Приближенное обчислення певних з дитинства інтегралів, які беруться через елементарні функции

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРА (НИ.

УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП.

ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ.

КАФЕДРА ФІЗИКО — МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН.

КУРСОВА РОБОТА.

Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції.

Студента 2-го курсу.

Ресенчука Станіслава.

Науковий керівник доцент Лавер Про. Г.

УЖГОРОД — 1998 р.

Зміст.

Вступ. 3.

Формули прямокутників й трапеції. 4.

Параболічне інтерполювання. 6.

Дроблення проміжку. 9.

Залишковий член формули прямокутників. 11.

Залишковий член формули трапеції. 13.

Залишковий член формули Сімпсона. 14.

Додаток 1. 17.

Додаток 2. 20.

Висновки. 22.

Література. 23.

Вступ.

Багато завдань науки й техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але й не усі інтеграли піддаються обчисленню. У даній роботі разглядається запитання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. В частности, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій, а також формула Сімпсона.

Формули прямокутників й трапеції.

Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу [pic], де [pic] є деяка заданая на проміжку [pic] неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, чи за допомогою первістної, якщо вон виражається в скінченному вигляді, чи ж — минаючи первістну — за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що усім цим вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

У даній роботі можна ознайомитися із основними з цих методів, в які наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, котрі сюди відносяться, простіші всього отримуються з геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл [pic]як площу деякої фігури, котра обмежена кривою [pic], ми й ставимо собі за завдання знаходження цієї площі.

Перш на, вдруге використовуючі ту думку, котра привела нас впритул до поняття про визначеном інтегралі, можна розбити усю фігуру (малий. 1) на смуги, скажемо однієї й тієї ж ширини [pic], а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка з його ординат. Це привід нас до формули.

[pic],.

де [pic] [pic]. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступенчатої фігури, котра складається з прямокутників (чи ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула й називається формулою прямокутників.

[pic].

Малий. 1.

На практиці зазвичай беруть [pic] якщо відповідну середню ординату [pic] позначити через [pic], то формула перепишеться у вигляді.

[pic]. (1).

Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо матір на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природно приводять й до другої, часто використовуваємій наближеній формулі. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, із вершинами у точках [pic], де [pic] [pic]. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, Яка складається з ряду трапецій (рис2.). Якщо, як й раніш рахувати, що проміжок [pic] разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть.

[pic].

[pic].

Малий. 2.

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули.

[pic]. (2).

Це так кликана формула трапецій.

Можна показати, що при зростанні [pic] до нескінченності похибка формули прямокутників й формули трапецій нескінченно зменьшується. Таким чином, при достатньо великому [pic] обидві ці формули відтворюють шукане значення із довільним рівнем точності.

Параболічне інтерполювання.

Для наближеного обчислення інтеграла [pic] можна спробувати замінити функцію [pic] (близьким (до неї многочленом.

[pic] (3).

і покласти.

[pic].

Можна сказати, що тут — при обрахуванні площі - дана (крива ([pic] замінюється на (параболу [pic] - го порядку ((3), в зв (язку із чим цем процес отримав назву параболічного интерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго багаточлена [pic] частіше всього виконують наступним чином. У проміжку [pic] беруть [pic] значень незалежної змінної [pic] й підбирають багаточлен [pic] так, щоб при всіх взятих значеннях [pic] його значення співпадало зі значенням функції [pic]. Цією умовою, як ми знаємо, багаточлен [pic] визначається однозначно, й його вираз даеться інтерполяціонною формулою Лагранжа:

[pic].

При інтерполюванні виходить лінійний, відносно значень [pic] вираз, коефіцієнти якого уже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіціенти раз й назавжди, можна їхнього використовувати для будь-якої функції [pic] в даному проміжку [pic].

У найпростішому випадку, при [pic], функція [pic] просто замінюється сталою [pic], де [pic] - будь-яка точка у проміжку [pic], скажемо, середня: [pic]. Тоді наближено.

[pic] (4).

Геометрично — площа криволінійної фігури замінюється тут площею прямокутника із висотою, котра рівна середній її ординаті.

При [pic] функція [pic] замінюється лінійною функцією [pic], Яка має однакові із нею значення при [pic] і [pic]. Якщо взяти [pic], [pic], то.

[pic] (5).

і, як легко обчислити,.

[pic].

Таким чином, тут ми наближено вважаємо.

[pic].

На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, Яка зполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши [pic]. Якщо покласти [pic], [pic], [pic], то інтерполяційний багаточлен [pic] якщо матір вигляд.

[pic] (7).

За допомогою легкого обчислення вираховуємо.

[pic].

і, аналогічно.

[pic],.

[pic].

Таким чином, приходимо до наближеної формули.

[pic].

Тут площа фігури под даною кривою замінюється площею фігури, котра обмежена звичайною параболою (із вертикальною віссю), що проходити через крайні й середню точки кривої.

Збільшуя степінь [pic] інтерполяційного багаточлена, тобто проводячи параболу (3) крізь ці понад число даної кривої, можна розраховувати отримати більшу точність. Але более практичним виявляється інший шлях, якій грунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання з ідеєю дроблення.

Дроблення проміжку.

При обчисленні інтегралу [pic] можна зроботи так. Розіб (ємо спочатку проміжок [pic] на деяке число, [pic], рівних проміжків.

[pic] [pic],.

в зв (язку із чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми.

[pic] (9).

Тепер до шкірного з цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній з наближених формул — (4), (6), (8).

Легко збагнути, що виходячи з формул (4) чи (6), ми таким шляхом знов отримаємо уже відомі нам формули прямокутників й трапецій, (1) і (2).

Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості положимо, як й вище,.

[pic], [pic], [pic].

Ми отримаємо.

[pic],.

[pic],.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .

[pic].

Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули.

[pic] (10).

Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближенного обчислення інтегралів частіші, ніж формулами прямокутников й трапецій, бо вона — при тихий ж витратах — дає зазвичай более точний результат.

Залишковий член формули прямокутників.

Почнемо із формули (4). Припустимо, що у проміжку [pic] функція [pic] має неперервні похідні перших двох порядків. Тогді, розкладая [pic] (по формулі Тейлора) за ступенями двочлена [pic] аж до його квадрату, будемо матір для всіх значень [pic] в [pic].

[pic],.

де [pic] міститься між [pic] та [pic] й залежить від [pic].

Якщо проінтегрувати цю рівність у проміжку від [pic] до [pic], то другий член зправа зникне, бо.

[pic] (11).

Таким чином, отримаємо.

[pic],.

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд.

[pic].

Позначив через [pic] й [pic], відповідно найменьше та найбільше значення неперервної функції [pic] у проміжку [pic] й коростуючись тім, що другий множник підінтегрального виразу на змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати.

[pic],.

де [pic] міститься між точками [pic] і [pic]. По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в [pic] така точка [pic], що [pic], й остаточно.

[pic]. (12).

Якщо тепер розділити проміжок [pic] на [pic] рівних частин, то тут для шкірного часткового проміжку [pic] будемо матір точну формулу.

[pic].

[pic].

Додавнши ці рівності (при [pic]) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях.

[pic],.

де вираз.

[pic].

й є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз.

[pic].

також знаходиться між [pic] й [pic], то й він представляє одне з значень функції [pic].

Тому остаточно маємо.

[pic] [pic] (13).

При зростанні [pic] цей додатковий член спадає приблизно як [pic]. 1].

Залишковий член формули трапеції.

Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогатках відносно функції [pic]. Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа з залишковим членом можемо написати.

[pic] [pic].

Інтегруя цю формули від [pic] до [pic], знайдемо.

[pic],.

так що залишковий член формули (6) буде.

[pic].

Розмірковуючи, як й вище, й користуючись тім, що другий множник підінтегральної функції й не змінює знака, знайдемо.

[pic] [pic].

Нарешті, для випадку ділення проміжку на [pic] рівних частин.

[pic] [pic] (14).

Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні [pic] він також зменьшуеться приблизно як [pic]. Ми бачемо, що застосування формули трапецій приводити до похибки того ж порядку, що й для формули прямокутників.

Залишковий член формули Сімпсона.

Звернемося, нарешті до формули (8). Можна було б б, аналогічно тому, як це було б зроблено тількі що, знов скористатись формулою Лагранжа із залишковим членом й покласти.

[pic] [pic] (15).

Але ми стикаємося тут із таким станом промов, а саме, проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз [pic] в підінтегральній функції уже змінює знак на проміжку [pic]. Тому ми зробимо інакше.

Вираз.

[pic],.

яким бі не було б число [pic], в точках [pic], [pic], [pic] приймає самі й тіж значення, що й функція [pic]. Легко підібрати число [pic] то й похідна цого виразу при [pic] співпадала із похідною [pic]. Таким чином, при цьому значенні [pic] ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Эрміта, який відповідаї вибачимо вузлам [pic], [pic] й дворазовому вузлу [pic]. Скориставшись формулою Эрміта із залишковим членом — в пропушенні існування для функції [pic] похідних до четвертого порядку включно — отримаємо:

[pic][pic].

Тепер проінтегрувавши цю равність від [pic] до [pic]; ми знайдемо, що.

[pic].

[pic].

так як.

[pic].

Якщо припустити похідну [pic] неперервною, то попередніх випадках, залишковий член формули (8).

[pic],.

користуючись тім, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді[2]:

[pic].

[pic].

Якщо проміжок [pic] розділити на [pic] рівних частин, то — для формули Сімпсона (10) — отримаємо залишковий член у вигляді.

[pic] [pic] (16).

При зростанні [pic] цей вираз зменьшується приблизно як [pic]; таким чином, формула Сімпсона дійсно более вигідна, ніж попередні дві формули.

Додаток 1.

Текст программи для автоматичного обчислення інтегралів на мові програмування QBASIC:

" Тут описуються сталі e = 2.718 281 828 459 045# pi = 3.141 592 653 589 793#.

" Тут задається від под інтегральної функції DEF fny# (x#) = e (x# (2.

DEF fncoef# (і#) = (і# MOD 2) * 2 + 2 DEF fnxi# (і#) = a# + і# * h# DEF fnxis# (і#) = a# + і# * h# / 2 DEF fnxic# (і#) = a# + і# * h# + h# / 2 DEF fnxir# (і#) = a# + і# * h# + h# / 2.

CLS.

" Тут вводяться межі інтегрування та «кількість проміжків INPUT «Введіть нижню між інтегрування «a# INPUT «Введіть верхню між інтегрування «b# INPUT «Введіть кількість проміжків «n#.

" Тут обчислюється крок h# = (b# - a#) / n#.

" Тут обчислюється наближене значення «інтеграла за методом Сімпсона integ# = 0 FOR і# = 1 TO ((2 * n#) — 1) integ# = integ# + fncoef#(i#) * fny#(fnxis#(i#)) NEXT integ# = integ# + fny#(a#) + fny#(b#) integ# = integ# * (h# / 6) PRINT «Simpson = «; integ#.

" Тут обчислюється наближене значення «інтеграла за методом трапецій integ# = 0 FOR і# = 1 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# + (fny#(a#) + fny#(b#)) / 2 integ# = integ# * h# PRINT (Trapeze = (; integ#.

" Тут обчислюється наближене значення «інтеграла за методом лівих прямокутників integ# = 0 FOR і# = 0 TO (n# - 1) integ# = integ# + fny#(fnxi#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT «L Rectangle = «; integ#.

" Тут обчислюється наближене значення «інтеграла за методом центральних прямокутників integ# = 0 FOR і# = 0 TO n# integ# = integ# + fny#(fnxic#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT «З Rectangle = «; integ#.

" Тут обчислюється наближене значення «інтеграла за методом правих прямокутників integ# = 0 FOR і# = 1 TO n#.

integ# = integ# + fny#(fnxir#(i#)) NEXT integ# = integ# * h# PRINT «R Rectangle = «; integ#.

Додаток 2.

Далі подані результати роботи програми, котра викладена в додатку 1.

1) [pic]в межах від 0 до [pic] n=1000.

Метод Сімпсона -8.74 227 815 518 1581D-08.

Метод трапецій -8.74 227 058 561 1512D-08.

Метод лівих прямокутників 3.14 150 531 830 6509D-03.

Метод центральних прямокутників -3.1 416 762 876 1223D-03.

Метод правих прямокутників -6.28 326 515 284 0917D-03.

2) [pic]в межах від 0 до [pic] n=1000.

Метод Сімпсона 2.67.

Метод трапецій 1.999 998 355 065 565.

Метод лівих прямокутників 1.999 998 355 202 888.

Метод центральних прямокутників 1.999 995 887 392 223.

Метод правих прямокутників 1.999 990 952 591 778.

3) [pic] в межах від 0 до 1.

| |n=1 |n=10 |n=100 |n=1000 |n=10 000 | |М-д |, 333 333 333|, 333 333 333 333|, 33 333 333 333|, 3 333 333 333|, 3 333 333 333| |Сімпсона |33 |3 |33 | |333 | |М-д |, 5 |, 335 |, 33 335 |, 3 333 334 999|, 3 333 333 349| |трапецій | | | |999 |999 | |М-д лів. |0 |, 285 000 000 000|, 32 835 |, 3 328 334 999|, 3 332 833 349| |прямокутник| |0001 | |999 |999 | |ів | | | | | | |М-д центр. |2,5 |, 44 275 |, 34 342 525 |, 3 343 342 502|, 3 334 333 425| |прямокутник| | | |5 |002 | |ів | | | | | | |М-д правих |2,25 |, 442 500 000 000|, 34 342 499 999|, 33 433 425 |, 3 334 333 424| |прсмокутник| |0001 |99 | |999 | |ів | | | | | |.

4) [pic] в межах від 0 до 1 n=1000.

Метод Сімпсона .7 468 241 385 662 959.

Метод трапецій .7 468 240 772 530 558.

Метод лівих прямокутників .7 471 401 375 268 841.

Метод центральних прямокутників .7 471 916 808 878 213.

Метод правих прямокутників .7 461 916 811 378 212.

5) [pic] в межах від 0 до [pic] n=1000.

Метод Сімпсона .8 323 745 796 964 475.

Метод трапецій .8 323 723 082 182 791.

Метод лівих прямокутників .8 325 874 590 746 988.

Метод центральних прямокутників .8 319 367 429 487 694.

Метод правих прямокутників .8 319 318 081 462 942.

Висновки.

У даній роботі було б розглянуто методи наближених обчислень визначених інтегралів, були виведині формули обчислень, формули додаткових членів. Результати, котрі наведені в додатку 2 наочно показують, що найбільш вигідним є використання формули Сімпсона.

Література.

1. Піскунов М. З. Диференціальний і інтегральне літочислення для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968. 2. Воробйова Р. М., Данилова А. М. Практикум по численным методам.

М.: 1979. 3. Математичний практикум. М.: 1960. ———————————- [1] Ми кажемо наближено, бо й [pic] може змінюватись з зміною [pic]. Це маємо пам (ятати й надалі. [2] Якщо [pic] є багаточлен не вище третього степеня, то, очевидно, що [pic] перетворюється в [pic]. Значить, для такого багаточлена формула (8) буде точною.