Дії над матрицями

Додавання Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру.

Означення: Сумою С = А + В двох матриць, А _m*n = (а_іj) і В _m*n = (в_іj) називається матриця С_m*n = С_(cj) = (а_{іj +} в_іj).

Наприклад:

А = В =.

С = А + В = =.

Віднімання Означення. Різницю С = А — В двох матриць А_m*n = (а_іу) і В _m*n = (в_іу) називається матриця С_m*n = С_іу = а_іу — в_іу

Наприклад, А = В =.

С = А — В = =.

Примітка: Різницю, А — В можна визначити як сума матриці А і матриці В помноженої на (-1) тобто С = А — В = А + (-1) * В Множення а) Добуток матриці А_m*n = (а_іj) на число к (або число к на матриця А_m*n) називається матриця В_m*n = (к*а_іj).

Наприклад:

А =, * к = 2 С = А* к = =.

б) Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць.

Означення, Матриця, А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо кількість стовпців матриці А не відповідає кількості рядків матриці В, то вони не узгоджені.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Означення. Добутком С = А * В матриці.

А _m*n = (а_іj) на матрицю В _m*n = (в_іj) називається така матриця, у якої елемент С_{і j} дорівнює сумі добутків елементів і - го рядка матриці А на відповідні елементи у-го стовпця матриці В:

С_{і j} = а_{і1 *} в_1j + а_{і2 *} в_2j + … + а_іn* в_nj

С = С_m*k = С_іj, де і = 1,2,…, m; j = 1,2,…, к.

Це правило називають правило множення рядка на стовпець.

Наприклад:

А = В = С = А • В = А_2х2 • В_2х3

С = =.

А = В = (12) С = А* В = А_2*1 • В_1*2

С = =.

Слід пам’ятати, що при множенні матриць, А • В не можна міняти місцями множники:

А * В? В * А Обернена матриця Означення. Нехай, А — квадратна матриця. Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується умова, А • А^-1 = А^-1 • А = Е Означення. Квадратна матриця, А називається виродженою, якщо det, А = О, і не виродженою, якщо det, А? О.

Теорема 3 Для існування оберненої матриці А^-1 необхідно і достатньо, щоб матриця, А була не виродженою.

Необхідність. Нехай матриця А^-1 існує, тоді А • А^-1 = Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det, А • det А^-1 = 1, тому det, А? 0.

Достатність Нехай det, А? 0, тоді матриця, А має обернену матрицю А^-1, причому.

А^-1 = (1).

де А_іу — алгебраїчні доповнення елементів а_іу визначника матриці.

А = (2).

Дійсно добутки, А * А^-1 і А^-1 * А вказаних матриць (2) та (1) дорівнюють матриці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи — дорівнюють нулю (за теоремою 2).Отже, А^-1 * А = А * А^-1 = Е Наприклад Знайти матрицю А^-1, обернену до матриці А =.

Знайдемо визначник матриці А.

? = det, А = = 15.

Матриця А^-1 =.

Для цього знайдемо алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці:

А₁₁= (-1)¹⁺¹ = 1; А₁₂ = (-1)¹⁺² = 7; А₁₃ = (-1)¹⁺³ = -3.

А₂₁ = (-1)²⁺¹ = -2; А₂₂ = (-1)²⁺² = 1; А₂₃ = (-1)²⁺³ = 6.

А₃₁ = (-1)³⁺¹ = 4; А₃₂ = (-1)³⁺² = -2; А₃₃ = (-1)³⁺³ = 3.

Складаємо обернену матрицю:

А^-1 = =.

Ранг матриці.

Нехай задано матрицю А_{m* n} = А. Виділимо в матриці А будь — які к рядків і стільки ж стовпців, де (к) — число, не більше чисел (m) i (n), тобто к min (m, n).

Визначник порядку к, складений з елементів, що стоять на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором к — го порядку матриці А.

Означення. Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

З означення випливає, що:

Ранг існує для будь — якої матриці А_{m* n,} причому 0 = r (А) min (m, n);

r (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли, А = 0;

Для квадратної матриці n — го порядку ранг дорівнює (n) тоді і тільки тоді, коли матриця не вироджена.

Ранг матриці можна знайти так:

Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0.

Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r = 1.

Якщо є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінор третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку к дорівнюють нулю, або мінорів порядку к не існує, тоді.

r = к — 1.

Але цей спосіб знаходження рангу матриці не завжди зручний, тому що пов’язаний з обчисленням значного числа визначників. Простіший метод ґрунтується на тому, що ранг матриці не замінюється, якщо над матрицею виконати так звані елементарні перетворення.

переставити місцями два рядки (стовпці);

помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий відмінний від нуля множник;

додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.

Наприклад:

а) Знайти ранг матриці.

А =.

Серед мінорів першого порядку (тобто елементів матриці) є відмінні від нуля, тобто r (А) 1.

Оскільки один з мінорів другого порядку.

= 6? 0.

а всі мінори третього порядку дорівнюють нулю, то r (А) = 2.

Зауваження. Якщо матриця, А квадратна другого порядку.

А =, визначник det A? 0, то обернену до неї матрицю А^-1 можна знайти за формулою:

А^-1 =.

Тобто, треба елементи головної діагоналі матриці А поміняти місцями, а елементи неголовної діагоналі помножити на (-1) і одержану матрицю помножити на .

Наприклад:

Знайти обернену матрицю А^-1 до матриці А =.

det A = = 8.

А^-1 = = =.

Задача Таблицею задані показники взаємних потреб пропозицій між різними галузями промисловості:

• а) Визначити матрицю потреб — пропозицій А;
• б) Припустимо, що через три роки потреби галузей зростуть до 24, 33, 75 показників для галузей 1,2,3, відмінно. Скільки продукції повинна виробити кожна галузь, щоб задовольнити ці потреби?

Розв’язування:

а) Елементи шуканої матриці А дорівнюють відношенню потребі і-тої галузі до загальної кількості пропозицій цієї галузі. Тому для знаходження елементів і того стовпця (і = 1,2,3) матриці А треба поділити потреби і-тої галузі, вказані в таблиці, на загальну кількість пропозицій цієї галузі.

Таким чином, ми одержимо матрицю потреб — пропозицій вигляду.

А = =.

в) Нехай Е — одинична матриця третього порядку. Позначимо.

Д = - матриця — стовпець нових потреб Х — матриця нових пропозицій, що відповідають новим потребам:

В = Е — А = =.

Тоді Х = В^-1 * Д Знайдемо В^-1

? = det В = = 0,336.

Знайдемо алгебраїчні доповнення матриці В:

В₁₁ = 0,63; В₁₂ = 0,33; В₁₃ = 0,36;

В₂₁ = 0,35; В₂₂ = 0,61; В₂₃ = 0,36;

В₃₁ = 0,21; В₃₂ = 0,27; В₃₃ = 0,6.

Отже, обернена матриця буде В^-1 =.

Підставимо значення Д та В^-1 * Д, одержимо Х = =.

Таким чином, першій галузі треба виробити 126,25 одиниць продукції, другій — 143,75; третій — 195 одиниць продукції через три роки.

в) Знайти ранг матриці.

А =.

Виконаємо елементарні перетворення:

Отже, r (А) = 3.