Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих (x, y, C) = 0. Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки: обвідна і сам… Читати ще >

Диференціальні рівняння першого порядку, розвязані відносно похідної (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані відносно похідної.

1. Поняття диференціального рівняння, його порядок.

Означення 2.1. івняння вигляду.

$f (x, y, \frac{dy}{dx}, . . ., \frac{d^{n} y}{{dx}^{n}}) = 0$ (2.1).

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).

Означення 2.2.айбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 2.3.ункція $y (x)$ називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі $(a, b) = I$ і задовільняє диференціальному рівнянню (2.1) $x I$ .

Приклад 2.1.ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y''+3xy'+2y=x2 — диференціальне рівняння другого порядку.

При $n = 1$ диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і позначається.

$F (x, y, y^{'}) = 0$ . (2.2).

Диференціальне рівняння (2.2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді.

$\frac{dy}{dx} = f (x, y)$ . (2.3).

Припускаємо, що $f (x, y)$ однозначна і неперервна в деякій області D змінних x, y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

Якщо в деякій області функція $f (x, y)$ перетворюється в , то розглядають диференціальне рівняння.

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f (x, y)}$ .

Множину таких точок, а також тих, в яких $f (x, y)$ не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах.

$dy - f (x, y) dx = 0,$ (2.4).

або в більш загальному виді.

$M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0$ (2.5).

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі.

$\frac{dx}{X (x, y)} = \frac{dy}{Y (x, y)}$ (2.6).

Функції $M (x, y), N (x, y), X (x, y), Y (x, y)$ будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 2.4.озв'язком диференціального рівняння (2.3) в інтервалі І назвемо функцію $y = (x)$ , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції $f (x, y)$ і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність $x I$ , тобто.

$\frac{d (x)}{dx} f (x, y (x)), x I$ .

Розв’язок $y = (x)$ називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 2.5.удемо говорити, що рівняння.

$(x, y) = 0$ (2.7).

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає $y = y (x)$ , яка є розв’язком диференціального рівняння (2.3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (2.3) виконується.

$_{x}^{'} (x, y) +_{y}^{'} (x, y) \frac{dy}{dx} =_{x}^{'} (x, y) +_{y}^{'} (x, y) f (x, y) 0, x I$ . (2.8).

Означення 2.6удемо говорити, що співвідношення.

$x = (t), y= (t)$ (1.9).

визначають розв’язок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі $(t_{0}, t_{1})$ , якщо.

$\frac{^{'} (t)}{^{'} (t)} f ((t), (t)), t (t_{0} {, t}_{1})$ . (2.10).

2.Задача Коші.

Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий $y = y (x)$ , який проходить через задану точку.

$y (x_{0}) = y_{0}$ (2.11).

Тут $x_{0}$ — початкове значення незалежної змінної, $y_{0}$ — функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (рис. 2.1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку $M (x_{0}, y_{0})$ .

У0.

Рис. 2.1.

Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо $$$ число h>0, що на відрізку $| x - x_{0} | <= h$ визначений розв’язок $y = y (x)$ такий, що $y (x_{0}) = y_{0}$ і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі $| x - x_{0} | <= h$ і не співпадаючого з розв’язком $y = y (x)$ хоча б в одній точці інтервалу $| x - x_{0} | <= h$ , відмінній від точки $x = x_{0}$ .

Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці $(x_{0}, y_{0})$ порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що $x_{0}, y_{0}$ — обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці $(x_{0}, y_{0})$ задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і

у.

знайти розв’язок $x = x (y)$ (рис. 2.2).

М.

Рис. 2.2

Якщо ж в точці М права частина диференціального рівняння (2.3) має невизначеність, наприклад, типу $\frac{0}{0}$ , тоді звичайна постановка задачі Коші не має смислу, так як через точку М не проходить жодна інтегральна крива. В цьому випадку задача Коші ставиться так: знайти розв’язок $y = y (x)$ (або $x = x (y)$ ), який примикає до точки М.

В деяких випадках треба шукати розв’язок $y = y (x)$ , який задовольняє умовам $y -> y_{0} /=$ при $x -> - y ->$ при $x -> x_{0} /=$ і т.д.

Теорема Пікара.ез доведення) рипустимо, що функція $f (x, y)$ в диференціальному рівнянні (2.3) визначена і неперервна в обмеженій області.

$D = {x, y : | x - x_{0} | <= a - | {y-y}_{0} | <= b} (a>0, b>0)$ .

і, отже, вона є обмеженою.

$| f (x, y) | <= M, (x, y) D (M>0) -$ (2.12).

функція $f (x, y)$ має обмежену частинну похідну по у на D.

$| \frac{f (x, y)}{y} | <= K, (x, y) D (K>0)$ . (2.13).

При цих умовах задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний неперервно-диференційовний розв’язок в інтервалі.

$| x - x_{0} | <= h = min {a, \frac{b}{M}} .$ (2.14.

Зауваження 2.1.сформульованій теоремі умову (2.13) можна послабити (замінити) на те, щоб функція $f (x, y)$ по змінній у задовольняла умові Ліпшіца, тобто.

$| f (x, y^{(1)}) - f (x, y^{(2)}) | <= L | y^{(1)} - y^{(2)} | ({x, y}^{(1)}) i ({x, y}^{(2)}) D$ . (2.15).

Тут L>0 — найменша константа яка задовольняє (2.15) і називається константою Ліпшіца .

Теорема Пеано. ро існування розв’язку).кщо функція $f (x, y)$ є неперервною на D, то через кожну точку $(x_{0}, y_{0}) D$ проходить, по крайній мірі, одна інтегральна крива.

Якщо функція диференційовна і задовольняє (2.13), то вона задовольняє умові Ліпшіца, з L=K.

Функція може зодовольняти умові Ліпшіца, але не бути диференційовною і, отже, не буде задовольняти (2.13). Наприклад, $y = | x | (L=1)$ .

3.Поняття загального розв’язку, форми його запису.

На прикладах можна переконатися, що диференціальне рівняння (2.3) має нескінченну множину розв’язків, яка залежить від деякого параметру с.

$y = u (x, c) .$ (2.16).

Це сімейство і називається загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3). При кожному с (2.16) дає інтегральну криву.

Для розв’язування задачі Коші (2.3), (2.11) параметр с можна знайти з рівняння $y_{0} = u (x_{0}, c)$ .

Дамо точне визначення загального розв’язку. Припустимо, що на D виконуються умови теореми Пікара.

Означення 2.8.ункцію.

$y = (x, c),$ (2.17).

визначену в деякій області змінних х і с, і яка має неперервну частинну похідну по х будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо рівняння (2.17) можна розвзати відносно с в області D.

$c = (x, y)$ (2.18).

і функція (2.17) є розв’язком диференціального рівняння (2.3) при всіх значеннях довільної сталої с, які визначаються формулою (2.18) коли $(x, y) D$ .

Суть означення 2.8 в наступному. Припустимо, що задано сімейство кривих F на області D, яке залежить від одного параметра С. Якщо будь-яка крива із F є інтегральною кривою диференціального рівняння (2.3) і всі криві із F в сукупності покривають D, то F є розв’язком диференціального рівняння (2.3) в області D (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для розв’язування задачі Коші константу С можна знайти згідно.

$C_{0} = (x_{0}, y_{0})$ . (2.18).

Інколи в формулі (2.17) роль С грає у0, тоді говорять, що розв’язок представлений у формі Коші.

$y = y (x, x_{0}, y_{0})$ . (2.19).

Приклад 2.2. Знайти розв’язок диференціального рівняння.

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}, y (x_{0}) {=y}_{0}$ .

у формі Коші. Загальний розв’язок $y = Cx, 0<x<, — <y<+ .$ В указаній області виконуються умови теореми Пікара. Звідки.

$C = \frac{y}{x}, C_{0} = \frac{y_{0}}{x_{0}}, y= \frac{y_{0}}{x_{0}} x$ — розв’язок в формі Коші.

В більшості випадків при інтегруванні диференціального рівняння (2.3) ми отримуємо загальний розв’язок в неявній формі.

$(x, y, C) = 0$ (або $(x, y) = C)$ , (2.20).

який називається загальним інтегралом диференціального рівняння (2.3).

Означення 2.9.удемо називати співвідношення (2.20) загальним розв’язком в неявній формі або загальним інтегралом в області D, якщо співвідношенням (2.20) визначається загальний розв’язок (2.17) диференціального рівняння (2.3) в області D.

З означення випливає, що (2.18) — загальний інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D.

Інколи при інтегруванні отримуємо сімейство інтегральних кривих, залежне від С, в параметричній формі.

$\begin{matrix} x = (t, C) \\ y = (t, C) \\ . \\ \begin{matrix} { \end{matrix} \end{matrix}$ (2.21).

Таке сімейство інтегральних кривих будемо називати загальним розв’язком диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі.

Якщо в (2.21) виключити t, то отримаємо загальний розв’язок в неявній або явній формі.

4.Частинні і особливі розв’язки. Знаходження кривих, підозрілих на особливість розв’язку, по диференціальному рівнянню.

Означення 2.10.озв'язок, який складається з точок єдиності розв’язку задачі Коші називається частинним і його можна отримати з загального при фіксованому С.

Розв’язок задачі Коші, який задовольняє теоремі Пікара, є частинний розв’язок.

Означення 2.11.озв'язок, в кожній точці якого порушується єдиність розв’язку задачі Коші, будемо називати особливим.

Геометрично особливому розв’язку відповідають інтегральні криві, які не містяться в загальному розв’язку. Тому особливий розв’язок не може існувати всередині області D існування загального розв’язку. Його не можна отримати з формули загального розв’язку ні при яких числових значеннях С, включаючи $\pm$ . Його можна отримати з загального розв’язку лиш при $C = C (x)$ .

Існують ні частинні ні особливі розв’язки. Їх можна отримати шляхом склеювання кусків частинних і особливих розв’язків.

Рис. 2.4

Приклад 2.3.найти особливий розв’язок диференціального рівняння.

$y^{'} = 2 \sqrt{y}$ ,.

$\frac{dy}{2 \sqrt{y}} = dx, y= (x+C)^{2}, x+C >= 0$ .

Отримали загальний розв’язок в області $- < x <, 0<y<$ , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде $y = 0$ , який ми отримуємо при $C = - x$ . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення $y (0) o 0$ — особливий розв’язок.

Якщо $f (x, y)$ неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок: необмеженість похідної $\frac{f (x, y)}{y}$ . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :

1) она являється інтегральною кривою;
2) еревірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.

В прикладі 2.2.ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >fy=1y при $y 0$ . Поскільки $y = 0$ — розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то $y 0$ — особливий розв’язок.

Приклад 2.4.озглянемо диференціальне рівняння.

$y^{'} = 2 \sqrt{y} + 1, \frac{f}{y} = \frac{1}{\sqrt{y}}$ .

при $y 0$ . Але $y 0$ не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.

Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих $(x, y, C) = 0$ . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки: обвідна і сам розв’язок.

5.Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.

Нехай.

$y = (x, C)$ (2.22).

загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С.

$(x, y) = C$ . (2.23).

Функція $(x, y)$ приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком.

$(x, (x, C)) = C$ . (2.24).

Означення 2.12.ерше означення інтегралу)ункція $f (x, y)$ , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.

Припустимо, що $(x, y)$ — диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку.

$d = \frac{}{x} dx + \frac{}{y} dy = 0$ (2.25).

або.

$d = \frac{}{x} dx + \frac{}{y} f (x, y) dx = 0$ (2.26).

При цьому $\frac{}{y} /= 0$ на D так як в противному $\frac{}{x} = 0$ . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.

Означення 2.13.руге означення інтегралу).ункція $(x, y)$ , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що $\frac{}{y} /= 0$ в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.

З (2.26) випливає, що.

$\frac{d}{dx} = \frac{}{x} + \frac{}{y} f (x, y)$ (2.27).

Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.

Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.

Теорема 2.1.ро загальний вигляд інтегралу)кщо $_{1} (x, y)$ інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція $_{1} (x, y)$ диференційовна в D, а $(z)$ — довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції $_{1} (x, y)$ коли $(x, y) D$ , то.

$(x, y) = (_{1} (x, y))$ (2.28).

є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.

Доведення.

$\frac{}{x} = \frac{d}{d_{1}} \frac{_{1}}{x}, \frac{}{y} = \frac{d}{d_{1}} \frac{_{1}}{y}$ ,.

причому $\frac{}{y} /= 0$ в області D. Маємо.

$d = \frac{}{x} dx + \frac{}{y} dy = \frac{d}{d_{1}} d_{1} 0$ (2.29).

З (2.29) випливає, що $(x, y)$ — інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.

Теорема 2.2.ро залежність двох інтегралів)ехай $_{1} (x, y) i_{2} (x, y)$ два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що.

$_{2} (x, y) = F (_{1} (x, y))$ . (2.30).

Доведення.оскільки $_{1} (x, y) i_{2} (x, y)$ інтеграли, то.

$\begin{matrix} \frac{_{1}}{x} dx + \frac{_{1}}{y} \underset{dy}{\underset{}{f (x, y) dx}} = 0 \\ \frac{_{2}}{x} dx + \frac{_{2}}{y} \underset{dy}{\underset{}{f (x, y) dx}} = 0 \\ \begin{matrix} { \end{matrix} \end{matrix}$ (2.31).

З (2.31) випливає, що.

$| \begin{matrix} \frac{_{1}}{x} & \frac{_{1}}{y} \\ \frac{_{2}}{x} & \frac{_{2}}{y} \end{matrix} | = 0$ . (2.32).

Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою