Теорія ймовірностей

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з теорії ймовірностей

Завдання 1. Кинуто дві гральні кістки. Чому дорівнює ймовірність того, що хоча б на одній з них випаде 5?

Розв’язання.

Розглянемо подію А: на першій кістці випаде 5. Ймовірність такої події. Тоді .

Розглянемо подію В: на другій кістці випаде 5. Ймовірність такої події. Тоді .

Розглянемо подію С: хоча б на одній кістці випаде 5:

Відповідь: .

Завдання 2. Прилад може працювати в двох режимах: в нормальному і ненормальному. Нормальний спостерігається в 80% всіх випадків роботи приладу, ненормальний — в 20%. Ймовірність виходу приладу з ладу за час t в нормальному режимі рівне 0,1, в ненормальному — 0,7. Знайти повну ймовірність p виходу приладу з ладу за час t.

Розв’язання Сформулюємо систему гіпотез:

H1={прилад працює в нормальному }, тоді ;

H2={прилад працює в ненормальному }, тоді .

Позначимо через, А подію, яка полягає в тому, що прилад вийшов з ладу за час t.

Тоді; .

За формулою повної ймовірності маємо:

.

Відповідь: .

Завдання 3. Знайти ймовірність того, що з 8 незалежних випробувань подія, А відбудеться не менше, чим 2 рази, якщо ймовірність появи події А при кожному випробуванні дорівнює 0,6

Розв’язання За інтегральною формулою Бернуллі

1.

Відповідь: .

Завдання 4. Скільки необхідно взяти деталей, щоб наімовірнішим числом стандартних деталей було число 50, якщо ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною, дорівнює 0,81?

Розв’язання Нехай необхідне число стандартних деталей рівне m=50. Тоді

.

Відповідь: .

Завдання 5. Верстат-автомат виготовляє деталі. Ймовірність того, що деталь, яку виготовляють виявиться пошкодженою, дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що серед 100 деталей 4 виявиться пошкодженими Розв’язання А={4 деталі пошкоджені}.

Тоді, використовуючи формулу Пуассона, маємо:

Відповідь: .

Завдання 6. Неперервна випадкова величина Х задана своєю щільністю розподілу ймовірностей. Знайти коефіцієнт а, функцію розподілу, побудувати графіки, Знайти математичне сподівання, дисперсію, функцію розподілу випадкової величини, імовірність виконання нерівності .

.

Розв’язання.

1) Знайдемо значення параметра :

.

2) Знайдемо математичне сподівання :

.

3) Знайдемо дисперсію :

.

4) Знайдемо функцію розподілу випадкової величини :

5) Знайдемо ймовірність виконання нерівності :

.

Завдання 7. Знайти математичне очікування, дисперсію та середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини, що задана законом розподілу:

ймовірність дисперсія середньоквадратичний Розв’язання.

;

;

.

Завдання 8. Відомі математичні очікування та середньоквадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х. Знайти ймовірність попадання заданої величини в даний інтервал.

Розв’язання

.

.

Відповідь: .