Формула Ньютона – Лейбніца (реферат)
Надамо змінній x приросту вважаючи (для спрощення міркування), що t- 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізкуфункція y=f (x)досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=f (x) є неперервною на відрізку[x, x+то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,. Виникає… Читати ще >
Формула Ньютона – Лейбніца (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Міністерство освіти України.
Коломийське В П У-17.
Реферат
На тему: Формула Ньютона — Лейбніца.
Учня групи № 15.
Лінькова А.М.
Коломия 2002р.
.Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для найпростіших функцій, таких, як y = k x, y = x2 Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.
Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 — 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 — 1716). Строге доведення формули Ньютон — Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.
.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що.
Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, щоS.
f.
.x.
.dx.
.a.
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.f.
.x.
.dx.
.a.
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.x.
.dx.
.a.
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.dx.
.a.
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.a.
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.b.
.>
.>
..
.(.
.).
.>
.>
..
.(.
.).
.>
..
.(.
.).
..
.(.
.).
.(.
.).
.).
.що.
Виберемо довільну точку x є [ ab]і проведемо через
неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури, а А К х.
змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че;
рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при;
чому Sf (x), де y=f (x) — підінтегральна функція,.
графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше.
кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для f (x).
Надамо змінній x приросту вважаючи (для спрощення міркування), що t- 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ ab]функція y=f (x)досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=f (x) є неперервною на відрізку[x, x+то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,.
m tx) < M >
Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо
..За непервністю функції y=f (x).
lim m =lim M = f (x).
>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.lim.
.(.
.).
.(.
.).
.lim.
.(.
.).
.(.
.),.
.(.
.).
.(.
.),.
.тоді.
.x.
.S.
.x.
.S.
.f.
.x.
.x.
.S.
.x.
.x.
.S.
.x.
.то.
.S.
.x.
.f.
.x.
.тобто.
..Оскільки.
.Але.
..функція є однією з первісних функції y=f (x).
Позначимо через F (x)будь-яку первісну для функції y=f (x). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому.
S (x) = F (x)+ C. (1).
При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S (x) = 0.
Підставивши у рівність (1) замість х число, а, а замість S (x) число 0, одер-жимо C= - F (a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо.
S (x) = F (x)-F (a). (2).
Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S (b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд.
S (b) = F (b)-F (a).
Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює
b
значенню (x) dx. Тому можна зробити висновок, що
a.
b
(x) dx = F (b)-F (a). (3).
a.
).
.x.
.a.
.b.
..F.
.>
.(.
.).
.(.
.).
.f.
.x.
.dx.
.F.
.x.
.b.
.b.
..a.
.a.
..Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона — Лейбніца. Справді,.
S.
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.o.
.k.
.o.
.k.
.OAB.
.xdx.
.x.
.k.
.k.
.(кв. од.);
>
.>
.>
.>
.>
.k.
.k.
.S.
.OAB.
.x.
.dx.
.x.
.k.
.k.
.o.
.Ньютона — Лейбніца площу фігури,.
обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,.
.x.
.i.
.x.
.>
.>
.>
.>
..
S.
.x.
.dx.
.x.
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.>
.sin.
.cos.
.cos.
.