадку повинен підібрати такий метод, який дозволив би йому в найкоротші терміни та при докладанні по можливості найменших зусиль досягти бажаних результатів.

Розглянемо найважливіші методи навчання математики в сучасній середній загальноосвітній школі. Система уроків з математики містить: виклад нового матеріалу, його закріплення, вироблення вмінь та навичок, розв’язування задач. Кожен з цих компонентів може здійснюватися різними методами. Отже можна говорити про методи викладу нового матеріалу, методи його закріплення, методи вироблення вмінь тощо. Найважливішими групами методів навчання математики у сучасній загальноосвітній школі вважаються: методи активізації уваги учнів; методи викладу нового матеріалу; методи закріплення знань та вмінь; методи навчання розв’язання задач.

Нами були розроблені серії уроків за темою векторів, але в курсовій роботі до Вашої уваги будуть представленні два нестандартних уроки, які на наш погляд відповідають критеріям оцінки уроку з точки зору сучасних інноваційних методик.

Як відомо, в шкільній освіті існує безліч методів навчання, різні типи уроків, які переслідують одну єдину мету — засвоєння знань учнями. Заохочувальним є впровадження нововведень та їхнє гармонічне уливання в устояну структуру уроку.

Учень і вчитель є рівноправними суб'єктами навчання. Організація інтерактивного навчання припускає моделювання життєвих ситуацій, використання рольових ігор, загальне рішення питань на підставі аналізу обставин і ситуації. Зрозуміло, що структура інтерактивного уроку буде відрізняться від структури звичайного уроку, це також вимагає професіоналізму і досвіду викладача. Тому в структуру уроку включаються тільки елементи інтерактивної моделі навчання — інтерактивні технології, тобто включаються конкретні прийоми й методи, які дозволяють зробити урок незвичайним і більше насиченим і цікавим. Хоча можна проводити і повністю інтерактивні уроки.

У педагогіці розрізняють кілька моделей навчання:

1) пасивна — учень виступає в ролі <�об'єкта> навчання (слухає й дивиться)

2) активна — учень виступає <�суб'єктом> навчання (самостійна робота, творчі завдання)

3) інтерактивна — inter (взаємний), act (діяти). Процес навчання здійснюється в умовах постійної, активної взаємодії всіх учнів.

Інтерактивні технології навчання — це така організація процесу навчання, у якому учню неможливо не приймати участь — в колективному, взаємодоповнюючому, заснованому на взаємодії всіх його учасників процесу навчального пізнання.

Форми організації діяльності учнів на уроці .

1) групова — навчає одна людина, більше тих, хто слухає, чим тих, хто говорить;

2) кооперативна (колективна) — спосіб навчання в малих групах.

Кожна людина має дві потреби: потреба росту й бути в безпеці, прилучившись до групи людей.

При кооперативному способі навчання досягається спільна діяльність заради досягнення загальних цілей. У дітей з’являється впевненість у собі, вони пишаються навчальними успіхами один одного. Кооперативне навчання може існувати не тільки в групах, але й у парах. Окремої уваги вимагає організація роботи в малих групах.

Коли потрібно вирішити складні проблеми колективним розумом. Технологій інтерактивного навчання існує величезна кількість.

Кожний вчитель може самостійно вигадувати нові форми роботи із класом.

веторний геометрія шкільний задача

2. Розробка конспектів уроків на використання векторного методу Тема уроку: Колінеарні вектори Мета:

· дати учням поняття колінеарні вектори; шляхом проблемного навчання знайти як можна розкласти вектор на два вектори, формувати вміння побудови колінеарних векторів, закріпити знання учнів з теми множення вектора на число;

· розвивати інтерес до вивчення геометрії та вміння аналізувати і дослідити необхідний процес;

· виховувати вміння співпрацювати з іншими, вміти висловлювати та відстоювати власну думку.

Обладнання: комп’ютер, медіапроектор, диск з записами розкладених векторів, картки з завданням для виконання.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу шляхом співпраці учнів у групах та методом проблемного навчання.

Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його цікавішим.

Б. Паскаль ХІД УРОКУ:

І. ОРГАНІЗАЦІЯ УРОКУ.

Клас необхідно розбити на команди в командах повинно бути від 4 до 6 учнів. Столи треба встановити так щоб учні могли спілкуючись в командах також спостерігати і за дошкою, і за іншими командами.

Командам видані картки з завданням. Кожна команда до кінця уроку повинна виконати всі завдання. Надати поетапно відповіді.

Вчитель слідкує за правильністю виконання завдання. Та вказує на вірний хід виконання дій. А також спостерігає та коректує мікроклімат у командах, бажанно в командах, щоб були учні різного рівня навчання, основним є щоб кожен засвоїв вивчене.

ІІ. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ УЧНІВ.

«БЛІЦ — ТУРНІР»

1. Що називається вектором?

2. Як складаються два вектори?

3. Що означає множення вектора на число?

Перевірка домашнього завдання: кожна група перевіряє відповіді домашнього завдання.

На дошці написана тема уроку. Вмикаємо медіапроектор, там дані приклади рисунків де множеться вектор на число, цітко видно координати початкових та кінцевих точок, пропонується учням знайти ті числа на яке був помножений вектор, щоб отримати вектор .

ІІІ. МОТИВАЦІЯ НАВЧАННЯ.

Сьогодні ми з вами на уроці будимо вивчати тему: Колінеарні вектори. А також ми вивчимо з Вами як можна розкласти вектор за двома неколінеарними векторами.

IV. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ.

На картках № 1 у Вас записаний алгоритм вивчення нового матеріалу.

Картка № 1

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори мають однакове направлення, або протилежно направлені.

Виконавши завдання, на повторення чи можна сказати, що будь які два вектори, які лежать на паралельних прямих можна з'єднати рівнянням Висловити думку і довести експериментально, для цього у групах взяти довільні два вектори на паралельних прямих і дослідити їх відносно .

Аналогічно для векторів які лежать на одній прямій, зробити висновки.

Учні разом з вчителем роблять висновок, що для колінеарних векторів завжди можна знайти таке, що буде виконуватися рівність

Картка № 2

На картках дані три вектори, на вектор, , .

Створити деякі перетворення так, щоб вектори були пов’язані між собою.

Спочатку дається можливість учням самим здогадатися, як це можна зробити. Потім вчитель і учні обговорюють пропозиції. Як, що надана вірна відповідь, то учням пропонується переглянути, як саме дія відбувається на комп’ютері.

Висновки В курсовій роботі нами було розглянуте питання використання векторного метода в шкільному курсі геометрії, була розібрана та проаналізована теорія відносно векторного метода, його історичне виникнення та впровадження в сучасному світі. Нами були розглянуті питання, що стосовно викладання векторного методу в загальноосвітніх школах. Та були зроблені наступні висновки.

Для вдалого доведення теорем та рішення задач векторним методом необхідно користуватися правилом-орієнтиром векторного методу доведення тверджень:

1. виділити в формулюванні теореми (задачі) умови і вимоги, виконати рисунок. Сформулювати вимоги мовою векторів і, враховуючи їх, позначити вектори на рисунку;

2. враховуючи умови і вимоги, скласти допоміжні векторні рівності. Для цього виразити, якщо це потрібно, вектори у вигляді суми або різниці інших векторів, або у вигляді добутку вектора на число. Перетворити одержані рівності і прийти до потрібної.

3. перекласти одержану рівність на мову геометрії.

Слід зауважити увагу школярів на те, що векторний метод доведення теорем не універсальний, його зручно застосовувати для доведення паралельності і перпендикулярності прямих і відрізків, належності трьох точок одній прямій, подільність відрізка в даному відношенні для доведення співвідношень між довжинами відрізків і величинами кутів. При розв’язуванні метричних задач, зокрема на визначення довжини відрізків і міри кута векторним методом, доцільно запропонувати учням відповідні алгоритми.

Основні компоненти векторного метода розв’язання задач: переклад умови задачі на мову векторів, в тому числі: введення в розгляд векторів, вибір системи координат (якщо це необхідно), вибір базисних векторів, розклад введених векторів по базисним; складення системи векторних рівностей (або однієї рівності); спрощення векторних рівностей; заміна векторних рівностей алгебраїчними рівняннями і їх розв’язання; пояснення геометричного смислу одержаного розв’язку цієї системи (або одного рівняння).

Понятійний апарат векторного методу. Дії для оволодіння компонентами методу. Основні поняття: вектор, початок вектора, кінець вектора, співнаправлені вектори, протилежно напрямлені вектори, абсолютна величина вектора (модуль вектора), рівні вектори, нульовий вектор, координати вектора, проекція вектора на вісь, колінеарні вектори, неколінеарні вектори, одиничний вектор, координатні вектори (орти), скалярний добуток векторів, кут між двома ненульовими векторами.

Основні дії: додавання векторів (правило трикутника або паралелограма), віднімання векторів, множення вектора на число; зображення вектора в вигляді суми, різниці двох векторів; в вигляді добутку вектора на число; заміна вектора йому рівним за допомогою паралельного перенесення; розкладання вектора по осях; перехід від співвідношення між векторами до співвідношення між довжинами і виконання оберненої дії; вираження довжини вектора через скалярний квадрат; вираження величини кута між векторами через скалярний добуток векторів і довжин цих векторів.

Дії для оволодіння компонентами методу: переклад геометричних термінів на мову векторів і розв’язання оберненої задачі; переклад умови задачі на мову векторів; вибір базисних векторів, розкладання вектора по осям; спрощення системи векторних рівностей; заміна векторних рівностей алгебраїчними.

Основні етапи формування векторного метода у учнів:

1) Підготовчий етап. Його мета — оволодіння вказаними поняттями і основними діями.

2) Мотиваційний етап. Його задача — показати необхідність оволодіння цим методом.

3) Орієнтувальний етап. Його мета — роз’яснення суті методу і виділити основні компоненти на прикладі розв’язаної цим методом задачі.

4) Етап оволодіння компонентами метода.

5) Мета — використовуючи спеціально підібрані задачі, формувати окремі компоненти методу (спочатку задачі на формування одного компоненту, потім двох, трьох і т. п.).

6) Етап формування методу в «цілому»

Нами була вивченні питання викладання курсу геометрії в загальноосвітній школі згідно програми. Були з’ясовані питання доцільності викладання тем за допомогою векторного метода. Була обґрунтована необхідність застосування векторного метода при рішенні та доведенні задач за темою, а також використання доведення повторно теорем даним методом.

Були розроблені та проведені нестандартні уроки, які відповідають сучасним вимогам впровадження різних інноваційних форм та методів. Практика показала, що саме таки уроки дають можливість учням краще розібрати тему, плідно працювати зацікавлено на уроці, проявити свою неординарність, творчість, вміння висловлюватися, вміння працювати у групах, самостійно.

Список використаних джерел

1. Державний загальноосвiтнiй стандарт з математики. — 2001.

2. Бевз Г. П. та ін. Геометрiя. — К.: Освiта, 1999.

3. Бевз Г. П. та ін. Геометрiя. — К.: Освiта, 1999.

4. Боровик В. Н. та ін. Курс математики. — К.: Вища школа, 1995.

5. Бурда М.I. та ін. Математика 9−10. — К.: Освiта, 1998.

6. Бурда М.I., Савченко Л. М. Геометрiя, 8−9. — К.: Освiта, 1996.

7. Вивальнюк Л. М. та ін. Математика 9−10. — К.: Освiта, 1997.

8. Вишенський В. А. та ін. Збірник задач з математики. — К.: ТВIМС, 2000.

9. Жалдак М.I. Комп’ютер на уроках математики. — К.: Техніка, 1998.

10. Нікелін О.В., Кукуш О. Г. Геометрiя 7−9 клас. — К.: Купiль, 1998.

11. Прокопенко Н. С. та ін. Збірник завдань для тематичного контролю знань,

12. Пiдручна М.В., Янченко Г. М. Диференційовані дидактичні матеріали з геометрiї,

13. Слєпкань З.I. Методика навчання математики. — К.: Педагогічна преса, 2001.

14. Швець В. О. та ін. Дидактичні матеріали з математики. 8, 9, 10, 11 класи. К.: Освiта, 1997

15. Шляхами математики, хрестоматія. / Упорядник Хмара Т. М. — К.: Педагогiчна преса, 1999.

Додаток, А Таблиця 1

Таблиця 2

.ur