Дзета-функция Рімана

Дзета-функция Римана

Курсовая робота.

Выполнил студент 2го курсу ФМФ групи «Б» Симонян Сергій Олегович Ставропольский Державний университет Кафедра математичного анализа Ставрополь, 2004 г.

Введение

.

Функция — одна з головних понять переважають у всіх природничонаукових дисциплінах. Невипадково ще середньої школи діти одержують інтуїтивне уявлення звідси понятті. З шкільних років наш багаж знань поповнюється відомостей про таких функціях як лінійна, квадратична, статечний, показова, тригонометрические та інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні і гіперболічні функції, эйлеровы інтеграли (гамаі бета-функции), тета-функции, функції Якобі і з другие.

Что ж таке функція? Точного визначення неї не існує. Це в математиці первинним, аксиоматизируется. Проте, під функцією розуміють закон, правило, яким кожному елементу якогось безлічі X ставлять у відповідність чи кілька елементів безлічі Y. Елементи безлічі X називаються аргументами, а безлічі Y — значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначної, якщо більше — то багатозначній. Синонімом функції є термін «відображення». У найпростішому разі безліч X то, можливо підмножиною поля дійсних R чи комплексних З чисел. Тоді функція називається числової. Нам зустрічатимуться лише отображения.

Функции може бути задано багатьма у різний спосіб: словесним, графічним, з допомогою формули. Функція, що її будемо розглядати у цій роботі, ставиться через нескінченний ряд. Але, попри таке нестандартне визначення, зі свого уявленню у вигляді ряду вони можуть бути добре вивчена методами теорії лав і плідно застосована до різним теоретичним і прикладним питанням математики суміжних із нею наук.

Конечно ж, йдеться про знаменитої дзета-функции Рімана, має щонайширші застосування теоретично чисел. Вперше і запровадив їх у науку великий швейцарський математик і механік Леонард Эйлер і зрештою отримав багато її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функции німецький математик Бернгард Ріман. Робота із вшанування нього отримала своє назва, оскільки він опублікував кілька виключно видатних робіт, присвячених цієї функції. Вони він поширив дзета-функцию галузь комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу перебування цього числа з участю функції й заявив про свою гіпотезу про нулях дзета-функции, над доказом чи спростуванням якої безрезультатно б’ються кращі уми от уже майже 150 лет.

Наукова громадськість вважала, і вважає розв’язання проблеми одним із пріоритетних завдань. Так Давид Гільберт, що виступав Міжнародної Паризької математичної конференції 1900 року із підбиттям підсумків розвитку науку й розглядом планів у майбутнє, включив гіпотезу Рімана до списку 23 проблем, які підлягають рішенню нового століття і здібних просунути науку далеко вперед. На межі століть, 2000 року американський The Clay Mathematics Institute назвав сім завдань, за рішення кожної яких буде виплачений 1 мільйон доларів. До числа також потрапила гіпотеза Рімана.

Таким чином, навіть б поверхове ознайомлення з дзета-функцией буде схвалений і цікавим, і полезным.

Глава 1.

Итак, приступимо до вивчення цій важливій і цікавою дзета-функции Рімана. У цьому главі ми матимемо деякі властивості функції в речовинної області, з її визначення з допомогою ряда.

Определение. Дзета-функцией Рімана ?(s) називають функцію, яка кожному дійсному числу p. s ставить за відповідність суму низки.

(1).

если вона существует.

Основной характеристикою будь-який функції є область визначення. Знайдемо її нашій функции.

Пусть спочатку s?0, тоді s=?t, де t належить безлічі неотрицательных дійсних чисел R+{0}. І тут і кілька (1) звертається до ряд , який, очевидно, розходиться як із t>0, і при t=0. Тобто значення s?0 не входить у область визначення функции.

Теперь нехай s>0. Для дослідження збіжності низки (1) скористаємося інтегральним ознакою Коші. При кожному p. s розглянемо функцію , де , що є на проміжку безупинної, позитивної і монотонно убутній. Виникає три різних возможности:

01. Перепишемо ряд (1) як . Як було понад показано, ряд сходиться, а функції при s>s0 монотонно убуває і усе разом обмежені одиницею. Отже, за ознакою Абеля для s>s0 ряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему безперервністю суми функціонального низки, отримуємо, що у будь-яку точці s>s0 дзета-функция безупинна. Через довільності s0 ?(s) безупинна на області определения.

Теперь почленным дифференцированием низки (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функции Римана:

(2).

Чтобы виправдати цей результат, досить переконатися у тому, що кілька (2) рівномірно говорять про проміжку й скористатися теоремою про дифференцировании рядів. Використовуємо хоча б прийом. Зафіксуємо будь-яке s0>1 і уявімо ряд (2) як для s>s0. Множники , починаючи з n=2, монотонно убувають, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тож за ознакою Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s>s0, отже, і незалежно від s>1. Яке б значення s>1 ні взяти може бути укласти між і , де , а ; до проміжку застосовна вищевказана теорема.

Таким самим шляхом можна переконатися у існуванні для дзета-функции похідних всіх порядків й одержати їх висловлювання на вигляді рядов:

.

Попытаемся побудувати наочне зображення функції як графіка. І тому вивчимо спочатку її поведінка на нескінченності та на околиці точки s=1.

В першому випадку, через рівномірної збіжності низки (1), по теоремі про почленном перехід до межі, маємо . При n=1 межа дорівнює одиниці, інші межі рівні нулю. Тому .

Чтобы досліджувати випадок , доведемо деякі допоміжні оценки.

По-перше, відомо, що й для низки існує безперервна, позитивна, монотонно убутна функція , певна на безлічі , така, що , і має первообразную , то залишок низки оцінюється так: , де . Застосовуючи вищесказане до низки (1), знайдемо, що необхідна функція.

, а і . Звідси, підставляючи в подвійне нерівність, маємо.

(3). У лівому нерівності між іншим n=0, тоді , тобто . У правом ж візьмемо n=1 й одержимо , далі , і, нарешті, . Переходячи в неравенствах до межі при , знаходимо .

Отсюда, зокрема, слід, що . Справді, між іншим . Тоді , тобто . Тому . З те, що , а , випливає доказуване твердження.

Можно, проте, отримати ще більше точний результат для оцінки поведінки дзета-функции на околиці одиниці, ніж приведені вище, приналежний Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності . Додамо всім частинам нерівностей (3) суму і віднімемо . Маємо . Нехай тут p. s прагне одиниці. За загальним правилом Лопиталя легко обчислити і . Ми не знаємо, є межа висловлювання при , тому, скориставшись найбільшим і найменшим межами, напишемо нерівності так: .

. Через довільності n візьмемо . Перше й останнє висловлювання прагнуть эйлеровой постійної З (C0,577). Отже , отже, є і звичайний межа і .

Знайдені вище межі дозволяють отримати лише приблизне уявлення про вигляді графіка дзета-функции. Сьогодні ми виведемо формулу, яка можна буде завдати на координатну площину конкретні точки, саме, визначимо значення , де k — натуральне число.

Возьмём відоме розкладання , де  — знамениті числа Бернуллі (власне, нього ці числа і визначаються). Перенесём складова у ліві частина рівності. Зліва отримуємо cth, а правій частині - , тобто cth. Замінюємо на , отримуємо cth.

С з іншого боку, існує рівність cth, з яких cth. Підстановкою замість знаходимо cth . Якщо , то тут для будь-якого N і з теоремі про додаванні нескінченного безлічі статечних рядів cth .

Приравняем отримані розкладання: .

, отже . Звідси негайно слід бажана формула.

(4), де  — k-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що це числа добре вивчені і їх складено великі таблиці.

Теперь, з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функции Рімана, досить добре який відбиває її поведінка на області определения.

.

Леонард Эйлер, вперше рассмотревший дзета-функцию, отримав чудове розкладання їх у нескінченне твір, яке теж сприймають як определение:

, де pi — i-е просте число (4).

Докажем тотожність низки (1) і твори (4). Згадавши формулу суми геометричній прогресії, отримуємо рівність .

Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, відповідальних всім простим числам, не переважаючим заданого натурального числа N, то отриманий часткове твір виявиться рівним , де символ * означає, що підсумовування поширюється не так на все натуральні числа, а лише на їх (беручи до уваги одиниці), які у своєму розкладанні утримують тільки прості числа менші N. Оскільки перші N натуральних чисел цією властивістю мають, то.

(5).

Сумма містить в усіх числа, великі N+1, тому, очевидно, . З (5) отримуємо.

(6).

Ввиду збіжності низки (1), вираз справа, що представляє його залишок після N-го члена, котиться до нуля при N хто прагне до нескінченності, а є твором (4). Отже з нерівності при , що потрібно було доказать.

Формула (4) важлива вона пов’язує натуральний ряд, представлений безліччю значень аргументу дзета-функции, з безліччю простих чисел. Ще крок в цьому напрямі ми зробимо, оцінивши , саме показавши, що , де залишається обмеженим при .

Из (4) слід, що , де N, а при . Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді . Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються до кількох: . Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Зрозуміло, що . Останнє рівність справедливо, оскільки . Далі, очевидно, , як і завершує доказательство.

На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функции Рімана для дійсного аргументу, оскільки найбільший теоретичний і прикладної інтерес представляє випадок викладений у другий главе.

Глава 2.

Все результати першого розділу, що стосуються дзета-функции Рімана, були отримані припущенні, що її аргумент p. s — дійсне число. Проте, найвидатніші дослідження та численні важливі докладання відбуваються лише після включення до область визначення функції комплексних чисел. Вперше розглянув дзета-функцию як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Ріман, котрий вивчив її властивості і широко застосовувала їх у теорії чисел. Робота із вшанування нього функція отримала своє название.

Для комплексної дзета-функции залишається у силі визначення, дану у главі 1, із тією лише зміною, що тепер там З. Виникає необхідність системи знайти нову область визначення. Для цього він доведемо таке твердження: в напівплощини ( справжня частина числа x) ряд.

(1) сходиться абсолютно.

Пусть . Підрахуємо абсолютні величини членів низки (1), . Перший множник містить лише речові числа і , оскільки . До другої ж множнику застосуємо знамениту формулу Эйлера, одержимо . Отже, . Через збіжності низки при ?>1, маємо абсолютну відповідність низки (1).

На своїй сфері визначення дзета-функция аналитична. Справді, при усякому q>0 і фіксованому ?>1+q, числової ряд мажорирует декотрі з абсолютних величин , де , звідки, по теоремі Вейерштрасса, слід рівномірна відповідність низки в напівплощини . І сума рівномірно сходящегося багатьох з аналітичних функцій сама є аналітичної функцією.

Нетрудно показати, що це отримані для дзета-функции формули не змінювалась переносяться у разі комплексного аргументу. Докази перетерплюють незначні перетворення, пов’язані з переходом до абсолютним величинам.

В цьому сенсі зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функции у твір , де p. s тепер будь-яке комплексне число, таке, що . Застосуємо його до доведенню відсутності в функції корней.

Оценим величину , використовуючи властивість модуля : , де звісно ж . Оскільки , то , а , отже, дзета-функция в нуль не обращается.

Вопрос про нулях дзета-функции, і навіть інші прикладні питання отримують нові широкі змогу дослідження, якщо поширити її в всю комплексну площину. Тому, тепер ми однією з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функции і виведемо її функціональне рівняння, характеризує і однозначно що б .

Для цього нам знадобиться формула.

(2), яка виводиться так. Використовуючи властивості з дитинства інтегралів можна записати . Для будь-якого d при , отже і , а . . Отже, . Інтеграл можна знайти інтегруванням частинами, приймаючи , ; тоді , а . Через війну . Віднімемо від цього інтеграла попередній й одержимо , звідси легко слід рівність (2).

Теперь між іншим в (2) , , a і b — цілі позитивні числа. Тоді . Нехай спочатку , приймемо a=1, а b устремим до нескінченності. Одержимо . Додамо по одиниці обидві частини рівностей:

(3).

Выражение є обмеженим, оскільки , а функція абсолютно интегрируема на проміжку при , тобто за , . Отже, інтеграл абсолютно сходиться при , причому рівномірно у будь-якій кінцевої області, що у комплексної площині праворуч від прямий . Цим він визначає аналітичну функцію перемінної p. s, регулярну при . Тому права частина рівності (3) є аналітичне продовження дзета-функции на полуплоскость і має лише один простий полюс у точці якщо вирахувати оплату, рівним единице.

Для можна перетворити вираз (3) дзета-функции. При маємо , отже, и. Тепер при (3) то, можливо записано як .

Немного складнішими міркуваннями можна встановити, що насправді (3) дає аналітичне продовження дзета-функции на полуплоскость . Поклавши , а , тобто первообразная для . обмежена, оскільки , а інтеграл і обмежений тому, що . Розглянемо інтеграл при x1>x2 і . Проинтегрируем його за частинам, прийнявши , , тоді , а, по зазначеному вище утвердженню . Отримуємо . Візьмемо , а . Маємо , , оскільки обмежена функцією. Значит,.

(4).

Пользуясь абсолютної сходимостью інтеграла , якщо , і обмеженістю функції , бачимо, що у лівої частини рівності (4) інтеграл теж сходиться при . Отже формулою (3) можна продовжити дзета-функцию і полуплоскость правіше прямий .

Нетрудно встановити, що з негативних , тому з (3) маємо.

(5) при .

Из теорії рядів Фур'є відомо, що з нецелых значень x справедливо розкладання в ряд.

(6).

Подставим їх у рівність (5) і проинтегрируем ряд почленно:

. Зробимо в отриманому интеграле підстановку , це означає , а , й одержимо далі . Відомо, що , отже . З відомого співвідношення для гамма-функции , за такою формулою доповнення , отже .

Итак, ми маємо функціональне рівняння дзета-функции Римана.

(7),.

которое саме собою може бути засобом вивчення цієї функції, оскільки цілком характеризує її, тому, будь-яка інша функція , яка задовольнить рівності (7), і навіть ще деяким природним умовам, тотожна з .

Пока, щоправда, як випливає з міркувань, ми довели формулу (7) для . Проте права частину акцій цього рівності є аналітичної функцією p. s і за . Це свідчить, що дзета-функция то, можливо аналітично продовжено протягом усього комплексну площину, причому немає у ньому ніяких особливостей, крім згадуваного полюси при .

Чтобы доказ було суворим, ми повинні ще обгрунтувати почленное інтегрування. Оскільки ряд (6) сходиться майже усюди, і його часткові суми залишаються обмеженими, почленное інтегрування будь-якою кінцевому відрізку припустимо. Через нічого для будь-якого , залишається довести, що при . Але інтегруючи внутрішній інтеграл частинами маємо .

. Звідси легко виходить наше утверждение.

Функциональное рівняння дзета-функции (7) то, можливо записано багатьма способами. Наприклад, замінимо p. s на 1-s, отримуємо равносильное рівність.

(8). З нього можна отримати два невеликих следствия.

Подставим в (8) замість p. s число 2m, де m — натуральне число. Маємо . За формулою (4) першого розділу , а , тому і виготовивши у правої частини все скорочення, враховуючи, що , одержимо .

Покажем ще, що . І тому прологарифмируем рівність (8): і результати продифференцируем . У околиці точки s=1 , , , де З — стала Эйлера, а k — довільна стала. Отже, спрямовуючи p. s до одиниці, одержимо , тобто . Знову з формули (4) глави 1 при k=0 , отже, справді, .

Глава 3.

Как було зазначено, дзета-функция Рімана широко застосовується у математичному аналізі. Проте особливо повно важливість її виявляється теоретично чисел, де надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел в натуральному ряду. На жаль, оповідання про серйозних і нетривіальних цілях дзета-функции Рімана за межі цієї роботи. Та й щоб хоча трохи уявити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих утверждений.

Например, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Найстрашніше знамените елементарне доказ належить Евклиду. Вона полягає в наступному. Припустимо, що є кінцеве число простих чисел, позначимо їх p1, p2, …, pn. Розглянемо число p1p2… pn+1, він ділиться і одна з і не збігається ні одним із них, тобто є простим числом, відмінними від вищевказаних, що суперечить припущенню. Отже, кількість простих чисел може бути конечным.

Другое доказ цього факту, що використовує дзета-функцию, дали Эйлером. Розглянемо дану у першому розділі рівність (5) при s=1, одержимо , звідси і через расходимости гармонійного низки, маємо при .

(1). Якби кількість простих чисел було кінцевим, те й те твір мало кінцеве значення. Проте, отриманого результату свідчить про інше. Доказ завершено.

Теперь перепишемо (1) як . Маючи теорему про збіжності нескінченного твори, з расходимости попереднього бачимо, що кілька розходиться. Це пропозицію дає деяку характеристику зростання простих чисел. Підкреслимо, що набагато сильніше твердження про расходимости гармонійного низки, оскільки тут йде лише частину його членів, тим більше в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: , , …, .

Несмотря зважується на власну простоту приведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, оскільки вони починають низку досліджень все більш й більш глибоких властивостей низки простих чисел, що триває по цей день. Спочатку, основна мета вивчення дзета-функции таки було дослідження функції , тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, яка зв’язує і , ми сьогодні одержимо рівність.

(2).

Сначала скористаємося розкладанням дзета-функции в твір: . З логарифмічного низки , враховуючи, що , дійшли ряду . Отже, .

Теперь обчислимо інтеграл у правій частині (2). Бо за , то . У внутрішньому интеграле між іншим , тоді і , звідси .У перервах інтегрування , тому вірно розкладання і . Отримуємо . Тепер . Якщо порівняти отримане значення інтеграла із низкою для , то побачимо, що вони тотожні і рівність (2) доказано.

Используем формулу (2) як доказ однієї дуже серйозної і важливішої теореми, саме одержимо асимптотический закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що .

В ролі історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс емпірично встановив цю закономірність ще 15-річному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, у якому таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмов.

Для докази візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння щодо , тобто звернути інтеграл. Зробимо це з допомогою формули звернення Меллина так. Нехай . Тоді.

(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а вплине на асимптотику . Справді, оскільки , інтеграл для сходиться рівномірно в напівплощини , що легко можна знайти порівнянням з інтегралом . Отже, регулярна і обмежена в напівплощини . Це ж справедливе й щодо , оскільки .

Мы міг би вже застосувати формулу Меллина, але було б дуже важко виконати інтегрування. Тож перш перетворимо рівність (3) так. Дифференцируя по p. s, отримуємо . Означимо ліву частина через і між іншим , , (, і вважаємо рівними нулю при ). Тоді, інтегруючи частинами, знаходимо при , чи .

Но безупинна і має обмежену варіацію будь-якою кінцевому інтервалі, бо як , то () і (). Отже, абсолютно интегрируема на при . Тому при , чи при . Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, оскільки обмежене при , поза деякою околиці точки . У околиці і можна покласти , де обмежене при , і має логарифмический порядок при . Далі, . Перший член дорівнює сумі відрахувань особливих точках, розташованих зліва прямий , тобто . У другому члені можна покласти , оскільки має за лише логарифмічну особливість. Отже, . Останній інтеграл котиться до нуля при . Отже,.

(4).

Чтобы перейти назад до , використовуємо таку лемму.

Пусть позитивна і убуває і нехай при . Тоді .

Действительно, якщо  — дане позитивне число, то (). Звідси отримуємо нічого для будь-якого . Та оскільки не убуває, то . Отже, . Вважаючи, наприклад, , отримуємо .

Аналогично, розглядаючи , отримуємо , отже , що потрібно було доказать.

Применяя лемму, з (4) маємо, що , , тому і теорема доказана.

Для ознайомлення з глибшими результатами теорії дзета-функции Рімана можу відіслати зацікавленого читача до прилагаемому списку використаної литературы.

Список литературы

Титчмарш Є. К. Теорія дзета-функции Рімана. Череповец, 2000 г.

Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального і інтегрального обчислення, тому II. М., 1970 г.

Привалов І.І. Введення у теорію функцій комплексного змінного. М., 1999 г.

Айерленд До., Роузен М. Класичне введення у сучасну теорію чисел. М., 1987 г.

Шафаревич З.А. Теорія чисел. М., 1986 г.