Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Розв"язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера: Х 1 + х 2 — х 3 = — 4 — х 1 + 3×2 + 2×3 = 3 — 3×1 — 2×2 + 4×3 = — 4 — { { 10. 2×1 — 2×2 + 3×3 = — 1 — х 1 — х 2 + 2×3 = — 1 — - 2×1 + х 2 — 2×3 = 0 — { {. Х 1 + 3×2 + х 3 = 2 — 2×1 + 3×2 — 2×3 = 5 — - 2×1 — х 2 + 2×3 = — 1 — { { 18. х 1 — 3×2 + 4×3… Читати ще >

Розв"язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат з математики Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Тема: Поглибити знання студентів про методи розв’язування систем лінійних рівнянь та дати практику розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

! Пригадайте теорію:

Правило Крамера (швейцарський математик, 31.07.1704 — 04.01.1752):

якщо основний визначник неоднорідної системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами.

(1).

де k  — допоміжний визначник, який одержується з основного визначника — шляхом заміни його k-го стовпця стовпцем вільних членів системи.

Отже:

Якщо, то система матиме єдиний розв’язок (1).

Якщо, то система або невизначена, або несумісна (система буде несумісною — не матиме жодного розв’язку, якщо хоча б один з) .

Якщо ж і, то система матиме безліч розв’язків.

Перед розв’язком даних систем лінійних рівнянь потрібно перевірити необхідні умови застосування методу Крамера:

1. Кількість рівнянь системи дорівнює кількості невідомих.

2. Визначних основної матриці системи не дорівнює нулю ( A ) /= 0 . .

Зауваження. Метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих n <= 3

. Метод Крамера можна застосовувати і для великих значень n, але він потребує більше розрахунків. У випадку, коли n > 3 доцільно використовувати метод Гауса-Жордана (приведення системи до трикутного вигляду).

.

Вправи для розв’язування.

1. Розв’язати систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

2 x - 3 y = 12 - 4 x + y = 8 - { .

= | 2 - 3 - 4 1 | = - 10 .

= | 12 - 3 8 1 | = 36 .

= | 2 12 - 4 8 | = 64 .

x = x = 35 - 10 = - 3 . 6 .

y = y = 64 - 10 = - 6 . 4 .

Відповідь: (-3.6- -6.4).

Завдання 2. Розв’язати системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

1. - 2 x + 4 y = 0 5 x - y = 4 - { 2. x + 5 y = 16 4 y = 12 - { .

3. 3 x + 2 y = 10 4 x - y = 6 - { 4. 4 x + 2 y = 10 x - 3 y = 2 - { .

5. 5 x - 2 y = 3 x - y = 4 - { 6. 4 x - 5 y = 0 - 3 x + 2 y = 1 - { .

7. x - 2 y = 7 4 x + 3 y = 5 - { 8.

Завдання 3. Розв’язати системи двох однорідних лінійних рівнянь з двома невідомими методом Крамера:

1. 3 x + 2 y = 0 5 x - 3 y = 0 - { 2.

Завдання 4. При якому значенні k система має безліч розв’язків?

.

Завдання 5. При якому значенні k система не має розв’язків?

.

6. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

2 x 1 + x 2 - x 3 = - 4 x 1 + 3 x 2 + 2 x 3 = 3 3 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 = - 4 { { .

= | 2 1 - 1 1 3 2 3 - 2 4 | = 24 + 2 + 6 + 9 - 4 + 8 = 45 - .

1 = | - 4 1 - 1 3 3 2 - 4 - 2 4 | = - 48 + 6 - 8 - 12 - 12 - 16 = - 90 - .

2 = | 2 - 4 - 1 1 3 2 3 - 4 4 | = 24 + 4 - 24 + 9 + 16 + 16 = 45 - .

3 = | 2 1 - 4 1 3 3 3 - 2 - 4 | = - 24 + 8 + 9 + 36 + 4 + 12 = 45 - .

x 1 = - 90 45 = - 2 - .

x 2 = 45 45 = 1 - .

x 3 = 45 45 = 1 - .

Відповідь: (-2−1-1).

Завдання 7. Розв’язати системи рівнянь методом Крамера:

1. 2 x - y + z = 2 3 x + 2 y + 2 z = - 2 x - 2 y + z = 1 - { { 2. x + 2 y + 3 z = 5 2 x - y - z = 1 x + 3 y + 4 z = 6 - { { .

3. x + y + 2 z = 1 x - 2 y + z = - 1 x - y + 2 z = - 1 - { { 4. x + 2 y - z = 2 2 x - 3 y + 2 z = 2 3 x + y + z = 8 - { { .

5. 2 x - 3 y + z = 2 x + y - z = 0 2 x - y + z = 6 - { { 6. x - y - z = 0 x + y + 2 z = 1 x - y - 2 z = 1 . { { .

Завдання 8. Розв’язати системи лінійних рівнянь, використовуючи метод Крамера:

1. 2 х 1 + 2 х 2 - х 3 = - 7 - 3 х 1 - х 2 + 2 х 3 = 1 - 2 х 1 - х 2 + 3 х 3 = 3 - { { 2.

3. 2 х 1 + 3 х 2 + х 3 = 7 - х 1 + 4 х 2 + 2 х 3 = - 1 - х 1 - 4 х 2 = - 5 - { { 4.

5. - х 1 + 3 х 2 + 5 х 3 = 1 - 3 х 1 + х 2 + 3 х 3 = 2 - 5 х 1 + 3 х 2 - х 3 = - 3 - { { 6.

7. х 1 + 2 х 2 - 4 х 3 = 1 - 2 х 1 + х 2 - 5 х 3 = - 1 - х 1 - х 2 + х 3 = - 2 - { { 8. - х 1 + х 2 + х 3 = 1 - х 1 - х 2 + х 3 = 1 - х 1 + х 2 - х 3 = 1 - { { .

9. 10.

Вправи для самостійного розв’язування.

Завдання 1. Розв’язати системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими методом Крамера:

1. 3 х 1 + 2 х 2 - х 3 = - 1 - х 1 - 3 х 2 + 2 х 3 = 8 - 2 х 1 - х 2 - х 3 = - 3 - { { 2. х 1 + х 2 - 3 х 3 = 0 - 2 х 1 - 3 х 2 + х 3 = - 3 - - х 1 + х 2 + 5 х 3 = 6 - { { .

3. 4. х 1 + х 2 + 5 х 3 = 6 - 2 х 1 - х 2 + 2 х 3 = - 10 - - х 1 + 2 х 2 - 3 х 3 = - 10 - { { .

5. 3 х 1 + 2 х 2 - х 3 = - 1 - х 1 - 3 х 2 + 2 х 3 = 8 - 2 х 1 - х 2 - х 3 = - 3 - { { 6.

7. х 1 + 2 х 2 - 4 х 3 = 1 - 2 х 1 + х 2 - 5 х 3 = - 1 - х 1 - х 2 + х 3 = - 2 - { { 8. 2 х 1 + 3 х 2 - 2 х 3 = 3 - - х 1 + х 2 - х 3 = - 4 - 3 х 1 - х 2 + х 3 = 8 - { { .

9. 2 х 1 + х 2 - х 3 = - 4 - х 1 + 3 х 2 + 2 х 3 = 3 - 3 х 1 - 2 х 2 + 4 х 3 = - 4 - { { 10. 2 х 1 - 2 х 2 + 3 х 3 = - 1 - х 1 - х 2 + 2 х 3 = - 1 - - 2 х 1 + х 2 - 2 х 3 = 0 - { { .

11. 2 х 1 - 2 х 2 + х 3 = - 2 - 4 х 1 + 2 х 2 + 3 х 3 = - 1 - х 1 - 3 х 2 - 2 х 3 = 3 - { { 12.

13. х 1 - 2 х 2 + 4 х 3 = 3 - - х 1 + 3 х 2 - 5 х 3 = - 3 - 2 х 1 + 4 х 2 - 7 х 3 = - 1 - { { 14.

15. 2 х 1 + х 2 + 2 х 3 = 2 - 3 х 1 - х 2 - х 3 = 6 - 2x 1 + х 2 - х 3 = - 1 - { { 16.

17. х 1 + 3 х 2 + х 3 = 2 - 2 х 1 + 3 х 2 - 2 х 3 = 5 - - 2 x 1 - х 2 + 2 х 3 = - 1 - { { 18. х 1 - 3 х 2 + 4 х 3 = - 6 - - 2 х 1 + х 2 - 3 х 3 = - 3 - 3 х 1 - х 2 + х 3 = 9 - { { .

Контрольні запитання.

  1. 1.Що називається системою n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими?

  2. 2.Яка система лінійних рівнянь називається :

сумісною;

несумісною;

визначеною;

невизначеною?

  1. 3.Записати формули Крамера. В якому випадку вони застосовуються?

  2. 4.Довести формули Крамера для системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою