Теорія ймовірності

Математический апарат сучасної економіки часто використовується з урахуванням традиційної теорії ймовірності, проте саму теорію ймовірності полягає в системі аксіом. З цією теорії характерна частотна інтерпретація ймовірності події: ми знаємо, яким буде результат даного конкретного експерименту, але знаємо, яка частка тієї чи іншої результату в багатьох всіх можливих фіналів експерименту, багаторазово поставленого при незмінних початкових умовах. Теоретично ймовірності передбачається, що випадкові величини розподілені по деякому розподілу. І тут розрахунки істотно спрощуються. Таке припущення небезпідставне, скажімо, у разі планування інвестицій, під час моделювання фізичних процесів (існує теорема у тому, що середнє від незалежних випадкових величин, розподілених по довільним законам, розподілено по Гауссу). Отже, в своєму класичному есе я розгляну випадкові розміру й функції распределения.

Випадкові величини Визначення. Нехай [pic]— довільне ймовірнісна простір. Випадкової величиною [pic]называется измеримая функція [pic], яка відображає [pic]в безліч дійсних чисел [pic], тобто. функція, на яку прообраз [pic]любого борелевского безлічі [pic]есть безліч з [pic]- алгебри [pic]. Приклади випадкових величин. 1) Кількість выпавшее за межею гральною кістки. 2) Розмір випущеної деталі. 3) Відстань з початку координат до випадково кинутою в квадрат точки [pic]. Безліч значень випадкової величини [pic]будем позначати [pic], а образ елементарного події [pic]— [pic]. Безліч значень [pic]может бути кінцевим, рахунковим чи незліченним. Визначимо [pic]-алгебру на безлічі [pic]. У випадку [pic]-алгебра числового безлічі [pic]может з’явитися застосуванням кінцевого числа операцій об'єднання та пересічення інтервалів [pic]или полуинтервалов виду [pic]([pic]), у яких одна з чисел [pic]или [pic]может бути одно [pic]или [pic]. У приватному разі, коли [pic]— дискретне (лише рахункове) безліч, [pic]-алгебру утворюють будь-які підмножини безлічі [pic], зокрема і одноточечные. Отже [pic]-алгебру безлічі [pic]можно побудувати з множин [pic]или [pic], чи [pic]. Будемо називати подією [pic]любое підмножина значень [pic]случайной величини [pic]: [pic]. Праобраз цієї події позначимо [pic]. Зрозуміло, що [pic]; [pic]; [pic]. Усі безлічі [pic], які можна отримані як підмножини [pic]из безлічі [pic], [pic], застосуванням кінцевого числа операцій об'єднання та пересічення, утворюють систему подій. Визначивши безліч можливих значень випадкової величини [pic]— [pic]и виділивши систему подій [pic], побудуємо вимірне простір [pic]. Визначимо ймовірність на подмножествах (подіях) [pic]из [pic]таким чином, щоб вона дорівнювала ймовірності наступу події, що його прообразом: [pic]. Тоді трійка [pic]назовем вірогіднісним простором випадкової величини [pic], де [pic] — безліч значень випадкової величини [pic]; [pic]— [pic]-алгебра числового безлічі [pic]; [pic]— функція ймовірності випадкової величини [pic]. Якщо кожному події [pic]поставлено у відповідність [pic], то кажуть, що поставлено розподіл випадкової величини [pic]. Функція [pic]задается на таких подіях (базових), знаючи ймовірності яких можна визначити ймовірність довільного події [pic]. Тоді подіями може бути події [pic]. Функція і розподілу і її властивості Розглянемо ймовірнісна простір [pic], освічене випадкової величиною [pic]. Визначення. Функцією розподілу випадкової величини [pic]называется функція [pic]действительного змінного [pic], визначальна ймовірність те, що випадкова величина [pic]примет у результаті експерименту значення, менше деякого фіксованого числа [pic]: [pic](1) Там де зрозуміло, про яку випадкової величині [pic], [pic]или [pic]идет мова, замість [pic]будем писати [pic]. Коли дивитися на випадкову величину [pic]как випадкову точку на осі [pic], то функція розподілу [pic]с геометричній погляду це можливість, що випадкова точка [pic]в результаті реалізації експерименту потрапить лівіше точки [pic]. Вочевидь що функція [pic]при будь-якому [pic]удовлетворяет нерівності [pic]. Функція розподілу випадкової величини [pic]имеет такі властивості: 2) Функція розподілу — неубывающая функція [pic], тобто. для будь-яких [pic]и [pic], таких що [pic], має місце нерівність [pic]. Доказ. Нехай [pic]и [pic]и [pic]. Подія, яке у тому, що [pic]примет значення, менше, ніж [pic], [pic]представим як об'єднання двох неспільних подій [pic]и [pic]: [pic]. Тоді за аксіомою 3 Колмогорова, [pic]или за такою формулою (1) [pic], (2) звідки [pic], оскільки [pic]. Властивість доведено. Теорему. Для будь-яких [pic]и [pic]вероятность нерівності [pic]вычисляется по формулі [pic](3) Доказ. Справедливість формули (3) випливає з співвідношення (2). Отже, ймовірність влучення випадкової величини [pic]в полуинтервал [pic]равна різниці значень функції розподілу вирахуваних на кінцях полуинтервала [pic]и [pic]. 2) [pic]; [pic]. Доказ. Нехай [pic]и [pic]— дві монотонні числові послідовності, причому [pic], [pic]при [pic]. Подія [pic]состоит в тому, що [pic]. Достовірне подія [pic]эквивалентно об'єднанню подій [pic]: [pic]; [pic]. Оскільки [pic], то властивості ймовірностей [pic], тобто. [pic]. Беручи до уваги визначення краю, отримуємо [pic]; [pic] 3) Функція [pic]непрерывна зліва у будь-якій точці [pic], [pic] Доказ. Нехай [pic]— будь-яка зростаюча послідовність чисел, сходящаяся до [pic]. Тоді можна записати: [pic] З аксіоми 3 [pic] Оскільки ряд справа складається з позитивних чисел і сходиться до [pic], то залишок низки, починаючи з деякого номери [pic], буде набагато меншою [pic], [pic](теорема про залишку низки) [pic]. Використовуючи формулу (3), висловимо ймовірності подій через функцію розподілу. Одержимо [pic], звідки [pic]или [pic], що СРСР розвалився, що [pic]. З розглянутих властивостей слід, кожна функція розподілу [pic]является 1) неубывающей, 2) безупинної зліва і трьох) задовольняє умові [pic]и [pic]. І, назад, кожна функція, що має властивостями 1), 2), 3), може розглядатися як функція розподілу деякою випадкової величини. Теорему. Можливість те, що значення випадкової величини більше дійсного числа [pic], обчислюється за такою формулою [pic]. Доказ. Достовірне подія [pic]представим як об'єднання двох неспільних подій [pic]и [pic]. Тоді 3−1 аксіомі Колмогорова [pic]или [pic], звідки слід бажана формула. Визначення. Говоритимемо, що функція розподілу [pic]имеет при [pic]скачок [pic], якщо [pic], де [pic]и [pic]пределы зліва і правих функції розподілу [pic]в точці [pic]. Теорему. До кожного [pic]из простору [pic]случайной величини [pic]имеет місце формула [pic] Доказ. Прийнявши формулі (3) [pic], [pic]и перейшовши до межі при [pic], [pic], відповідно до властивості 3), одержимо шуканий результат. Можна показати, що функція [pic]может мати лише рахункове число стрибків. Справді функція розподілу може мати трохи більше одного стрибка [pic], стрибків [pic]— трохи більше 3-х, стрибків [pic]не більш як [pic]. Іноді поведінка випадкової величини [pic]характеризуется не завданням її функції розподілу, а якимось іншим законом розподілу, але так, щоб було отримати гроші з цього закону розподілу функцію розподілу [pic].