Основні числові характеристики випадкових процесів (випадкових функцій) (реферат)

РЕФЕРАТ На тему:

Основні числові характеристики випадкових процесів (випадкових функцій).

Математичним сподіванням випадкового процесу $$X\left(t\right)$$.

$$\begin{array}{c}{M}_x\left(t\right)=M\left(X\left(t\right)\right)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}\text{xf}\left(t,x\right)\text{dx}\\ \end{array}$$. (5).

Різницю.

$$X\left(t\right)-M_x\left(t\right)$$ (6).

називають флуктуаційною частиною випадкового процесу $$X\left(t\right)\text{.}$$.

Дисперсією випадкового процесу $$X\left(t\right)$$.

$$\begin{array}{c}D\left(X(t)\right)=\underset{-\mathrm{}}{\overset{\mathrm{}}{}}{\left(x-M_x\left(t\right)\right)}^{2}f\left(t,x\right)\text{dx}\\ \end{array}$$. (7).

Функція $$D_x\left(t\right)$$ характеризує розсіювання реалізацій випадкового процесу $$X\left(t\right)$$.

Тоді середньоквадратичне відхилення випадкового процесу обчислюється за формулою:

$${}_x\left(t\right)=\left(X\left(t\right)\right)=\sqrt{D_x\left(t\right)}$$. (8).

На рис. 9 схематично зображено $$M_x\left(t\right),$$ $$D_x\left(t\right)$$ .

Рис. 9.

Кореляційна функція випадкового процесу. Нормована кореляційна функція.

Функції $$M_x\left(t\right),$$ $$D_x\left(t\right)$$ є важливими числовими характеристиками, але вони не дають повної інформації про поводження випадкового процесу $$X(t)$$

. Зустрічаються випадки, коли два випадкові процеси мають однакові $$M_x(t),$$ $$D_x(t),$$ але за своєю внут­рішньою структурою вони істотно різні.

.

Із теорії ймовірностей відомо, що тісноту лінійної залежності між випадковими величинами X і Y можна визначити кореляційним моментом.

$$K_{\text{xy}}=M\left(x,y\right)-M\left(x\right)M\left(y\right)\text{.}$$.

Аналогічна характеристика використовується й для випадкових процесів:

$$K_x\left(t_1,t_2\right)=M\left(X\left(t_1\right)X\left(t_2\right)\right)-M_x\left(t_1\right)M_x\left(t_2\right)$$. (9).

Функція (9) називається кореляційною. При $$t_1=t_2=t$$ дістаємо.

$$K_x\left(t,t\right)=M{\left(X\left(t\right)\right)}^2-M_x^2\left(t\right)$$. (10).

Кореляційна функція $$K_x\left(t_1,t_2\right)$$ симетрична відносно аргументів $$t_1,t_2$$ :

$$K_x\left(t_1,t_2\right)=K_x\left(t_2,t_1\right)$$. (11).

Нормованою кореляційною функцією $$r_x\left(t_1,t_2\right)$$ випадкового процесу $$X\left(t\right)$$ називають функцію.

$$r_x\left(t_1,t_2\right)=\frac{K_x\left(t_1,t_2\right)}{{}_x\left(t_1\right){}_x\left(t_2\right)}$$. (12).

Властивості $$r_x\left(t_1,t_2\right)\mathrm{:}$$.

1) при $$t_1=t_2=t,$$.

2) $$r_x\left(t_1,t_2\right)=r_x\left(t_2,t_1\right)-$$.

3) $$|r_x\left(t_1,t_2\right)|<=\mathrm{1,}$$ тобто $$-1<=r_x\left(t_1,t_2\right)<=1$$ .

Приклад 3. Елементарна випадкова функція подається у вигляді:

$$Y\left(t\right)={\text{Xe}}^{-3t}$$.

де Х — випадкова величина, яка має нормальний закон розподілу із параметрами $$a=2-$$ $$=4\text{.}$$ Знайти $$M_y\left(t\right),$$ $$D_y\left(t\right),$$ $$K_{\text{xy}}\left(t_1,t_2\right),$$ $$r_{\text{xy}}\left(t_1,t_2\right)\text{.}$$.

Розв’язання. Обчислюємо математичне сподівання розглядуваного процесу:

$$M_y\left(t\right)=M\left({\text{Xe}}^{-3t}\right)=e^{-3t}M\left(X\right)=2e^{-3t}\text{.}$$.

Тепер визначаємо дисперсію цього процесу:

$$D_y\left(t\right)=D\left({\text{Xe}}^{-3t}\right)=e^{-6t}D\left(X\right)=\text{16}{e}^{-6t},$$.

а далі - відповідні середньоквадратичні відхилення:

$${}_y\left(t_1\right)=\sqrt{D_y\left(t_1\right)}=\sqrt{\text{16}{e}^{-6t}}=4e^{-3t_1},$$.

$${}_y\left(t_2\right)=\sqrt{D_y\left(t_2\right)}=\sqrt{\text{16}{e}^{-6t}}=4e^{-3t_2}\text{.}$$.

Шукана кореляційна функція подається так:

$$K_x\left(t_1,t_2\right)=M\left(X\left(t\right)X\left(t_2\right)\right)-M\left(X\left(t_1\right)\right)M\left(X\left(t_2\right)\right)=$$.

$$=M\left({\text{Xe}}^{-3t_1}{\text{Xe}}^{-3t_2}\right)-M\left({\text{Xe}}^{-3t_1}\right)M\left({\text{Xe}}^{-3t_2}\right)=$$.

$$=e^{-3\left(t_1+t_2\right)}M\left(X^2\right)-e^{-3\left(t_1+t_2\right)}{M}^2\left(X\right)=$$.

$$=e^{-3\left(t_1+t_2\right)}\left(M\left(X^2\right)-M^2\left(X\right)\right)=e^{-3\left(t_1+t_2\right)}D\left(X\right)=\text{16}{e}^{-3\left(t_1+t_2\right)}\text{.}$$.

Звідси знаходимо нормовану кореляційну функцію:

$$r_x\left(t_1,t_2\right)=\frac{K_x\left(t_1,t_2\right)}{{}_y\left(t_1\right){}_y\left(t_2\right)}=\frac{\text{16}{e}^{-3\left(t_1+t_2\right)}}{\text{16}{e}^{-3\left(t_1+t_2\right)}}=1\text{.}$$.