Обчислення статистичних варіацій

План:

• 1). Теоретичне питання 1. АБСОЛЮТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРІАЦІЇ: ЇХ ЗНАЧЕННЯ У ДОСЛІДЖЕННІ ТА СПОСОБИ ОБЧИСЛЕННЯ

2). Теоретичне питання 2. СИСТЕМА ВАРТІСНИХ ПОКАЗНИКІВ ОБСЯГУ ПРОДУКЦІ

3). ЗАДАЧА 1

4). ЗАДАЧА 2

5). ЗАДАЧА 3

6). ЗАДАЧА 4

7). ЗАДАЧА 5

ПИТАННЯ 1. АБСОЛЮТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРІАЦІЇ: ЇХ ЗНАЧЕННЯ У ДОСЛІДЖЕННІ ТА СПОСОБИ ОБЧИСЛЕННЯ

Середні величини (, М0, Ме), як узагальнюючі показники, характеризують статистичні сукупності за варіаційною ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. В середній відображаються загальні умови, притаманні всій сукупності, але не відображаються індивідуальні часткові умови, що породжують варіацію у окремих одиницях даної сукупності. Середня величина не пояснює, як групуються навколо неї індивідуальні знання ознаки чи лежать вони поблизу, чи, навпаки, істотно відрізняються від середньої. Інколи окремі значення варіант досить близько розташовуються поблизу середньої, в такому разі середня досить надійно описує всю досліджувану сукупність. В інших сукупностях окремі значення варіант відхиляється далеко від середньої, а отже, вона не дуже надійна. Чим менші відхилення, тим однорідніша статистична сукупність, а тому більш надійні і типові середні характеристики розподілу.

В зв’язку з цим середня величина не дає вичерпної характеристики положення статистичного розподілу. Виникає необхідність вивчення варіації ознак, використовуючи для цієї мети специфічні показники міри розсіювання.

Коливання окремих значень ознаки характеризують показники варіації. Термін «варіація» походить від латинського слова variato — зміна, коливання відмінність, різниця.

Варіацією ознаки в статистиці називають різницю у числових значеннях ознак одиниць сукупності та їх коливання навколо середньої величини, що характеризують сукупність. Варіація є властивістю статистичної сукупності. Вона зумовлена множиною взаємопов'язаних між собою необхідних та випадкових внутрішніх та зовнішніх факторів, серед яких є основні та другорядні. Основні фактори формують центр розподілу, другорядні - варіацію ознак, спільна їх дія — форму розподілу.

Для вимірювання та оцінки варіації використовуються різні показники. Відповідно з визначенням варіація вимірюється ступенем коливання варіант ознаки від рівня їх середньої величини. Саме на цьому і ґрунтується більшість показників, які застосовуються в статистиці для вимірювання варіації ознаки в сукупності.

Всі показники варіації поділяються на дві групи: абсолютні та відносні. До абсолютних показників (характеристик) відносяться: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

Розмах варіації ® — це найпростіший показник варіації (амплітуди коливань), характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки, і розраховується як різниця між максимальним (Xmax) і мінімальним значенням (Xmіn) ознаки (варіанти), яка варіює :

.

Перевагою цього показника є простота його обчислення, але надійність такої простої характеристики невисока, оскільки вона ґрунтується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для досліджуваної сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації. Середнє лінійне відхилення (d) — являє собою середню арифметичну з абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних варіант від їх середньої ():

а) просте (дані не згруповані)

;

б) зважене

.

Прямі дужки означають, що абсолютні значення відхилень беруться по модулю, тобто підсумовування виконується без врахування знаків (плюс або мінус). Це пояснюється нульовою властивістю середньої арифметичної (сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю). Тому для отримання суми всіх відхилень, відмінної від нуля, кожне відхилення слід брати як додатну величину.

Цей показник більш обґрунтований порівняно з розмахом варіації, так як він не залежить від випадкових коливань крайніх значень ознаки, оскільки спирається на всі її значення (враховує всю суму відхилень індивідуальних варіантів від середньої арифметичної та частоти).

Однак середнє лінійне відхилення в статистичній практиці використовують мало, оскільки воно не завжди характеризує розсів варіант. Це пов’язане з тим, що в ньому не враховуються знаки (спрямованість) відхилень, а це значно ускладнює використання середнього лінійного відхилення при розв’язанні задач, пов’язаних з імовірнісними розрахунками. Ступінь варіації об'єктивніше відображає показник середнього квадрата відхилення (дисперсія).

Середній квадрат відхилення, або дисперсія (2) являє собою середню арифметичну квадратів відхилень окремих варіант від їх середньої. В залежності від вихідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами середньої арифметичної простої або зваженої :

а) проста б) зважена Дисперсія — це один з найбільш розповсюджених в статистиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Однак — це суто математична величина, яка не має економічного змісту, а отже й одиниці виміру. Тому дисперсію не завжди зручно застосовувати в обчисленнях, бо різницю ознаки від її середнього значення необхідно підносити до квадрата.

Середнє квадратне відхилення () — це корінь квадратний з дисперсії. Просте та зважене середнє квадратичне відхилення розраховують за формулами :

а) просте

;

б) зважене

.

Смислове значення середнього квадратичного відхилення таке саме, як і лінійного відхилення: воно показує, на скільки в середньому відхилюються індивідуальні значення ознаки від їх середнього значення. Середнє квадратичне відхилення для сукупності завжди більше, ніж середнє лінійне відхилення. Його можна розрахувати за різні відрізки часу (роки, квартали, місяці, тижні) і робити відповідні висновки. Перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадратичне відхилення виражається в іменованих одиницях вимірювання, тобто в тих же одиницях вимірювання, що й значення досліджуваної ознаки (грн., кг, га тощо). Тому цей показник називають також стандартним відхиленням. Коли немає вихідних даних для обчислення середнього квадратичного відхилення, його приблизне значення розраховують за такими співвідношеннями: ;; або.

Усі розглянуті абсолютні показники варіації (розмах варіації, середнє лінійне відхилення та середнє квадратичне відхилення) завжди виражають у одиницях вихідних даних ряду та середніх величин.

ПИТАННЯ 2. СИСТЕМА ВАРТІСНИХ ПОКАЗНИКІВ ОБСЯГУ ПРОДУКЦІЇ

Результатом виробничої діяльності підприємства є продукція. За ступенем готовності розрізняють готову і неготову продукцію. Готова продукція — це продукція, яка готова до продажу і споживання населення або іншими інституційними одиницями. Найчастіше неготова продукція — це напівфабрикати і незавершене виробництво.

В статистиці промислових підприємств розрізняють готові вироби, напівфабрикати та незавершене виробництво. Готові вироби — це кінцеві продукти виробництва, які пройшли всі стадії обробки, а також мають документальне підтвердження підприємства і замовника про свою готовність та якість. Напівфабрикати — це неготові продукти, які закінчили обробляти у межах лише однієї одиниці (цеху).

Незавершене виробництво — це неготові продукти у процесі виробництва, які ще не набули закінченого товарного виду і не мають документального підтвердження підприємства і замовника про свою готовність.

У статистиці будівельних підприємств (організацій) готова продукція — це будинки і споруди, які повністю готові для використання населенням або інституційними одиницями, що документально підтверджено замовником. Незавершене будівництво — це неготові будинки й споруди, які не прийняті замовником.

У статистиці сільськогосподарських підприємств і фермерських господарств готова продукція — це повністю готовий до споживання урожай сільськогосподарських культур, а також готова продукція тваринництва (м'ясо, молоко, яйця, мед, вовна тощо).

У статистиці транспортних підприємств готова продукція — це якісні, повністю надані послуги по перевезенню вантажів та пасажирів. Перевезення вантажів вимірюється вантажообігом у тонно-кілометрах, а пасажирів — пасажиро-обігом у пасажиро-кілометрах (на морському транспорті - у тонно-милях і пасажиро-милях). Обсяги вантажообігу і паса жирообігу обчислюють як суму добутку маси окремих видів вантажу (у тоннах) або кількості пасажирів і відстані, на яку вони перевозяться (у км або милях).

Продукція підприємства характеризується системою таких основних грошових показників:

1) валова продукція (QB);

2) товарна продукція (QТ);

3) реалізована продукція (QР).

Валова продукція — це валовий випуск продуктів і послуг підприємства за певний період (рік, квартал, місяць тощо). У валову продукцію включають готову продукцію, а також неготову продукцію, яка відпущена за межі підприємства, тобто:

QB = вартість готових виробів + вартість напівфабрикатів, відпущених на сторону + продукція підсобних, побічних та допоміжних виробництв (цехів), яка відпущена на сторону + вартість робот на замовлення зі сторони ± зміна залишків незавершеного виробництва (залишки на кінець мінус залишки на початок даного періоду).

Товарна продукція — це продукція, що призначена до реалізації.

Реалізована продукція — це продукція, яка одержана замовником і оплачена ним (гроші надійшли на розрахунковий рахунок підприємства).

Динаміка обсягу продукції підприємства характеризується базисними і ланцюговими індексами фізичного обсягу продукції.

ЗАДАЧА 1

варіація обчислення показник статистичний

За наведеними даними про якість ґрунтів, бальна оцінка коливається у межах від 0 до 100, та про урожайність озимої пшениці агрогосподарствах району, складіть ряди розподілу:

1) за якістю фунтів;

2) за урожайністю озимої пшениці.

За кожною ознакою утворити три групи з рівними інтервалами. Проведіть комбінаційний розподіл агрогосподарств за якістю ґрунтів та урожайністю озимої пшениці.

Результати групувань викладіть у формі статистичних таблиць, зробіть висновки.

Перша досліджувана ознака (середній бал якості ґрунту) змінюється від 40 до 55 років. Розіб'ємо цей діапазон на 3 однакових інтервали шириною:

.

Друга досліджувана ознака (урожайність озимої пшениці) змінюється від 24 до 43 років. Розіб'ємо цей діапазон на 3 однакових інтервали шириною:

.

Відсортуємо вибірку спочатку окремо за якістю фунтів та урожайністю озимої пшениці, а потім за якістю фунтів (перша ознака) та урожайністю озимої пшениці (друга ознака, всередині інтервалів).

Сортування за зростанням якості ґрунту та урожайності

Розподіли:

Розподіл агрогосподарств за якістю ґрунту

Розподіл агрогосподарств за врожайністю

Комбінаційний розподіл агрогосподарств за якістю ґрунтів та урожайністю озимої пшениці

Отже, розподіли агрогосподарств за врожайністю та якістю ґрунтів за своює формою близькі до нормальних.

ЗАДАЧА 2

За допомогою наведених даних по підприємствах об'єднання зробити розрахунок середнього процента виконання плану і середнього процента продукції вищого сорту по об'єднанню в цілому:

Обґрунтувати використання тих чи інших середніх.

Позначення:

Ч — частка продукції вищого сорту;

В — фактичний випуск продукції;

П — виконання плану.

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний об'єм ознаки у сукупності залишається незмінним. Для згрупованих даних обчислюють середню арифметичну зважену. Обчислимо середній відсоток продукції вищого сорту по об'єднання в цілому як середню арифметичну зважену:

.

У випадках, коли відомі не самі варіанти, а обернені числа, користуються формулою середньої гармонійної. Обчислимо середній відсоток виконання плану за допомогою середньої гармонійної зваженої:

.

Відповідь: середній відсоток продукції вищого сорту по об'єднанню в цілому склав 88,61%; середній відсоток виконання плану — 105,84%.

ЗАДАЧА 3

По підприємству маються дані про чисельність працюючих і оплату праці:

Визначити:

1. середньомісячну заробітну плату по окремим категоріям і у середньому по всьому промислово-виробничому персоналу:

2. індекси зміни середньомісячної заробітної плати;

3. абсолютну зміну середньої заробітної плати промислово-виробничого персоналу у результаті зміни рівня заробітної плати окремих категорій робітників та за рахунок структурних зрушень у чисельності;

4. абсолютну зміну фонду оплати праці за рахунок зміни чисельності працюючих та середньої заробітної плати.

Зробити висновки.

Позначення:

z — зарплата (1 працівника);

q — кількість працівників.

Середньомісячна заробітна плата по всьому промислово-виробничому персоналу та індекс зміни середньомісячної заробітної плати:

;

;

.

Аналогічно проведемо розрахунки для окремих категорій персоналу:

Таким чином, середня з/п зросла по всіх категоріях персоналу, крім МОП і охорона.

Складемо таблицю:

Індекс змінного складу та абсолютна зміна з/п:

;

.

Індекс фіксованого складу та абсолютна зміна з/п у результаті зміни рівня заробітної плати окремих категорій робітників:

;

.

Індекс структурних зрушень та абсолютна зміна з/п за рахунок структурних зрушень у чисельності:

;

.

Отже, за рахунок структурних зрушень у середня з/п зросла на 21,11 грн. (в 1,0375 разів), за рахунок зміни середньої з/п окремих категорій — зменшилась на 3,64 грн. (в 0,9936 разів), а за рахунок обох цих факторів разом — зросла на 17,47 грн. (в 1,0308 разів).

Абсолютна зміна фонду оплати праці за рахунок:

— зміни чисельності працюючих:

;

— середньої з/п:

.

Отже, фонд оплати праці виріс на 19 740 грн. за рахунок зростання середньої з/п по підприємству та скоротився на 7940 грн. за рахунок скорочення персоналу.

ЗАДАЧА 4

За наведеними нижче даними побудувати баланси основних засобів:

а) за повною первісною вартістю;

б) за залишковою вартістю;

в) баланс суми зношеності і відобразити взаємозв'язок між цим балансом та балансами основних засобів.

Визначити коефіцієнт відновлення основних засобів, якщо відомо, що знос основних засобів на початок року — 1 200 тис. грн., коефіцієнт зносу — 20%. Введено в дію основних засобів на 600 тис. грн., коефіцієнт вибуття засобів праці за рік — 15%, залишкова вартість вибувших засобів — 60 тис. грн., середньорічна норма амортизаційних відрахувань — 8%.

Знос основних засобів на початок року — 1 200 тис. грн., коефіцієнт зносу — 20%. Відповідно, початкова вартість основних фондів складала 1 200 / 0,20 = 6 000 тис. грн.

В умові задано коефіцієнт вибуття засобів праці за рік (15%), але немає самих засобів праці. Тому не враховуємо їх при розв’язанні задачі. Також припустимо, що нові основні фонди вводяться на початку року.

Баланс основних фондів за повною, початковою вартістю та за вартістю за винятком зносу:

Отже, протягом року зношеність основних фондів зросла (з 20% до 1728/6540 = 0,2642 = 26,42%).

ЗАДАЧА 5

По 2 промисловим підприємствам за два періоди маються дані, грн.:

Розрахувати для кожного періоду окремо по 2 підприємствам разом: середню кількість оборотів; середню тривалість одного обороту в днях; індекси закріплення оборотних засобів змінного складу, фіксованого складу та структурних зрушень.

Зробити висновки.

В умові не задано тривалість робочих періодів. Нехай вона складає 360 днів.

Середня кількість оборотів — відношення вартості реалізованої продукції до середнього залишку оборотних засобів:

де РП — реалізована продукція, ОЗ — оборотні засоби, а тривалість обороту в днях — за формулою:

.

Розрахунки:

— підприємство № 1:

;

;

;

;

— підприємство № 2:

;

;

;

;

— разом:

;

.

;

.

Коефіцієнт закріплення оборотних засобів — відношення середнього залишку оборотних засобів до виручки від реалізації:

.

Задані в умові індекси не виходить розрахувати за цими даними.

Отже, швидкість обертання оборотних засобів зросла на 1-му підприємстві та скоротилась на 2-му.

ЛІТЕРАТУРА

1. Ковалевський Г. В. Статистика. — Харків: ХНАМГ, 2010. — 313 с.

2. Костюк В. О., Мількін І.В. Статистика. Конспект лекцій. — Харків: ХНАМГ, 2008. — 135 с.

3. Овчаренко Г. М., Логвінова О. П. Статистика. Збірник задач і тестів. — Рубіжне: ІХТ СНУ ім. В. Даля, 2008. — 191 с.

4. Опря А. Т. Статистика (модульний варіант з програмованою формою контролю знань). — К.: Центр учбової літератури, 2012. — 448 с.