Методи чисельного моделювання МДП-структур

Міністерство спільного освітнього і профессионального.

Освіти Російської Федерации.

Воронезький державний университет.

Фізичний факультет.

. Кафедра физики.

. напівпровідників и.

. микроэлектроники.

Курсова работа.

Методи чисельного проектування МДП приборов.

. Руководитель.

. к.т.н Головін С.В.______.

. Исполнитель.

. студент 3 курсу д/о.

. Савченка А. А. _________.

Воронеж, 1999.

Реферат.

сторінок 23, рисунков 4 У цьому роботі представлений огляд літератури з темі «Методи чисельного проектування МДП приборов».Обзор містить узагальнююче введення у проблему отримання математичних моделей МДП-структур, методы і алгоритми рішення завдання чисельного моделирования.

I.

Введение

…3 II. Математическая модель…4.

1. Основні уравнения…4.

2. Моделі рухливості і рекомбинации. Краевые і початкові условия…7 III. Численное рішення основний системи рівнянь …8.

3.1 Алгебраизация ФСУ…9.

3.1.1 Дискретизація рівняння Пуассона…11.

3.1.2 Дискретизація рівняння непрерывности…13.

3.2 Рішення нелінійної алгебраїчній задачи…13 3. 3.2.1 Метод установления…13.

3.2.2 Інший варіант методу установления…14.

3.2.3 Методи линеаризации на вирішення нелінійної системы…15.

1. Итерационные на методи вирішення линеаризированных уравнений…17 IV.

Заключение

…22 Литература…23.

I.

Введение

.

С середини 60-х рр. початок складатися новий напрям у моделюванні п/п приладів, яка передбачає заміну реального об'єкта його математичної моделлю, що згодом вирішується на ЕОМ методами обчислювальної математики. Моделлю фрагмента твёрдотельной мікроелектронної структури є система рівнянь фізики напівпровідників, яка описувала процеси перенесення носіїв заряду і публічного поширення потенціалу електричного поля була в приладі. Такий їхній підхід дозволяє і досліджувати різні нелинейные фізичні ефекти (Эрли, Кирка та інших.) і на зовнішні електричні характеристики приладів. Розвиток обчислювальної техніки й поява ефективних про чисельні методів рішення рівнянь математичної фізики уможливили поява двох і тривимірних моделей. Необхідність таких моделей обумовлена багатьма причинами .

1.При аналізі приладів із мікронними розмірами робочих областей необхідний багатомірний подход.

2.Во багатьох сучасних приладах рух носіїв струму має двомірний характер.

3.Многомерный аналіз дозволяє часто в традиційних приладах побачити нові эффекты.

4.Невозможность внесення виправлень в готовий прилад і невиправдані видатки вдосконалення п/п приладів з допомогою численних тестових ітерацій роблять ефективною і економічно виправданою методологію чисельного моделювання. Отже, маючи пакетом програм, реалізують чисельні моделі, можна проектувати прилади безпосередньо на ЕОМ, значно скорочуючи кількість довгих і дорогих експериментів. У цьому роботі описуються двомірні чисельні моделі, засновані на рішенні рівнянь перенесення носіїв з допомогою апарату кінцевих разностей.

II.Математическая модель.

1.1.Основные рівняння .

Моделируемая МДП-структура, заполняющая певний обсяг, розглядається як обьеденение областей, кожна з яких відповідає визначеному матеріалу (мал.1) .Математичні моделі стану металевих контактів вважаються відомими. Отже, моделювання підлягають тоько області напівпровідника і диэлектрика. Можна записати систему рівнянь з достатньої точністю описує процеси, які у полупроводнике [1]. Потенціал електричного поля описується рівнянням Пуассона:

??= -q (p-n+Nd-Na)/??0 ,.

(1.1).

Уравнение безперервності для носіїв заряду: divJn-qRn-q =0 ,.

(1.2).

divJp+qRp+q =0 ,.

(1.3).

Jn=qDn?n-nVn ,.

(1.4).

Jp= pVp -qDp?p ,.

(1.5).

Где n і pконцентрації електронів і дірок;? — електричний потенціал; Dn і Dp-коэффициенты дифузії для електронів і дірок; Vn і Vp -швидкості дрейфу електронів і дірок; Jn і Jp щільності потоків електронів і дірок; Rперевищення швидкості рекомбінації над швидкістю генерації, Na і Ndконцентрації донорной і акцепторной домішки; qзаряд електрона; ??0- диэлектрическая проницаемость.

Джерело Затвор Сток.

Подложка.

Рис. 1.Схематическое зображення МДП-структуры.

Необходимо відзначити, що ефекти сильного легування не надають істотно до процесів в МДП-структурах [1], у рівняннях (1.4) -(1.5) де вони враховані. Рівняння Пуассона описує області напівпровідника і диэлектрика. Уравнения безперервності дійсні лише напівпровідникового матеріалу. На межі поділу диэлекрик-полупроводник (на лінії AB мал.1) виконуються умови [2]:

?п[??п (?]-?д[??д (?]'?, де ?-еденичный вектор, ортогональный межі поділу, ?-поверхнева щільність заряду, що вважається відомої (часто вважають? =0). Для спрощення виду рівнянь користуються нормировкой всіх величин які входять у систему, всі величини домножаются на відповідний коефіцієнт. Масштабні коефіцієнти наведені у литературе[2][3]. Рівняння (1.1)-(1.5) можна записати в інтегральної форме:

(Jn· ?)dS= R0dV,.

(1.51).

(Jp· ?)dS= R0dV ,.

(1.52).

?(?? · ?)dS= (n-p-N-N?)dV, (1.53).

N=Nd-Na,.

N?=?/h, N?-«концентрация» поверхового заряда, приведённая до обьёму осередки Vi (h-сторона ячейки, перпендикулярная до кордону розділу). Система (1.51)-(1.53) містить три інтегральних тотожності кожна з яких відповідає рівнянню Пуассон, або рівнянню безперервності. До того ж тепер рівняння Пуассона описує як точки належать діелектричним і напівпровідникової середах, і точки, що лежать на межі поділу цих сред.

1.2. Моделі рухливості і рекомбінації. Крайові і початкові условия.

Для повної постановки завдання крім основних рівнянь (1.1)-(1.5) ((1.51)-(1.53)) що необхідно дати моделі подвижностей? n і ?p, швидкості рекомбінації R (p, n), а як і сформулювати крайові і початкові умови. У час застосовуються різні емпіричні формули для? n і ?p. Найширше застосовується модель Ямагучи [1][2], за якою? n і ?p визначаються по формулам: ?n= 65+1265 (1+ (Nt /8.5 1016)0.72)-1 (1+|E/8000| 2, (1.60).

?p= 47.7+ 447(1+(Nt / 6.3 1016)0.76)-1 (1+|E/1.95 10 4|, (1.61).

где Nt=Na+Nd, Швидкість рекомбінації зазвичай задають, враховуючи рекомбінацію Оже і Шокли-РидаГолла, а як і ударну ионизацию:

R0=Rшрх+ROже-Gуд ,.

(1.70).

Rшрх= ,.

(1.71).

Rоже=(Cnn+Cpp)(np-nie2),.

(1.74).

Gуд=?nnVn+?ppVp,.

(1.73) ni=nieexp[(Et-Ei)/kT],.

(1.74) nie=exp[q?G /2kT];

(1.75) nie-эффективная власна концентрація носіїв заряду. Et -енергетичний рівень центрів рекомбінації, ?G-экспериментально визначається параметр, ?n,?p-коэффициенты іонізації для електронів і дірок, У точках поверхні розділу полупроводник-металл концентрації носіїв визначаються профілем легування :

n0=N/2+ (N/2)2 +nie2 ,.

(1.80) p0=-N/2+ (N/2)2 +nie2 ,.

(1.81) Значення електричного потенціалу залежить ще й від прикладываемого до контакту напряжения:

?=U+ln (n0/nie) чи ?'U+ln (p0/pie) ,.

(1.90) Для відображення кордонів задаються умови: (-???)=0,(Jn?)=0,(Jp?)=0 ,.

(1.91) Отже, математичної моделлю фрагмента МДП-структуры є система диференційних рівнянь у приватних производныx, доповнена відповідними граничними умовами. Така система називають основною чи фундаментальної (ФСУ).

III.Численное рішення основний системи уравнений.

Всё розмаїття про чисельні моделей можна розділити великих класса. Модели, які стосуються першому, засновані на рішенні рівнянь перенесення носіїв численным методом, саме, з допомогою апарату кінцевих разностей. Моделі другого класу засновані виставі активного приладу як сукупності значної частини зосереджених елементів чи окремих секцій, що відбивають багатомірний характер структури приладу. У цьому роботі розглядаються моделі МДП-структур, що стосуються по введённой класифікації до першого класу. У цьому вся методі похідні невідомих функцій, що входять до вихідні диференціальні рівняння і крайові умови, замінюються конечно-разностными відносинами (побудова разностной схеми), у результаті виходить система алгебраїчних рівнянь, які потім вирішується прямими чи итерационными методами.

3.1. Алгебраизация ФСУ, На першому етапі рішення системи диференційних рівнянь необхідно здійснити алгебраизацию завдання шляхом апроксимації на сітці безлічі точок, якими моделюється область зміни невідомих. І з трьох основних рівнянь математичну модель в інтегральної формі висловлює закон, виконуваному як і елементарної осередку, і в усій області определения, что є наслідком фундаментальних фізичних властивостей безперервності електричного усунення і тока. конечноразностная схема передбачає збереження цих властивостей й у алгебраїчних рівнянь. Розглянемо деякі питання що стосуються побудови сіток дискретизации[2]. Міркування зручності реалізації алгоритму рішення основний системи на ЕОМ, а як і вимога його економічності зумовлюють застосування регулярних сіток, розташування вузлів у яких підпорядковується певним закономірностям. У практиці чисельного моделювання мікроелектронних структур примеяются як безперервні прямокутні (нерівномірні), і трикутні сітки (мал.2.). Трикутна сітка дозволяє собі з меншим кількістю додаткових вузлів згущати сітку в західних областях локальних неоднородностей (рис. 2.б). При автоматичному побудові сітки треба знати де необхідно згущення вузлів як і інтерполювати різні величини для знову введённых точок сітки. Просторова сітка повинна бути такою, щоб помилка дискретизації була розподілено за нею рівномірно, тобто аби приватні похідні по простору аппроксимировались із заданою точністю. Метод кінцевих разностей найзручніше реалізується на непрерывных.

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |.

а).

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |.

б).

Рис. 2.Виды сіток та його локальні уточнения.

прямокутних сетках. Он є точним, якщо значення величин у кожному точці сітки може бути описані полиномом другого порядка.

3.1.1 Дискретизація рівняння Пуассона В час для конструювання разностных схем, аппроксимирующих вихідні диференціальні рівняння, використовують різноманітні методи. Наприклад, з допомогою интегро-интерполяционного методу, запропонованого А. Н. Тихоновым і А. А. Самарским природним чином можна було одержати таку схему [1]. У сфері V={(x, y), 0.