Место аналогій у навчанні математиці в школе

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Место аналогій у навчанні математиці в школе (реферат, курсова, диплом, контрольна)

1. Запровадження …2.

2. Сутність аналогії і його види… …5.

3. Аналогія у процесі навчання математике…7.

4. Позитивна роль аналогій у планіметрії і стереометрии…12.

5. Аналогія в теоремах про прямий Эйлера, окружності і сфере…18.

6. Застосування аналогії під час вирішення задач…22.

7. Помилки, пов’язані із застосуванням аналогии…23.

Заключение

…25.

9. Список використаної литературы…27.

Широке застосування аналогій у процесі навчання математиці є однією з ефективних прийомів, здатних спонукати у учнів жвавий інтерес до предмета, прилучити їх до того що виду діяльності, яку називають дослідницьким. З іншого боку, широке застосування аналогії дає можливість легшого і міцного засвоєння учнями навчального матеріалу, оскільки часто забезпечує уявний перенесення певної системи знань і умінь від відомого об'єкта до невідомому (що, до речі, сприяє також актуалізації знаний).

Про роль аналогій як у Науковому пізнанні, і у процесі навчання казав багато хто провідні вчені. Так, Кеплер висловив таке судження: «Я найбільше дорожу Аналогіями, моїми найвірнішими вчителями. Вони знають про всі таємниці Природи, і найменше слід пренебрегать».

Встановлення аналогій може бути успішніше, якщо в учнів буде сформована вміння проводити порівняння. Завдяки порівнянню об'єктів, явищ, процесів людина має можливість мислити глибше, та її знання стають більш вже непохитними й осмисленими. Порівняння дозволяє сформувати школярі вміння знаходити подібності та відмінності понять, процесів, явищ, що активізує мислительну деятельногсть і прискорює процес розумового развития.

Порівняння ввозяться двох основних формах: зіставлення і протиставлення. Протиставлення спрямоване на з’ясування отличительного в предметах і явищах при виділенні істотних ознак і властивостей. Зіставлення спрямоване виділення істотних властивостей, загальних для низки об'єктів. Як свідчать дослідження психологів, учень усвідомлює відмінність раніше, ніж сходство.

За рівнем повноти розрізняють часткові й огрядні порівняння. Повне порівняння встановлює і подібність, і відмінність. Часткове порівняння дозволяє глибше усвідомити відмітне в досліджуваному навчальному материале.

Застосування аналогії дуже корисно у процесі вивчення математики, як і на будь-якій науці вообще.

Предмети і явища дейтвительности, — вказував ще Сєченов, — вкарбовуються і відтворюються не ізольовано одна від друга, а тісній зв’язку друг з одним, групами чи рядами.

Аналогія ж допомагає зіставляти і протиставляти поняття математики, а нові відомості, поняття краще засвоюються тоді, що вони вводяться ні в будь-якого зв’язку з попередніми, а порівнянні із нею, в встановленні подібних і відмітних признаков.

Підіб'ємо деякі підсумки. Найперше зауважимо, що індукція, дедукція і аналогія, бувши основні види умовиводів, є передусім методами наукового дослідження, і навіть дуже ефективними методами навчання математикие.

У процесі мислення (і під час навчання) індукція, дедукція і аналогія взаємодіють настільки, що казати про них роздільно має сенс тільки із міркувань їх детального изучения.

Єдність індуктивних і дедуктивних умовиводів за аналогією відбито та у багатьох працях з логіці, що з проблемою класифікації умовиводів. З цього погляду є досить цікава робота А. І. Уемова, цитатою з якої підведено остаточний итог:

«Незалежно від підстав, виправдувальних перехід від посилок до висновку, все висновки можна підрозділити на дві группы.

У одній їх класи предметів, до яких належать посилки і укладання, сумісні. Понад те, із цих класів є подклассом іншого. До цього типу висновків ставляться індукція і дедукція, які можна визначити так: а) дедукція — умовивід, висновок якого належить до предметів, не які виходять далеко за межі того класу речей, про яку йшлося у посилках; б) індукція — умовивід, висновок якого належить більшого колу предметів, чому він, про який ідеться в посылках.

У другому типі висновків предмети, до яких належать посилки і висновок, різні. Саме такий характер висновків за аналогією. Таким чином, можна надати таке визначення: в) аналогія — умовивід, у якому висновок належить до іншого предмета, чому він, про який ідеться в посылке".

Висновки в умовиводах за аналогією всегдабывают лише імовірні, але це ймовірне знання, припущення містить у собі щось нове. Сама собою аналогія це не дає відповіді питання правильності предноложения, Эта правильність повинна перевірятися іншими засобами. Аналогія важлива тому, що вона наводить нас стало на здогади, подає думка чи іншому предположении.

Усе це дуже важливо, як у розвитку науки, і у навчанні математиці. Аналогія допомагає учням знаходити можливе рішення нових питань, навчальних труднощів і цим спосодствует активізації пізнавального процесу, вчення школярів, ефективному розвитку їх самостійного продуктивного мислення, математичної інтуїції. Аналогії, ще, є найважливішому джерелом асоціацій, які забезпечують глибоке і міцне засвоєння предмета учащимися.

СУТНІСТЬ АНАЛОГІЇ І ЇЇ ВИДЫ.

Однією з дуже важливих типів умовиводів є так зване традуктивное умовивід (латів. traductio — переміщення), у якому від двох або кількох суджень певної міри спільності переходять до нового судженню тієї мірі общности.

Наприклад, нехай a, b і з — деякі справжні числа, a>b (первое судження), b>c (второе судження). a>c (новое суждение).

Як метод дослідження традукция у тому, що, встановивши подібність двох об'єктів у певному відношенні, роблять висновок подібність тих ж об'єктів в іншому отношении.

Найважливішим виглядом традуктивного умовиводи є аналогія (грецьк. analogia — відповідність, подібність). Аналогія — дуже ефективний евристичний інструмент познания.

Умовивід за аналогією можна сформулювати наступній схемой:

Об'єкти Властивості объектов.

A a b з d…

B a b з x…

Висновок: x=d.

При умовиводі за аналогією знання, отримане з розгляду якого -або об'єкта («моделі»), переноситься в інший, менш вивчений (менш доступним дослідження, менш наочний тощо. п.) що неабо сенсі об'єкт. Стосовно конкретних об'єктів укладання, одержувані по аналогії, носять, власне кажучи, лише ймовірний характер; є одним із джерел наукових гіпотез, індуктивних розмірковувань та відіграють істотне значення у наукових открытиях.

Зрозуміло, що ні схожість є аналогія. Порівнюючи дівчину з квіткою, поет має через певне подібність образів красивою дівчини та квітки; він далекий до проведення аналогії між ними.

Найбільш глибоким виглядом аналогії, що призводить до цілком достовірним висновків, є ізоморфізм. Установивши изоморфность двох або кількох систем об'єктів, ми можемо перенести на будь-яку пропозицію, справедливе для однієї з цих систем, в іншу систему об'єктів, ізоморфних вивченій. Яскравим прикладом служить аналітична геометрія, у якій вивченню геометричних лідерів та їх властивостей зводиться до вивчення певних аналітичних співвідношень над числовими объектами.

Аналогія різниться на: 1. Просту аналогію, коли він за подібністю об'єктів у деяких ознаках укладають їх подібність за іншими ознаках; 2. Поширену аналогію, коли він з подібності явищ роблять висновок подібність причин.

Натомість, проста і поширена аналогія то, можливо: а) суворої аналогією, коли він ознаки порівнюваних об'єктів перебувають у взаємній залежності; б) нестрогой аналогією, коли він ознаки порівнюваних об'єктів не в явною взаємної зависимости.

Аналогія є, мабуть однією з поширених методів наукового дослідження. Широке застосування аналогій часто наводить дослідника до більш-менш правдоподібним припущенням про властивості досліджуваного об'єкта, які можна потім підтверджені чи спростовані досвідом чи більше суворими рассуждениями.

Отже, можна буде казати про «корисною» і «шкідливою» аналогії. Прикладом «корисною аналогії» є, зокрема, уявний перенесення багатьох понять і суджень, які стосуються планіметрії, в геометрію тривимірного простору. Наприклад: «Прямокутник аналогічний прямокутному параллелепипеду. У насправді, відносини між сторонами прямокутника подібні із гармонійними стосунками між гранями параллелепипеда:

Кожна сторона прямокутника паралельна і дорівнює жодній іншій стороні й перпендикулярна остальным.

Кожна грань прямокутного паралелепіпеда паралельна і дорівнює однієї інший межі і перпендикулярна остальным".

Зауважимо, що ні менш явна аналогія є і між площею прямокутника і обсягом прямокутного паралелепіпеда. І ця аналогія проявляється дуже широко, починаючи з подібності формул P. S = a * b і V = a * b * з і закінчуючи подібністю у структурі виведення цих формул (распадающегося на випадки, коли виміру названих постатей виражаються натуральними, позитивними раціональні дійсними числами).

Як приклад «шкідливою аналогії» можна навести перенесення відомих законів складання кінцевих сум на бесконечные.

Ось до яких результатів можна прийти, якщо, зокрема, застосувати цю аналогію під час перебування суми ряда.

P.S = 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + …: a) використовуючи властивість додатку різниці, одержимо: P. S = (1 -1) + (1 — 1)+(1 — 1)+ … = 0 + 0 + 0 … = 0 б) використовуючи властивість вирахування різниці, одержимо: P. S = 1 — (1 — 1) — (1 — 1) — (1 — 1) = 1 — 0 — 0 — 0 — … = 1 в) використовуючи сочетательное властивість для алгебраїчній суми, маємо: P. S = 1 — (1 — 1 + 1 — …), чи P. S = 1 — P. S, звідки 2S = 1 і P. S = Ѕ.

Зрозуміло, що застосована тут аналогія незаконний; занадто глибока якісна різницю між кінцевим й нескінченним у математиці зменшує число аналогічних властивостей, властивих цього безліч і другому.

По способам здійснення розрізняють порівняння паралельні, послідовні відстрочені. Паралельні порівняння використовуються при викладі матеріалу укрупленными блоками, коли одночасно вивчаються взаємопов'язані поняття, теореми, завдання. При послідовному порівнянні новий об'єкт порівнюється зі раніше вивченими. При отсроченном порівнянні порівнянні об'єкти значно значно віддалені друг від друга у часу. У встановленні аналогій пласких і просторових фактів мають місце все три типу сравнений.

Зазначимо схему, через яку слід проводити порівняння понятий.

1. Виділення ознак понятий.

2. Встановлення спільних цінностей і істотних признаков.

3. Вибір однієї з істотних признаков.

4. Зіставлення понять по обраному основанию.

АНАЛОГІЯ У ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКЕ.

У процесі навчання математиці вчителю землю треба лише самому користуватися корисними аналогіями, а й прилучати учнів до самостійного проведенню умовиводів за аналогією. У цьому учні повинні розуміти, що їхні висновки, отримані з аналогії, вимагають обов’язкового обгрунтування, бо виключено те, що може стати помилковими. Наприклад, за аналогією з такими відомими ознаками подільності на 3 і 9 можна сформулювати ймовірний ознака подільності на 27: «Якщо сума цифр числа ділиться на 27, те й саме число ділиться на 27». Проте це твердження не так й переконатися у цьому можна на каком-нибудь конкретному прикладі (272 745).

Наведемо іще одна пример.

Учитель запитує школьника:

— Як зміниться площа прямокутника, якщо основу збільшити 2 разу, а бічну бік зменшити й у 2 раза?

— Площа не изменится.

— Правильно. Якщо ж підставу прямокутника збільшити на 20%, а бічну бік зменшити на 20%, чи його площадь?

— Ні, не изменится.

Останній відповідь школяра не вірний. У насправді, позначивши підставу прямокутника через а, а бічну бік через b, маємо: P. S = a * b .

Відповідно до умовою підставу зміненого прямокутника а1 = а + 0.2а і бічна сторона b1 = b — 0.2b. Тоді S1 = a1 * b1 = a (1 + 0.2) * b (1 — 0.2) = ab — 0.04ab.

Отже, площа прямокутника зменшиться у разі на 4%.

Проте слід, що широке застосування аналогій у процесі навчання математиці одна із ефективних прийомів, здатних пробудити у учнів жвавий інтерес до предмета, прилучити їх до того що виду діяльності, яку називають дослідницьким. З іншого боку, широке застосування аналогії дає можливість легені й міцного засвоєння школярами навчального матеріалу, оскільки часто забезпечує уявний перенесення певної системи знань і умінь від відомого об'єкта до невідомому (що, до речі, сприяє також актуалізації знаний).

Тому корисні, і спеціально підібрані вправи при застосуванні методу аналогії, такі, наприклад, як: 1) чи правильно твердження: «Якщо трикутнику всі кутки конгруэнтны, те й боку конгруэнтны»? (сформулюйте аналогічне припущення для шестикутника. Чи правда воно?) чи 2) чи справедливо твердження: «Сума відстаней від будь-якої точки, лежачої всередині (чи боці) правильного трикутника до його сторін, є незмінною «? Сформулюйте аналогічне пропозицію для якого або багатокутника. Перевірте, він истинным.

Застосування аналогії розпадається ми такі дії: побудова аналогів різних заданих об'єктів і стосунків; перебування відповідних елементів в аналогічних пропозиціях; складання пропозицій чи завдань, аналогічним даним; проведення міркувань по аналогии.

Вже молодших класах другого ступеня доцільно підкреслювати аналогію між деякими пласкими і просторовими постатями. Наприклад, між прямокутником і прямокутним параллелепипедом, між квадратом і кубом. Аналогія між квадратом і кубом у тому, що з квадрата його виміру рівні й у куба вимірювання рівні. Учні можуть бути самі здогадатися, що межі куба — рівні квадрати, усі сторони квадрата — рівні отрезки.

При знайомство з поняттями площу і кількість обсяг можна встановити аналогію між одиницями довжини і одиницями площі, між одиницями обсягу й одиницями площі. Одночасно слід звернути увагу до подібність в формулюваннях визначень понять. Наприклад, повторивши з учнями поняття квадратний сантиметр (квадратний сантиметр — це площа квадрата зі стороною 1 див), можна попросити самостійно дати визначення поняття кубічний сантиметр.

Учні іноді не можуть швидко і запитання типу: «Скільки квадратних сантиметрів один дм2? Скільки кубічних сантиметрів один дм3?» Усунення таких труднощів сприяє ілюстрація подібності між операціями переходу від лінійної одиниця виміру до квадратної чи кубічної. У обох випадках обчислюється твір однакових множників, причому число множників у творі одно показнику при одиниці виміру: 1 дм² = 10 * 10 см², 1 дм³ = 10 * 10 * 10 см³.

Формувати вміння складати пропозицію, аналогічне даному, можна за вивченні ознак подільності. Розглянувши з учнями ознака подільності, наприклад, на 3, слід запропонувати нею самою сформулювати ознака подільності на 9. Нижче наведені пропозиціям, які вчитель ((1) — (4)), й ті, що формулювали учні за аналогією ((1*) — (4*)). 1) На 3 діляться ті й ті числа, які мають сума цифр ділиться на 3. 2) На 5 діляться ті й ті числа, у запису яких остання цифра 0 чи 5. 3) Кількість ділиться на 6, коли вона ділиться на 2 і 3. 4) На 4 діляться ті числа, які мають два останніх цифри нулі чи утворюють число, делящееся на виборах 4. (1*) На 9 діляться ті й ті числа, які мають сума цифр ділиться на 9. (2*) На 25 діляться ті й ті числа, у запису яких два останніх цифри нулі чи утворюють число, делящееся на 25. (3*) Кількість ділиться на 8, коли вона ділиться на 2 і 4. (4*) На 8 діляться ті числа, які мають два останніх цифри нулі чи утворюють число, делящееся на 8.

Слід провести порівняння пропозицій. Одночасно необхідно підкреслити, що й дані висловлювання (1) — (4) істинними, то необов’язково виявляться істинними висловлювання, отримані з наведених даних по аналогії. Учні ж повинні знати, що з встановлення помилковості якого — або затвердження досить навести хоча б один приклад, опровергающий його. Так, висловлювання (3*) і (4*) є хибними: 12 ділиться на 2 і 4, але з ділиться на 8; 100 і 164 не діляться на 8. Тепер важливо показати, що 4 можна як твори двох однакових множників (4 = 2 (2), а 8 — як твори трьох однакових множників (8 = 2 (2 (2). Установивши таке відмінність, учні можуть помітити, що у твердженні (4) розглядаються такі числа, які мають кількість останніх цифр — нулів одно числу простих множників в розкладанні числа 4. Це спостереження допоможе сформулювати справжнє твердження замість (4*): на 8 діляться ті числа, які мають три останні цифри нулі чи утворюють число, делящееся на 8.

Під час вивчення теми «Складання десяткових дробів» метод аналогії можна використовуватиме здобуття права підвести учнів до формулюванні правила складання десяткових дробів. Треба лише паралельно розглянути складання натуральних чисел додавання десяткових дробів (оскільки це показано в табл. 1).

Таблиця 1 |Натуральні числа |Десяткові дробу | |949 + 835 |95.37 + 101.4 | |Підписуємо складові одне під |іншим те щоб однакові | |доданків перебували друг під |розряди | |іншому. | | |949 |95.35 | |+ |+ | |835 |101.40 | |1784 |196.75 | | |Оскільки число 101.4 немає сотих| | |часткою, то замість сотих ставимо 0. | |Виконуємо складання поразрядно, |починаючи з одиниць нижчого розряду. |.

Ми говорили про тому, що умовиводи за аналогією можуть приводити як до вірним висновкам, і до помилковим; часто є джерелом невірні дії учнів. Зміцнення їх сприяє зазвичай та формальну засвоєння матеріалу. Як багато таких помилок учні допускають знає алгебри. Тому корисно порівнювати вірні співвідношення з невірними, наприклад: 5 (3 = 3 (5, але 53? 35; ?5а2 = ?5 (?А2, але ?5 + А2? ?5 + ?А2; а (з ./ в (з = а / в, але, а + з / в + з? а / в (з? 0). Доказ те, що рівність порушується, найпростіше провести, підставивши замість літер числа і провівши потрібні вычисления.

Багатим матеріалом на навчання прийому аналогії має геометрія. На початку вивчення курсу геометрії основну увагу слід приділити виділенню відповідних елементів з аналогічних завдань і теорем. Наприклад, розглянемо пари завдань з навчального посібника А. У. Погорєлова «Геометрія 6 -10» (М., 1985).

Для биссектрисы в завданню № 20(1) відповідним елементам в завданню № 20(2) є медіана. У завданнях другий пари відповідними елементами виявилися: Два аспекти, що йдуть від однієї вершини (№ 38), — два кута, куди медіана розбиває кут трикутника (№ 40). Зазначені завдання корисно вирішити безпосередньо друг за іншому, оформлюючи рішення «паралельно», т. е. з лівого боку одне правильне рішення, з боку — інше. Розібравши рішення, слід підкреслити, кожен крок однієї з на них можна перенести до іншого, застосувавши його до відповідним элементам.

Уміння застосовувати аналогію потрібно підтримувати від класу до класу, користуючись будь-якими можливостями. Так, під час вирішення завдання про кутках при підставі рівнобедреної трапеції слід розкрити її властивість з теоремою про кутках при підставі рівнобедреного трикутника. Корисно записати «паралельно» обидва докази оскільки показано в табл. 2.

Завдання, аналогічні даним, учні можуть становити самостійно й більше вирішувати их.

Наведемо короткий список аналогічних завдань на побудова з навчального посібники А. У. Погорєлова «Геометрія 6 — 10» (1985).

У табл. 3 дано рішення двох завдань на побудова, у яких зручно демонструвати аналогию.

Таблиця 3.

Побудуйте трапецію по диагонаПобудуйте паралелограм по диалям, розі з-поміж них і одного з гоналям і розі з-поміж них (§ 6, № 20(2)). оснований.

А зв, а л і з.

Припустимо, що трапеція АВСД Припустимо, що паралелограм побудована (див. малюнок). АВСД побудований (див. рисунок).

Р Д З Д.

С.

А У В1.

Спробуємо побудувати спочатку трикутник, використовуючи дані нашої задачи.

Через жодну з вершин ©.

Трапеції Параллелограмма проведем пряму, паралельну діагоналі ВД, до перетину з продовженням підстави АВ. Одержимо трикутник АВ1С, що можна побудувати з двох сторонам і розі з-поміж них (АС — дано, З В1 = ВД, оскільки У В1СД паралелограм, (АСВ1 = (АОВ як відповідні кути при паралельних прямих ВД і СВ1).

П про з т р про е зв і е.

Будуємо трикутник АС В1 з двох сторонам і розі між ними.

Від точки На боці А В1 отлоЗ вершини З проведемо медіану СВ. жим відрізок, рівний АВ. Через точчерез точки У і З проведемо прямі, ку З проведемо пряму СВ, паралпаралельні відповідно В1С і лельную підставі АВ; потім через АВ. Крапка Д перетину цих прямих точку У проведемо пряму, паралельбуде четвертої вершиною шуканого ную В1С, до перетину з прямою СВ. паралелограма АВСД. Крапка Д перетину цих прямих буде четвертої вершиною шуканої трапеції АВСД.

Ми описали різні підходи до навчання методу аналогії школярів 11- 13 років. Принаймні дорослішання учнів їм усе частіше зустрічатимуться змогу застосування аналогії. Вона можна використовувати при формуванні багатьох понять стереометрії, при доказі теорем і рішенні завдань. Проте учні реалізують ці можливості так лише після спеціального обучения.

ПОЗИТИВНА РОЛЬ АНАЛОГІЇ У ПЛАНІМЕТРІЇ І СТЕРЕОМЕТРИИ.

У чинному шкільному курсі геометрії абсолютна більшість стереометричні фактів викладається без встановлення внутрипредметных зв’язку з аналогічними планиметрическими фактами. Приклад цього може служити ізольоване виклад як-от «Трикутник та її властивості» і «Тетраэдр та її властивості»; «Окружність, коло та її властивості» і «Сфера, кулю та їх властивості» тощо. буд. Усе є слідство лінійного побудови курсу геометрії. Доцільно ж основі лінійно — концентрической організації курсу ув’язати ці площинні і просторові теми. Розгорнемо відзначене становище дещо ширше спочатку у теоретичному, а її у практичному аспекте.

Різні форми уровневой й про-фільної диференціації може бути реалізовані практично повною мірою лише тому випадку, якщо буде підготовлені відповідні підручники, зокрема і з геометрії. Ці підручники повинні як різними за змістом і за формою викладу, а й мати істотно різну логико-структурную організацію. Зараз шкільні підручники геометрії орієнтовані здебільшого аксіоматичне і силлогистическое виклад. Надмірне ж акцентування у навчанні дедуктивного характеру математики створює серйозну небезпеку обману математичної освіти. У навчанні математиці загалом, як і в навчанні геометрії, необхідно поєднання логіки й інтуїції, дедукції і індукції, конкретизації і узагальнення, аналізу та синтеза.

Доцільна трансформація лінійного побудови змісту шкільного курсу геометрії в лінійно — концентричне, що дозволить проводити глибокі порівняння, широке узагальнення, висувати гіпотези і припущення, переносити знання, вміння і навички на нову ситуацію, переосмислювати з нових, більш спільних позицій вже вивчений раніше вивчений матеріал. Велику роль у своїй відіграватимуть аналогії, інтуїтивні міркування, дозволяють прилучити учнів до дослідницької деятельности.

Курс шкільної геометрії повинна бути такою, що він передусім підштовхувала учнів до постановки питань, висуванню гіпотез, створював б умови для ефективних пошуків. Реалізація ідей уровневой й про-фільної диференціації передбачає одночасне існування як підручників геометрії, побудованих на глобальної аксіоматичній організації теорії, і підручників, побудованих на ідеях локальної аксиоматизации і локальної дедукції. Тут бачимо створення таких підручників геометрії, у якому розумніше дозировались логічний і інтуїтивний компоненти; шкільний курс геометрії є «хімічну сполуку інтуїції і надзвичайно логики».

Глобальна аксиоматизация повинна завершувати, а чи не починати тривалий процес розвитку теорії; локальна індукція дозволяє: зробити головним у навчанні геометрії не розвиток теорії з готової аксіоматики, а процес створення аксіоматики. Такий їхній підхід більшою мірою, ніж традиційний, забезпечує взаємодія наочно — образного і словесно — логічного мышления.

На прикладах покажемо, що чимало просторові є узагальненнями площинних аналогів. Наведений нижче матеріал може бути доброю підмогою у створенні дослідницької роботи учащихся.

П р і м е р 1. Площинна изопериметрическая теорема — просторова изопериметрическая теорема.

Часто можна почути розхожу фразу: «Коло і кулю — найдосконаліші постаті». Який сенс вкладається в висловлювання? Розмірковування, наведені нижче, проллють світло на поставлений вопрос.

У планіметрії відома така теорема: «З усіх изопериметрических пласких постатей найбільшу площа має коло». Інакше кажучи цю теорему можна сформулювати інакше: «З усіх пласких постатей рівного периметра найбільшу площа має круг».

Нехай P. S — площу фігури, L — довжина периметра даної постаті. Припустимо, що це постать художника-монументаліста та коло з радіусом r є изопериметрическими: L = 2(r, тоді P. S? (r2. Підставляючи замість r його вираз через L (r = L/2(), перетворимо нерівність: 4(S/L2? 1.

Приватне 4(S/L2 залежить від форми постаті та залежною з його розмірів. Справді, коли ми, не змінюючи форми, збільшимо лінійні розміри фігур у відношенні Ѕ, то периметр стане дорівнює 2L, а площа — 4S, але приватне S/L2, як і приватне 4(S/L2, залишається незмінною. Ця закономірність справедлива зі збільшенням лінійних розмірів у кожному отношении.

Площинна изопериметрическая теорема то, можливо сформульована й у такому вигляді: «З усіх пласких постатей рівної площі найменший периметр має круг».

Аналогом, в стереометрії цієї останньої формулюванні теореми буде така теорема: «З усіх тіл рівного обсягу найменшу поверхню має шар».

Изопериметрическое нерівність для об'ємних тіл прописано в наступному вигляді: 36(V2 / S3? 1, де V — обсяг тіла, P. S — площа повної поверхні тела.

Зауважимо, що ця стереометрическая изопериметрическая теорема дозволяє з відповіддю: «Чому заварний чайник круглої форми вистигає повільніше, ніж чайник такої ж обсягу, але інший формы?».

Читачеві буде буде цікаво дізнатися своєрідну трактування изопериметрической теореми, що наводить Д. Пойа у своїй книжці «Математика і правдоподібні міркування» (М.: Наука, 1975. З. 187): «До изопериметрической теоремі нас можуть призвести зовсім примітивні розгляду. Ми можемо навчитися їй у кота. Гадаю, ви бачили, що робить кіт, як у холодну ніч він приготовляется до сну: він піджимає лапи, згортається отже робить свою тіло наскільки можна кулястим. Він робить те щоб зберегти тепло, зробити мінімальним виділення тепла через поверхню свого тіла. Кот, яка має ані найменшого наміри зменшити свій обсяг, намагається зменшити свою поверхню, роблячи себе максимально кулястим. Очевидно, він має деяке ознайомлення з изопериметрической теоремой».

Викладена вище стереометрическая изопериметрическая теорема дозволяє у новій, зовсім з інших позицій вивчати тему «Тіла вращения».

Відома формула для обчислення комфортності житла: K = 36(V2 / S3, де K — изопериметрический коефіцієнт комфортності, V — обсяг житла, P. S — повна поверхню житла, зокрема й підлогу. Учням можна запропонувати підрахувати коефіцієнт комфортності восточносибирского чума (рис. 1), яранги континентальних ескімосів Аляски (рис. 2), житла берегових чукчів (рис. 3), житла аборигенів Північної Австралії (рис. 4), житла народів кирди в Камеруну (рис. 5), нашого звичайного житла у вигляді прямокутного паралелепіпеда (рис. 6).

Изопериметрический коефіцієнт K завжди менше одиниці чи дорівнює їй. Єдине тіло, має коефіцієнт, рівний одиниці, — це кулю. Не тому нерозпізнані літаючі об'єкти шарообразны (як ті, хто їх видел)?

П р і м е р 2. Принцип Кавальери для пласких постатей — принцип Кавальери для просторових фигур.

Італійський математик Бонавертура Кавальери (1598 — 1647) у своїй основному праці «Геометрія» (1635) розвинув новий метод визначення площ, і обсягів — так званий метод неподільних. Неподільними він називав паралельні між собою хорди пласкою постаті чи паралельні площині тіла. Б. Кавальери довів теорему, за якою площі двох подібних постатей ставляться, як квадрати, а обсяги — як куби відповідних неподільних. Ця теорема увійшла у математику під назвою принципу Кавальери. Наведемо його формулировку.

Д л я п л про з до про з т і. Якщо дві постаті може бути переміщені в таке становище, що кожна пряма, паралельна який-небудь даної прямий і яка перетинає обидві постаті, дає в сечении із нею рівні відтинки, то такі постаті равновелики.

Прикладом можуть бути два паралелограма (рис. 7) із рівними підвалинами будівель та рівними высотами.

Д л я п р про з т р, а зв з тонн на а. Якщо дві об'ємні постаті може бути перебувають у таке становище, що кожна площину, паралельна який-небудь заданої площини і яка перетинає обидві постаті, дає в сечении із нею плоскі постаті рівної площі, то такі постаті равновелики.

Прикладом можуть бути дві піраміди із рівними підвалинами будівель та рівними висотами (рис. 8).

П р і м е р 3. Доведемо для тетраедра теорему, аналогічну теоремі Піфагора для прямокутного треугольника:

«Якщо три межі тетраедра — прямокутні трикутники (рис. 9), то S12 +S22 + S32= S42, де S1, S2, S3 — площі граней, складових прямий кут, S4 — площа четвертої межі, лежачої проти прямого трехгранного угла».

Доказ. Нехай довжини катетів прямокутних трикутників відповідно рівні: у? АВД — чи b; у? АДС — чи d; у? АСВ — b і d, тогда.

S1 = SАДВ = Ѕ аb; S2 = SАДС = Ѕ ad;

S3 = SАСВ = Ѕ bd. (1).

Щоб знайти S4, знайдемо гипотенузу? АСВ: ЗС = (b2 + d2. Висота підстави, проведена до гіпотенузі ЗС, дорівнює ГАМ = bd + d/(b2 +d2 .

Висоту четвертої межі (?ДВС) шукатимемо по теоремі Піфагора: ДМ = (А2 + bd/b2 + d2 .

Тогда.

S4 = Ѕ/(b2 +d2 * (А2 + bd/b2 + d2 = Ѕ/(b2 +d2 * (А2 d2 + А2 b2 + b2d2 /(b2 +d2 = Ѕ (А2 d2 +А2 b2 + b2d2;

S42 = ј(а2 d2 + А2 b2 + b2d2) (2).

Відповідно до равенствам (1), имеем:

S12 +S22 + S32 =ј А2 d2 +ја2 b2 +ј b2d2 = ј(а2 d2 + А2 b2 + b2d2).

Оскільки равые частини останнього рівності і рівності (2) рівні, то рівні й ліві частини: S12 +S22 + S32 = S42.

На випадок простору можна сформулювати і довести таку узагальнену теорему Піфагора для проекцій: «Квадрат довжини будь-якого відрізка дорівнює сумі квадратів довжин його проекцій на будь-які три взаємно перпендикулярні прямые».

П р і м е р 4. Сформулюємо для тетраедра теорему, що є аналогом такий площинною теоремы:

«Якщо кут одного трикутника дорівнює розі іншого трикутника, то площі цих трикутників ставляться, як твори сторін, заключающих рівні углы».

Формулювання аналогічної теореми для пространства:

«Якщо тригранних кут одного тетраедра дорівнює трехгранному розі іншого тетраедра, то обсяги цих тетраедрів ставляться, як твори довжин ребер цих тетраедрів, які виходять із вершин цих тригранних углов».

П р і м е р 5. У планіметрії розглядається така задача:

«Як зміниться площа трикутника, якщо його висоту збільшити на m единиц?».

Вирішимо її. P. S = Ѕ ah, де a — підставу трикутника, а h — висота треугольника.

S1 = Ѕ a (h + m) = Ѕ ah + Ѕ am; P. S — S1 = Ѕ am.

З геометричній погляду збільшення площі даного трикутника одно площі трикутника з тим самим підставою a і заввишки m (рис. 10). Отже, площі заштрихованных частин рівні між собой.

Аналог це завдання в стереометрии:

«Дана піраміда. Як зміниться її обсяг, якщо висоту збільшити на m единиц?».

Р е ш е зв і е. 1 V = 1/3 Sосн (H; V1 = 1/3 Sосн ((H + m) = 1/3 Sосн (H + = 1/3 Sосн (m. Имеем:

V1 — V= 1/3 Sосн (m, Т. е. збільшення обсягу одно обсягу піраміди з такою самою підставою і заввишки, рівної m единиц.

Зауважимо, що аналогічну завдання можна розгледіти й у конуса.

П р і м е р 6. Розглянемо планиметрическую задачу:

«Є два трикутника із рівними підставами. Побудуйте трикутник, рівновеликий об'єднанню даних треугольников».

Р е ш е зв і е. P. S = Ѕ ah1 + Ѕ ah2 = Ѕ a (h1 + h2), т. е. шуканий трикутник повинен мати такий ж підставу, як і в вихідних трикутників, та її висота мусить бути дорівнює сумі висот вихідних треугольников.

Цьому завданню в стереометрії є аналог:

«Дві піраміди (конуса) із рівними підставами замініть однієї пірамідою (конусом), рівновеликої їх объединению».

Р е ш е зв і е.

V = 1/3 Sосн (H1 + 1/3 Sосн (H2 = 1/3 Sосн ((H1 + H2).

Отже, бажана піраміда (конус) повинен мати таку ж підставу, та її висота мусить бути дорівнює сумі висот вихідних пірамід (конусов).

П р і м е р 7. У планіметрії у разі прямокутного трикутника вирішується задача:

«Нехай дано прямокутний трикутник АВС: (З = 90(; СА = b, СВ = а, h — висота трикутника, проведена з вершини З. Довести рівність 1/h2=1/a2+1/b2».

Це рівність то, можливо обобщено у разі тетраэдра:

«Якщо тетраэдре АВСЕ ребра ЕА, ЄВ, ЄС перпендикулярні між собою і злочини їх довжини відповідно рани a, b, з і h — висота тетраедра, проведена з вершини Є, то має місце рівність: 1/h2=1/a2+1/b2+1/с2».

П р і м е р 8. У планіметрії розглядається наступна завдання на доказательство:

«Дани дві паралельні прямі; одній із них довільно взятий відрізок АВ, але в інший — точка З. Доведіть, що загальна площа трикутника АВС залежить від вибору точки С».

Для тривимірного простору, де аналогом трикутника виступає тетраэдр, це завдання формулюватимуть наступним образом:

Дани три паралельні прямі, не які у площині. На однієї їх довільно обраний відрізок АВ, двома прямих — точки З повагою та Д відповідно. Доведіть, що міра тетраедра АВСД залежить від вибору точок З повагою та Д".

У наведених прикладах паралельно формулювався площинною і аналогічний йому просторовий факт. Але, як свідчить практика, для розвитком творчої розвитку учнів, на формування вони дослідницьких умінь, зокрема вміння будувати гіпотези і висувати припущення, значно корисніше пропонувати школярам самостійно формулювати, та був і вирішувати для площинних фактів їх просторові аналоги. Причому повинні бути завдання як у пряму юридичну дію — перехід від площині до простору, і на зворотне дію — перехід від простору до площині. Нижче наведені завдання подібного типу. 1. Сформулюйте у разі тривимірного простору завдання, аналогічні нижченаведеним площинним завданням, і далі вирішите их.

1) Биссектрисы трьох кутів трикутника перетинаються лише у точці, що є центром окружності, уписаної в треугольник.

2) Площа кола дорівнює площі трикутника, підставу якого має таку ж довжину, як і окружність, і висота якого дорівнює радиусу.

3) Висота рівнобедреного трикутника проходить через середину основания.

4) Наскільки частин площину ділиться трьома прямыми?

5) Кожен опуклий багатокутник може бути розбитий на трикутники. 2. Сформулюйте для трикутника завдання, аналогічні тим, які нижче для тетраедра. Вирішіть кожну отриману пару задач.

1) З АВС трикутною піраміди ОАВС узята точка М, і крізь неї проведено прямі, паралельні ребрах ОА, ВВ, ОС і які перетинають бічні межі в точках А1, В1, С1.

Доведіть, что.

МА1/OA+MВ1/OB+MС1/OC=1.

2) Доведіть, що у трехгранном вугіллі проти пласких кутів лежать рівні двухгранные, а проти великого плоского кута лежить більший двухгранный угол.

3) Доведіть, що є сфера, через все вершини тетраэдра.

4) Кожне ребро трикутною піраміди розділене на n рівних частин. Через отримані точки проведено різноманітні площині, паралельні граням піраміди. Наскільки частин поділяють піраміду ці плоскости?

5) Нехай Про — вершина трехгранного кута, все плоскі кути якого прямые.

Промінь ОМ утворює з ребрами цього кута гострі кути (, (, (. Доведіть, що tg (+ tg (+ tg ((2(ctg (+ ctg (+ ctg ().

6) Сума будь-яких двох пласких кутів трехгранного кута більше, ніж третій плаский кут. Докажите.

7) Який із всіх тетраедрів, уписаних у цю сферу, має найбільший объем?

8) Дани довжини a, b, з трьох ребер тетраедра, проведених з одному й тому ж вершини. Знайдіть максимум обсягу тетраэдра.

9) Якщо точка переміщається у площині підстави правильної трикутною піраміди і залишається всередині цього підстави, то сума відстаней від цього точки до бічних граней залишається постійної. 10) Обсяги двох тетраедрів, мають загальне ребро й однакові двугранные кути, у своїй рубі, ставляться, як твори площ граней, їхнім виокремленням цей двугранный кут. 11) Через кожну вершину тетраедра проведена площину, паралельна протилежної межі. Знайти ставлення обсягу освіченого в такий спосіб нового тетраедра обсягу даного тетраедра. 12) Через кожне ребро тетраедра проведена площину, паралельна протилежного ребру. Знайдіть ставлення обсягу освіченого в такий спосіб паралелепіпеда обсягу даного тетраедра. 13) Знайдіть цієї точки, яка, будучи з'єднана з вершинами даного тетраедра, ділила його не чотири рівних тетраэдра.

Наголошуючи на важливості роботи, запропонованої у двох останніх завданнях навчити, доречно навести висловлювання Д. Пойа у тому, що й учень у відсутності жодного випадку вирішити завдання, винайдену нею самою, його математичний досвід не вважається полным.

АНАЛОГІЯ У ТЕОРЕМАХ Про ПРЯМИЙ ЭЙЛЕРА, ОКРУЖНОСТІ І СФЕРЕ.

У цьому пункті буде приведено приклад спільного розгляду відомих теорем Эйлера, як у площині, і у просторі. Наведені нижче затвердження досить відомі, які докази можна прочитати, наприклад, у книжках І. Ф. Шарыгина «Завдання по геометрії» чи У. У. Прасолова «Завдання по планиметрии».

Будуть використані такі определения:

Ортоцентр — точка перетину висот (якщо вона существует).

Ортоцентрический тетраэдр — тетраэдр, все висоти якого перетинаються лише у точці. (Далі все аналізовані тетраэдры будуть лише такими і термін ортоцентрический буде опущен.).

Центр мас (центроид) системи точок А1, А2, …, Аn — така точка Про, що ОА1+ ОА2 + … +ОАn = 0.

Для наочності наведемо основні використовувані поняття на вигляді таблицы.

На позакласних заняттях зі старшокласниками і занять із методиці всіляко практикують «виходи у просторі», використовують аналогію геометричних понять. Школярі отримують велике ж задоволення, виявляючи приховані раніше зв’язку. Причому обмежуються обговоренням доказів теорем, але часто розбираються подібні теореми, переформулюючи їх як завдання на побудова. Для наочної демонстрації такої роботи знову варто звернутися до наведених вище прямим і окружностям Эйлера.

Як найпростіший завдання пропонується розглянути рівнобедрений прямокутний трикутник і перенести отримані результати на рівнобедрений прямокутний тетраэдр. Щоб полегшити оформлення малюнків і формулювання одержуваних тверджень при узагальненні обох теорем Эйлера на простір, рекомендуємо виконати поруч два малюнка, запровадити аналогічні позначення і постійно порівнювати «плоскі» і «просторові» результати. Причому, виявивши і довівши якесь твердження для плоского випадку необхідно відразу прагнути відшукати його аналог для пространства.

Як домашнє завдання учням пропонується перевірити теореми Эйлера з допомогою побудов на довільному трикутнику і спробувати аналогічно наведених вище міркуванням вивести затвердження для довільного ортоцентрического тетраэдра.

На наступних заняттях можна навести узагальнення плоского випадку на просторовий з допомогою методу координат.

Звертаючись знову до оскільки він розглядався вище трикутнику, можна запровадити координати отже точка А1 матиме координати (0; 0), точка А1 (4;0), точка А3 (0;4), тоді координати інших точок: М1 (2; 2), М2 (0; 2), М3 (2; 0), Ц (4/3;43). Виведемо рівняння окружності, що проходить через точки А1, М2 і М3 (визначення окружності досить трьох точок) як (xa)2+(y-b)2=R2. Тогда:

(0-a)2+(0-b)2=R2(a2+b2=R2,.

(0-a)2+(2-b)2=R2(a2+4−4b+b2=R2,.

(2-a)2+(0-b)2=R2(4−4a+a2+b2=R2.

З цією системою трьох рівнянь отримуємо a=1, b=1, R=(2 і рівняння окружності: (x-1)2+(y-1)2=2. Безпосередньою підстановкою координат точки М1 в отримане рівняння переконуємося, що вищу точку М1 належить окружности.

Аналогічно для простору. Введемо просторові координати так, щоб точка А1 мала координати (0; 0; 0), точка А2 (6; 0; 0), точка А3 (0; 0; 6), точка А4 (0; 6; 0). Тоді координати інших точок — М1 (2; 2; 2), М2 (0; 2; 2), М3 (2; 2; 0), М4 (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Виведемо рівняння окружності, походящей через точки А1, М1, М2 і М3 (для визначення сфери потрібно вже чотири точки). Рівняння сфери матиме вид (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=3.Принадлежность інших точок цієї сфери можна легко перевірити простий підстановкою координат в уравнение.

ЗАСТОСУВАННЯ АНАЛОГІЇ ПРИ ВИРІШЕННІ ЗАДАЧ.

Так само корисно виховувати школярі звичку свідомо залучати аналогію у пошуку способів вирішення запропонованої ним важкою завдання. І тут можна рекомендувати їм наступний план роботи над задачей.

1. Підібрати адекватні фігури завдання, аналогічну даної, т. е. таку, що має були б, проти даної, подібні умови і подібне висновок; допоміжна завдання має бути простіше даної чи розсилка такої, яке известно.

2. Вирішити допоміжну завдання; потім провести аналогічні міркування під час вирішення даної задачи.

Наприклад, до аналогії з планиметрическими завданнями корисно звертатися під час вирішення стереометричні задач.

У цьому корисно, щоб школяр намагався (якщо може бути) самостійно сформулювати і вирішити аналогічну планиметрическую завдання. Розглянемо, наприклад, завдання: «Наскільки частин можуть розділити простір чотири довільно розташовані плоскости?».

Чотири площині визначають тетраэдр. Ця постать нагадує нам 3 пересічні прямі на плоскости.

Природно виникає допоміжна завдання, аналогічна даної: «На скільки частин можуть розділити площину 3 довільні прямые?».

Вирішимо спочатку допоміжну завдання (рис.11). У випадку три прямі можуть розділити площину на майже 7 частин, одне з них обмежена (внутрішня область трикутника), інші, необмежені частини площині (таких 6) мають із внутрішньої областю спільний кордон по боці трикутника чи з продовження його сторін. І тут площину виявляється розділеної всього на 1+3+3=7 частей.

Тепер приступимо до вирішення основної мети (рис.12).

У випадку, 4 площині можуть розділити простір ми такі частини: одне з них обмежена — внутрішня область тетраедра; необмежені частини простору мають спільний кордон внутрішньої областю межею тетраедра (4 частини), чи з його ребру (6 частин), чи з площинам, які пройшли через його вершини (ще чотирьох части).

І тут простір виявляється розділеним всього на 1+4+6+4=15 частей.

Щоб школярі могли краще засвоїти цей прийом вирішення завдань, доцільно раз у раз пропонувати ним завдання, під час вирішення яких метод аналогії виявляється корисним. У цьому спочатку корисно пропонувати учащемся не лише одну, а дві (чи більше) взаємозалежні за змістом завдання, формулюючи умова кожної їх одночасно. Наприклад: a) висловіть радіус окружності, уписаної в рівносторонній трикутник, через його висоти; b) висловіть радіус кулі, записаного до тетраэдр, через висоти цього тетраэдра.

ПОМИЛКИ, ПОВ’ЯЗАНІ З ЗАСТОСУВАННЯМ АНАЛОГИИ.

Поруч із корисною евристичної роллю, що її відіграють у процесі навчання умовиводи за аналогією, вони ж можуть приводити окремих учнів, які засвоїли чи формально, неусвідомлено засвоїли навчальний матеріал, до грубим помилок. Наприклад: від (a + b) c = ac + bc до (a + b)2= a2 + b2; від ab/ac = b/c до a + b/ac = b/c тощо. п.

У разі учні намагаються замінити аналогією відсутні вони знання, тоді як аналогія має опиратися на знання вивченого матеріалу, допомагати свідомому засвоєнню і правильному застосуванню цих знань, розвитку самоконтролю. Необхідно вимагати від учнів постійно обгрунтовувати що їх математичні операції посиланнями на вивчений теоретичний матеріал, аби домогтися свідомого і міцного засвоєння його. За позитивного рішення вправ необхідно керуватися принципом: «спочатку правило, потім дію; без правила немає дії!». Та й у процесі викладання потрібно лише підкреслювати істинні аналогії, а й відзначати хибні, руйнувати його з метою запобігання можливих помилок. Слід з’ясувати з учнями, де дане правило застосовується, чи і чому застосовувати. Чимало з подібних грубих помилок учнів пов’язані з неправомірним поширенням розподільного властивості на різноманітні операции.

Вчителю математики корисно знати про три типових помилках, які породжені неявним застосуванням аналогії. Такі «шкідливі» (хибні) аналогії часто виникають школярі стихійно; й існують самі школярі і саме вчителі який завжди віддає усвідомлювали походження цих помилок (отже, й у можливостях їх исправления).

Обмежимося кількома примерами.

1.Наличие спільності в властивості складання і множення чисел іноді призводить до виникнення школярі помилковою аналогії подібність цих діянь П. Лазаренка та за іншими властивості. Приміром, під час вирішення вправи виду a+b/c+b по удаваної аналогії з скороченням спільний множник учні «скорочують» цей вислів на складова: a+b/c+b=a/c.

2.Нередкая помилка виду (а2+b2=a+b є також результатом удаваної аналогії зі способом вилучення квадратного кореня з твору (а2b2=(ab (. До того ж виду помилок належить і дуже поширена помилка logc (a+b)=? logca+ logcb, породжена удаваної аналогією з вірним рівністю logcab= logca + logcb, де a>0, b>0.

3.Очень поширена помилка, наведена психологом М. А. Менчинской: «Учень під час вирішення прикладу 96: 16 = 10 допускає помилку, основу якої лежить помилкове умовивід за аналогією 96: 16 = 10 (?), тому що 90: 10 = 9 і шість: 6 = 1; 9 + 1 = 10. У наведеному прикладі маємо перенесення в операцію розподілу прийомів, які вживалися при додаванні і вирахуванні чисел. Це помилкове умовивід виник із звичного оперування окремо десятками і одиницями при додаванні і вирахуванні чисел і розподілі їх у однозначне число».

4.Замечая часті аналогії між багатьма поняттями і чи пропозиціями планіметрії і стереометрії, учні часто переносить їхнього у кризовій ситуації, де їх виявляються помилковими. Цим, мабуть, пояснюються вельми поширені помилкові відповіді учнів 9-х — 10 класів: «Через цю на прямий крапку у просторі можна навести лише одне перпендикуляр до цієї прямий», чи «Дві прямі у просторі, перпендикулярні лише до й тієї третьої прямий, завжди рівнобіжні між собою», чи «Дві площині, перпендикулярні лише до й тією самою третьої площині, завжди рівнобіжні між собою» тощо. п.

Зрозуміло, вчителю треба вміти вчасно застерегти учнів від хибних аналогій, вказуючи у своїй на походження тих чи інших що допускаються ними ошибок.

Висновок за аналогією може, інколи і підтвердитися повністю, чи підтвердитися лише частично.

П р і м е р. Площа будь-якого трикутника виражається формулою Герона:

S=(p (p-a)(p-b)(p-c).

Шукаючи формули для обчислення площі чотирикутників, ми можемо поцікавитися: правильна аналогічна формула для четырехугольника?

Дослідження цього питання показує, що з 4-угольников, уписаних в окружність (і лише них!), справедлива наступна формула для обчислення площади:

S=(p (p-a)(p-b)(p-c)(p-d).

Виявилося, що саме повна аналогія немає места.

Вирушаючи далі від виявленої аналогій у формулах, бачимо причину цієї аналогії: існує зв’язок між трикутником (многоугольником, що завжди можна вписати у окружність) і 4 — кутником (не всяким, лише таким, що можна вписати у окружность).

Отже, істотним ознакою, що об'єднує трикутник і 4 — косинець (себто спільності формули Герона), є можливість вписати в окружность.

Порівняння двох понять (трикутник і 4-угольник) завершилася цьому разі неповним узагальненням: тільки до частини об'єктів, які входять у друге поняття, правильна «узагальнена формула Герона».

У цьому прикладі, хоча аналогія загалом і підтвердилася, вона послужила джерелом нових думок (наприклад, трикутник можна розглядати, як вырожденный вписаний 4 — угольник).

Нехай вершина Д уписаного 4-х косинця АВСД наближається скільки завгодно близько на вершину А. (рис.13). Тоді сторона АД=d в межі стає рівної нулю і узагальнена формула перетворюється на звичайну формулу Герона:

S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-0)= ((p-a)(p-b)(p-c)p.

Отже, застосування аналогії доставляє нам «сприятливу можливість точніше досліджувати відкриті властивості і довести чи спростувати їх: в обох випадках ми навчимося чогось навчають полезному».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наскільки важлива аналогія у математиці, можна судити з такого висловом відомого польського математика Стефана Банаха: «Математик — що це, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; найкращий математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити й такого, хто між аналогіями бачить аналогии».

Порівняння, як логічний прийом, стає тим поштовхом, який робить мислення активним; зі порівняння понять починається формування нових мыслей.

Виявлення подібності чи різницю між предметами піднімає наше мислення більш високий рівень; сосуществовавшие раніше без взаємозв'язку знання набувають нова якість; аналізований предмет пізнається при цьому глибше, подробнее.

За підсумками порівняння понять будуються умовиводи гіпотетичні, справедливість яких потім перевіряється. Гіпотетичними думками, зокрема, є умовиводи по аналогии.

Будуючи такі умовиводи, учень навчається вмінню робити припущення, вмінню пізнавати невідоме, оволодіває навичками логічного дослідження предметів і явищ оточуючої действительности.

Виникнення логічного форми умовиводів за аналогією можна уявити наступним образом.

У процесі підпорядкування собі природи, під час зміни навколишнього світу задоволення своїх і оволодіння силами природи, людина порівнював подібні предмети і явища й багато разів помічав таку зв’язок з-поміж них: якщо два предмета мають деякі однакові ознаки, тут ми дуже часто (але завжди!) чинився, що вони мали й деяких інших загальні признаки.

Отже, умовиводи за аналогією є думками ймовірності; щоб з’ясувати достовірність чи неправдивість «виведення по аналогії», необхідно додатково досліджувати цей висновок. Цим і відрізняється аналізований вид умовиводів від індуктивного і дедуктивного умовиводи: якщо перші призводять до вичерпного результату, аналогія лише відкриває дорогу дослідження та немає доказової сили (повна индукция).

Умовивід за аналогією, будучи розглянуто у єдності з процесом доведення його істинності, диалектично у своїй суті: тут у найтіснішому переплетенні й у взаємозв'язку зустрічаються елементи індукції і дедукции.

У умовиводі за аналогією передусім використовується індукція, бо перехід від першого предмета до другого (від трикутника до тетраэдру, від окружності до сфери) полягає у встановленні між одними приватними властивостями (найпростіший багатокутник, наявність трьох внутрішніх кутів, існування їх равноделящих — биссектрис і др.).

У той самий час умовивід за аналогією був із дедукцією, бо істинність виведення за аналогією встановлюється дедуктивним доказом: те що будь-який тетраэдр можна вписати сферу і заодно єдину, треба довести відповідно до звичайним правилам дедуктивного докази. Висновок, отриманий прийом аналогії, хіба що починається індукцією і завершується дедукцией.

При користуванні аналогією відбувається складний розумовий процес, в якому застосовують у єдності та взаємопроникненні прийоми аналізу та синтезу. Так було в наведеному вище прикладі умовивід за аналогією стало можливим тільки завдяки з того що внаслідок порівняння трикутника і тетраедра і політичного аналізу їх властивостей встановлюється наявність в них кількох подібних властивостей, які послужили поштовхом до припущенню про наявність деякого нового властивості (сфери, уписаної в тетраэдр). Доказ сформульованого припущення зводиться до синтезу понять, які стосуються тетраэдру, причому він виконується у тому порядку, що не виконувався синтез відповідних понять, які стосуються трикутнику (центр уписаної сфери є точка перетину биссектральных площин аналогічно, як центр уписаної окружності є точка перетину биссектрис).

Висновок за аналогією може, інколи і підтвердитися повністю, чи підтвердитися лише частично.

Аналогія, зазвичай, перестав бути доказовим міркуванням, т. е. міркуванням, що може бути доказом. («Зазвичай» тому, що є виняток, що з особливим різновидом аналогії.) Однак у навчанні, як, втім, й у науці, аналогія часто корисна тим, що вона наводить нас стало на здогади, т. е. служить эвристическим методом. У навчанні ж математиці щонайменше важливо, ніж вчити доводити, це вчити здогадуватися, що став саме підлягає доведенню як і знайти це доказательство.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Балк М. Б., Балк Р. Д. Математика після уроків: посібник для вчителя. — М.: Просвітництво, 1971.

2. Груденов Я. І. Удосконалення методики роботи вчителя математики.

Далингер У. А. Про аналогіях в планіметрії і стереометрії //.

Математика у шкільництві. — 1995. — № 6.

3. Колягин Ю. М., Оганесян У. А., Саннинский У. Я., Луканкин Л. Г.

«Методика викладання математики середньої школи». Загальна методика.

Учеб. Посібник для студентів физ.-мат. фак. Пед. інститутів. М.,.

«Просвітництво», 1975.

4. Метельский М. У. Дидактика математики: загальна методику та її. — Мінськ: вид. БДУ, 1982.

5. «Методика математики середньої школи»: Загальна методика. Учеб.

Посібник для студентів пед. ин-тов по спец. «Математика преподавания.

" і «Фізика» / А. Я. Блох, Є. З. Канин, М. Р. Килина та інших.; Сост.

Р. З. Черкасов, А. А. Столяр. — М.:Просвещение, 1985.

6. Столяр А. А. Педагогіка математики: навчальних посібників для студ. Физ.

— мат. фак.- Мінськ, 1986.

7. Саранцев Р. І., Луніна Л. З. Навчання методу аналогії //.

Математика у шкільництві. — 1989. — № 4.

8. Эрдниев П. М. «Порівняння і узагальнення під час навчання математиці», посібник для учителей.М. 1960.

9. Эрдниев Про. П. Аналогія в теоремах про прямий Эйлера, окружності і сфері // Математика у шкільництві. — 1998. — № 3.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦИИ.

Благовєщенський Державний Педагогічний Университет.

Фізико-математичний факультет.

Кафедра алгебри і геометрии.

Місце аналогій у навчанні математиці в школе.

Курсова работа.

Виконала: студентка 4 курсу, отделения.

математика-физика, групи «Б»,.

Макарова Вікторія Александровна.

Науковий руководитель:

Ковальова Надежда.

Дмитриевна.

Благовєщенськ 2002 г.

Показати весь текст

Заповнити форму поточною роботою