Первісна функція та невизначений інтеграл (реферат)

Реферат на тему:

Первісна функція та невизначений інтеграл Задачею диференціального числення було знаходження похідної від заданої функції y=f (x). Задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома.

Означення. Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо f=F (x).

Приклад. Для функції y=3×2 первісними є функції F (x)=x3- F (x)=x3+5- F (x)=x3−6,3 тощо.

Означення. Невизначеним інтегралом від функції f (x) називається сукупність усіх первісних цієї функції.

Використовується позначення.

$$f(x)\text{dx}=F(x)+C$$ ,.

де f (x)dx — підінтегральний вираз, а C — стала інтегрування.

З геометричного погляду невизначений інтеграл — це сукупність (сім'я) ліній F (x)+C (рис. 7.1).

y y=x3+5,2 (C=5,2).

y=x3+2 (C=2).

y=x3−3 (C= -3).

x.

Рис. 7.1.

Наведемо таблицю основних інтегралів. Доведення кожної рівності полягає у її диференціюванні.

$$x^n\text{dx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ (n, у тому числі.

$$\text{dx}=x+C$$ ;

$$\sqrt{x}\text{dx}=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$$ ;

$$\frac{1}{\sqrt{x}}\text{dx}=2\sqrt{x}+C$$ ;

$$\frac{1}{x}\text{dx}=\text{ln}x+C$$ ;

$$a^x\text{dx}=\frac{a^x}{\text{ln}x}+C$$, у тому числі $$e^x\text{dx}=e^x+C$$ ;

$$\text{sin}\text{xdx}=-\text{cos}x+C$$ ;

$$\text{cos}\text{xdx}=\text{sin}x+C$$ ;

$$\frac{\text{dx}}{{\text{sin}}^{2}x}=-\text{ctgx}+C$$ ;

$$\frac{\text{dx}}{{\text{cos}}^{2}x}=\text{tgx}+C$$ ;

$$\frac{\text{dx}}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\text{arctg}\frac{x}{a}+C$$, у тому числі $$\frac{\text{dx}}{1+x^2}=\text{arctgx}+C$$ ;

$$\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{arcsin}\frac{x}{a}+C$$, у тому числі $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{1-x^2}}=\text{arcsin}x+C$$ ;

$$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\text{ln}|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C$$ .

Приклади.

1) $$x^3\text{dx}=\frac{x^4}{4}+C$$. Справді, $${\left(\frac{x^4}{4}+C\right)}^{}=4\frac{x^3}{4}+0+x^3$$ ;

2) $$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{x}}=x^{-1/4}\text{dx}=\frac{x^{3/4}}{3/4}=\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3}+C$$ ;

3) $$4^{x-1}\text{dx}=\frac{4^{x-1}}{\text{ln}4}+C$$ .

Із означення невизначеного інтеграла випливають такі властивості інтегрування:

1) $$\text{kf}(x)\text{dx}=kf(x)\text{dx}$$ ;

2) $$[f(x)+g(x)]\text{dx}=f(x)\text{dx}+g(x)\text{dx}$$ ;

3) $$f(x)\text{dx}=f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$ (метод заміни змінних, метод підстановки);

4) $$\text{udv}=uv+\text{vdu}$$ (інтегрування частинами).

Приклади.

1. 1.Знайти $$3^{\frac{x}{4}}\text{dx}$$. Виконуємо заміну (підстановку) x/4=t.

Тоді dx=4dt, отже,.

$$3^{\frac{x}{4}}\text{dx}=3^{t}4\text{dt}=43^t\text{dt}=4\frac{3^t}{\text{ln}3}+C=4\frac{3^{\frac{x}{4}}}{\text{ln}3}+C$$.

2. Знайти $$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{2x}}$$. Виконуємо заміну 2x=t, звідки 2dx=dt. Тепер

$$\frac{\text{dx}}{\sqrt[4]{2x}}=\frac{1}{2}\frac{\text{dt}}{\sqrt[4]{t}}=\frac{1}{2}{t}^{-1/4}\text{dt}=\frac{1}{2}\frac{4}{3}{t}^{3/4}+C=\frac{2}{3}\sqrt[4]{(2x{)}^3}+C$$.

3. Знайти $$x\sqrt[3]{x+1}\text{dx}$$. При заміні x=t3−1 маємо x+1=t3, dx=3t2dt і далі.

$$x\sqrt[3]{x+1}\text{dx}=(t^3-1)t3t^2\text{dt}=3t^6\text{dt}-3t^3\text{dt}=$$.

$$=\frac{3}{7}{t}^7-\frac{3}{4}{t}^4+C=\frac{3}{7}\sqrt[3]{x+1}-\frac{3}{4}(\sqrt[3]{x+1}{)}^4+C$$.

1. 1.Знайти $$\text{sin}4\text{xdx}=-\frac{1}{4}\text{cos}4x+C$$ (заміна 4x=t).

2. 2.Знайти $$\frac{\text{dx}}{6x-5}=\frac{\text{dt}}{6t}=\frac{1}{6}\text{ln}|t|+C=\frac{1}{6}\text{ln}|6x-5|+C$$ (заміна 6x-5=t).

Інтегрування частинами потребує певних навиків. Розглянемо цей спосіб на прикладах.

Приклади.

1. Знайти інтеграл $$x^3\text{ln}\text{xdx}$$. Позначимо вираз lnx через u, а вираз x3dx через dv. Знаходимо du та v:

$$\text{du}=\frac{\text{dx}}{x}-v=x^3\text{dx}=\frac{x^4}{4}$$.

Отже,.

$$x^3\text{ln}\text{xdx}=\text{ln}x\frac{x^4}{4}-\frac{x^4}{4}\frac{\text{dx}}{x}=\frac{x^4\text{ln}x}{4}-\frac{1}{4}{x}^3\text{dx}=\frac{x^4\text{ln}x}{4}-\frac{1}{\text{16}}{x}^4+C$$ .

1. 2.Знайти $${\text{xe}}^{2x}\text{dx}$$. Позначимо u=x, dv=e2xdx. Звідси du=dx, v=(½). Тоді.

$${\text{xe}}^{2x}\text{dx}=\frac{1}{2}{\text{xe}}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}\text{dx}=\frac{1}{2}{\text{xe}}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$$ .

Для інтегрування раціональних дробів, тригонометричних виразів тощо, використовуєть спеціальні прийоми. Розглянемо два приклади відшукання невизначених інтегралів від раціональних дробів.

Приклади.

1) $$\frac{x^3-3x+4}{x-2}\text{dx}=(x^2+2x+1+\frac{6}{x-2})\text{dx}=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x+6\text{ln}|x-2|+C$$ ;

1. 2) $$\begin{array}{c}\frac{x+3}{x^2-8x+\text{25}}\text{dx}=\frac{x+3}{(x-4{)}^2+9}\text{dx}\begin{array}{c}(\text{заміна}x-4=t)\\ \\ \frac{t+7}{t^2+9}\end{array}\text{dt}=\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}=\frac{\text{tdt}}{t^2+9}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}=\frac{1}{2}\frac{2\text{tdt}}{t^2+9}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}\begin{array}{c}(\text{заміна}{t}^2+9=u)\\ \\ \frac{1}{2}\frac{\text{du}}{u}+7\frac{\text{dt}}{t^2+9}\end{array}=\\ \end{array}$$.

$$=\frac{1}{2}\text{ln}|u|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{t}{3}+C=\frac{1}{2}\text{ln}|t^2+9|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{t}{3}+C=$$.

$$=\frac{1}{2}\text{ln}|(x-4{)}^2+9|+\frac{7}{3}\text{arctg}\frac{x-4}{3}+C$$ .

В економіці часто застосовують такі функції, як y=lnx та y=1-e-x. Інтеграли від цих функцій :

$$\text{ln}\text{xdx}=x(\text{ln}x-1)+C$$ ;

$$(1-e^{-x})\text{dx}=x+e^{-x}+C$$.

(перевірка виконується диференціюванням).

Зазначимо, що не всі інтеграли можна виразити через елементарні функції. Так, наприклад, інтеграли $$\frac{\text{dx}}{\text{ln}x}$$ та $$e^{-x^2}\text{dx}$$ існують, проте через елементарні функції не виражаються.