Синтез оптимальних рівнянь

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

Механіко-математичний факультет.

Кафедра теоретичної механіки і робототехники.

Курсова работа.

Тема: Синтез оптимальних уравнений.

Студента 3-го курсу 13 группы.

Павловського Сергія Александровича.

Науковий руководитель.

Лютов Олексій Иванович.

Мінськ 2001 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ Г л, а а I. Запровадження 2 § 1. Завдання про оптимальному быстродействии 2.

1.Понятие про оптимальному быстродействии 2.

2.Задача управління 3.

3.Уравнения руху об'єкта 5.

4.Допустимые управління 6 § 2. Про основних напрямах теоретично оптимальних процесів 7.

5.Метод динамічного програмування 7.

6.Принцип максимуму 9 § 3. Приклад. Завдання синтезу 12.

7.Пример застосування принципу максимуму 12.

8.Проблема синтезу оптимальних управлінь 14 Р л, а а II. Лінійні оптимальні швидкодії 15 § 4 Лінійна завдання оптимального управління 15.

9.Формулировка завдання 15.

10.Принцип максимуму 16.

11.Принцип максимуму — необхідну й достатню умова оптимальності 17.

12.Основные теореми про лінійних оптимальних быстродействиях 18 § 5. Рішення завдання синтезу для лінійних завдань другого порядку 18.

13.Упрощение рівнянь лінійного керованого об'єкта 18 Р л, а а III. Синтез оптимальних управлінь для рівняння другого близько 20-ти § 6. Рішення завдання синтезу у разі комплексних власних значень 20.

14.Задача синтезу для малих коливань маятника 20.

Список використовуваної літератури 23.

Г л, а а I ВВЕДЕНИЕ.

Керовані об'єкти надійно ввійшли наша повсякденному житті і вони повсякденними, повсякденними явищами. Ми їх буквально щокроку: автомобіль, літак, різноманітні електроприлади, снабжённые регуляторами (наприклад, электрохолодильник), тощо. п. Спільним в усіх цих випадках є те, що ми можемо «управляти» об'єктом, можемо у тому чи іншою мірою впливати з його поведение.

Зазвичай перехід керованого об'єкта вже з стану до іншого може бути здійснено багатьма в різний спосіб. Тому питання про виборі такого шляху, що з деякою (а цілком певній) точки зору виявиться найвигіднішою. Це і (кілька розпливчасто сформульована) завдання про оптимальне управління. § 1. Завдання про оптимальному быстродействии.

1. Поняття про керованих об'єктах. Розглянемо прямолінійне рух автомобіля. Кожного моменту часу стан автомобіля можна характеризувати двома числами: пройденим відстанню p. s і швидкістю руху v. Ці дві величини змінюються з часом, але з спонтанно, а відповідно до волі водія, котрі можуть за власним бажанням управляти роботою двигуна, збільшуючи чи зменшуючи развиваемую цим двигуном силу F. Отже, маємо три пов’язаних між собою параметра: p. s, v, F, показаних на схемою (рис.

1). Величини p. s, v, що характеризують стан автомобіля, називають його фазовыми координатами, а величину F — управляючим параметром.

Якщо ми розглядати рух автомобіля по площині (а чи не по прямий), то фазових координат буде чотири (дві «географічні» координати і ще дві компоненти швидкості), а управляючих параметрів — два (наприклад, сила тяги двигуна і кут повороту керма). У що летить літака можна розглядати шість фазових координат (три просторові координати і три компоненти швидкості) і кілька управляючих параметрів (потяг двигуна, величини, що характеризують становище рулів висоти та напрями, элеронов).

Зрозуміло, в проведеному нижче математичному дослідженні ми не матимемо справа ні з самими реальними об'єктами, і з деякою математичної моделлю. Сказане тут робить природним таке математичне опис керованого об'єкта. Стан об'єкта ставиться (у кожний час) n числами x1, x2,…, xn, які називаються фазовыми координатами об'єкта. Рух об'єкта полягає з математичної погляду у цьому, що його стан із часом змінюється, т. е. x1, x2,…, xn є перемінними величинами (функціями часу). Рух об'єкта відбувається спонтанно. Їм можна управляти; при цьому об'єкт снабжён «рулями», становище яких характеризується (у кожний час) r числами u1, u2,…, ur; ці числа називаються управляючими параметрами. Рулями можна «маніпулювати», т. е. за власним бажанням змінювати (звісно, у припустимих межах) управляючі параметри u1, u2,…, ur. Інакше висловлюючись, ми можемо по бажанню вибрати функції u1(t), u2(t),…, ur (t), описують зміна управляючих параметрів з часом. Ми будемо припускати (як і зазвичай буває), що, знаючи фазове стан об'єкта в початковий момент часу й обравши управляючі функції u1(t), u2(t),…, ur (t) (для t>t0), ми можемо саме і однозначно розрахувати поведінка об'єкта всім t>t0, т. е. можемо знайти функції x1(t), x2(t),…, xn (t), що характеризують зміна фазових координат з часом. Отже, зміна фазових координат x1, x2,…, xn не залежить безпосередньо від нашого бажання, але рух об'єкта ми усе ж таки можемо у тому мірою впливати, обираючи по за власним бажанням управляючі функції u1(t), u2(t),…, ur (t).

Керований об'єкт, про який лише що йшлося, теоретично автоматичного управління прийнято зображати оскільки показано на рис. 2. Величини u1, u2,…, ur (управляючі параметри) часто називають також «вхідними перемінними», а величини x1, x2,…, xn (фазові координати) — «вихідними перемінними». Кажуть ще, що «на вхід» об'єкта подано величини u1, u2,…, ur, а «не вдома» ми маємо величини x1, x2,…, xn. Зрозуміло, на рис. 2 показано лише умовне позначення керованого об'єкту і неможливо відбито його «внутрішня побудова», знання якої необхідно, щоб з’ясувати, як, знаючи управляючі функції u1(t), u2(t),…, ur (t), можна визначити зміна фазових координат x1(t), x2(t),…, xn (t).

Величини u1, u2,…, ur зручно вважати координатами деякого вектора u=(u1,u2,…, ur), також званого управляючим параметром (векторным). Точнісінько як і величини x1, x2,…, xn зручно розглядати, як координати деякого вектора (чи крапки) x=(x1, x2,…, xn) в n — мірному просторі з координатами x1, x2,…, xn. Цю точку називають фазовим станом об'єкта, а n — мірне простір, у якому вигляді точок зображуються фазові стану, називається фазовим простором аналізованого об'єкта. Якщо об'єкт такий, що його фазове стан характеризується лише двома фазовыми координатами x1, x2 (див. рис. 1), ми говоритимемо про фазової площині. І тут фазові стану об'єкта зображуються особливо наглядно.

Отже, в векторних позначеннях аналізований керований об'єкт можна зобразити оскільки показано на рис. 3. Яка Входить величина u=(u1,u2,…, ur) є модифікатор, а вихідна величина x=(x1, x2,…, xn) є точку фазового простору (чи, інакше, фазове стан объекта).

Як зазначено вище, щоб надалі повністю поставити рух об'єкта, треба поставити його фазове стан x0=(x01, x02,…, x0n) в початковий час t0 і вибрати управляючі функції u1(t), u2(t),…, ur (t) (для t>t0), т. е. вибрати векторну функцію u (t)= u1(t), u2(t),…, ur (t)). Цю функцію u (t) ми називати управлінням. Завдання початкового фазового стану x0 та управління u (t) однозначно визначає подальше рух об'єкта. Це рух у тому, що фазовая точка x (t)=(x1(t), x2(t),…, xn (t)), яка зображує стан об'єкта, з часом переміщається, описуючи в фазовому просторі деяку лінію, звану фазової траєкторією аналізованого рух об'єкта (випадок n=2 зображений на рис. 4). Вочевидь, що цю лінію виходить із точки x0, оскільки x (t0)= x0.

Кілька векторних функцій (u (t), x (t)), т. е. управління u (t) і відповідну фазову траєкторію x (t), ми називати надалі процесом управління чи навіть процессом.

Отже, резюмуємо. Стан керованого об'єкта у кожний час характеризується фазової точкою x=(x1, x2,…, xn). На рух об'єкта можна впливати з допомогою управляючого параметра u=(u1,u2,…, ur). Зміна величин u, x з часом ми називаємо процесом; процес (u (t), x (t)) складається з управління u (t) і фазової траєкторії x (t). Процес повністю визначається, якщо поставлено управління u (t) (при t>t0) і початкова фазове стан x0=x (t0).

2. Завдання управління. Часто зустрічається наступна завдання, що з керованими об'єктами. У початковий час t0 об'єкт перебуває у фазовому стані x0; потрібно вибрати таке управління u (t), яке переведёт об'єкт в заздалегідь заданий кінцеве фазове стан x1 (не на x0; рис. 5). У цьому часто буває, що початкова стан x0 заздалегідь невідомо. Розглянемо одне з найбільш типових прикладів. Об'єкт повинен стійко працювати у деякому режимі (т. е. перебувати у деякому фазовому стані x1). Через війну тих чи інших причин (наприклад, під впливом несподіваного поштовху) об'єкт може вийти з робочого стану x1 й опинитися у деякому іншому стані x0. У цьому точка x0, у якому може потрапити об'єкт, заздалегідь невідома, і ми повинні вміти так управляти об'єктом, що з будь-який точки x0 (чи навіть з точок x0 досить близьких до x1) повернути їх у робочий стан x1 (рис. 6).

Таке управління часто здійснюється людиною (оператором), який стежить за приладами й намагається вибирати управління, підтримує об'єкт в необхідному робочому режиме.

Однак у сучасних умовах високого розвитку техніки оператор найчастіше неспроможна успішно упоратися з цим завданням через складність поведінки об'єкта, великий швидкості перебігу процесів тощо. п. Тому надто важливо створити такі прилади, які самі, й без участі людини, управляли би роботою об'єкта (наприклад, у разі об'єкта з робочого стану повертали б у це робочий стан). Такі прилади («регулятори», «автоматичні управляючі устрою» тощо. п.) нині дуже поширені у техніці, їх вивченням займається теорія автоматичного управления.

Першим пристроєм цього були був відцентровий регулятор Уатта, сконструйований керувати роботою паровий машини (див. рис. 9). Схема цього регулятора показано на рис. 7. У випадку (рис. 8) на вхід регулятора подаються фазові координати объекта.

Зазвичай потрібно, щоб перехідний процес (т. е. процес переходу із початкового фазового стану x0 в запропоноване стан x1, рис. 5) був у певному сенсі «найкращим», наприклад, щоб час переходу було найменшим чи енергія, витрачена протягом перехідного процесу, було мінімум тощо. п. Такий «найкращий» перехідний процес називається оптимальним процесом. Термін «оптимальний процес» вимагає уточнення, т. до. необхідно роз’яснити, у сенсі розуміється оптимальність. Якщо йдеться про найменшому часу переходу, то такі процеси називаються оптимальними себто швидкодії. Інакше висловлюючись, процес, внаслідок якого об'єкт переходить з точки x0 в точку x1 (рис. 5), називається оптимальним себто швидкодії, а то й існує процесу, переводящего із x0 в x1 за менше час (тут і далі передбачається, що x1? x0). Зрозуміло, бажано, щоб регулятор не просто повертав об'єкт робочого стану, а робив це найкраще, наприклад, себто швидкодії (т. е. повертав об'єкт у робочий стан за найкоротший термін). У зв’язку з цим у теорії автоматичного управління розглядаються дуже різні регулятори. Розгляд регуляторів призводить до того, що зниження часу перехідного процесу пов’язані з ускладненням конструкції регулятора; тому, ускладнюючи конструкцію регулятора, можна лише наближатися до «ідеальному», «оптимальному» регулятору, що у першій-ліпшій нагоді здійснює перехідний процес за найкоротший термін. Повністю ж «оптимального» регулятора, очевидно, здійснити не можна. Але такий висновок є помилковим, т. до. сьогодні вже створили математичний апарат, який розраховує такі регулятори. Можна припускати, що оптимальні регулятори відіграватимуть істотну роль техніці будущего.

3. Рівняння руху об'єкта. Почнемо з розгляду одного простого прикладу. Нехай G — тіло, що може здійснювати прямолінійне рух (рис. 10). Безліч цього тіла будемо припускати постійної і рівної m, яке розмірами будемо нехтувати (т. е. вважатимемо G матеріальної точкою.) Координату тіла G (отсчитываемую від деякою точки O тієї прямий, за якою його рухається) будемо позначати через x1. При русі тіла G його координата x1 змінюється із поліциклічним перебігом времени.

Похідна [pic]представляет собою швидкість руху тіла G. Будемо припускати, що у тіло G діють дві зовнішні сили: сила трения.

-[pic]и пружна сила — kx1 І що, ще, тіло G снабжено двигуном. Развиваемую двигуном силу на тіло G позначимо через u. Отже, за другим закону Ньютона рух тіла G з часом описуватиметься диференційним уравнением.

[pic].

Окресливши швидкість руху через x2 (т. е. поклавши [pic]), зможемо записати цього закону руху на вигляді наступній системи диференційних рівнянь: [pic] (1.1) Тут величини x1, x2 є фазовыми координатами тіла G, а величина u — управляючим параметром, т. е. маємо об'єкт, схематично изображённый на рис. 11. Рівняння (1.1) є закон зміни фазових координат з часом (з урахуванням впливу управляючого параметра), т. е. є закон руху фазової точки в фазової плоскости.

Ми розглянули лише одне окреме питання, але було б вказати цілий низку інших прикладів, у яких закон руху об'єкта описується диференціальними рівняннями. Найчастіше (см.(1.1)) ці рівняння дають висловлювання похідних від фазових координат через самі фазові координати і управляючі параметри, т. е. мають вид.

[pic] (1.2) де f1, f2,…, fn — деякі функції, зумовлені внутрішнім пристроєм объекта.

Надалі ми зосередимо своє увагу саме у таких об'єктах (рис. 2), закон руху яких описується системою диференційних рівнянь виду (1.2). У векторної формі систему (1.2) можна записати в виде.

[pic] (1.3) де x — вектор з координатами x1,…, xn, u — вектор з координатами u1,…, ur і, нарешті, f (x, u) — вектор, координатами якого служать праві частини системи (1.2).

Зрозуміло, годі розв’язати систему диференційних рівнянь (1.2) (т. е. знайти закон руху об'єкта), не знаючи яким чином змінюватися з часом управляючі параметри u1, u2,…, ur. Навпаки, знаючи поведінка величин u1, u2,…, ur, т. е. знаючи управляючі функції u1(t), u2(t),…, ur (t) для t>t0 зможемо із системи уравнений.

[pic] (1.4) чи, що таке саме, з векторного уравнения.

[pic] (1.5) однозначно визначити рух об'єкта (при t>t0), якщо відомо початкова фазове стан об'єкта (в останній момент t=t0). Інакше висловлюючись, завдання управління u (t) і початкового фазового стану x0 однозначно визначає фазову траєкторію x (t) при t>t0, що узгоджується зі зробленими раніше (стор. 1) припущеннями про властивості объекта.

Факт, що завдання початкового фазового стану (в останній момент t=t0) дозволяє із системи (1.4) однозначно визначити фазову траєкторію x (t), t>t0, випливає з теореми про існування і одиничності рішень системи диференційних рівнянь. Припустимо, що, знаючи початкова фазове стан x0 і управління u (t)=(u1(t),…, ur (t)), ми визначили фазову траєкторію x (t) (з допомогою системи (1.4)). Якщо ми змінимо управління u (t) (зберігши те початкова стан x0), одержимо деяку іншу траєкторію, яка з тієї ж точки x0; знову змінимо управління u (t) — одержимо ще одну траєкторію тощо. буд. Отже, розглядаючи різні управління u (t), ми матимемо багато траєкторій, що виходять з точки x0 (рис. 12). (Зрозуміло, не суперечить теоремі одиничності теоретично диференційних рівнянь, оскільки, замінюючи функції u1(t),…, ur (t) іншими функціями, ми переходимо не від системи диференційних рівнянь щодо фазових координат x1,…, xn.).

Нагадаємо, що завдання оптимального швидкодії залежить від знаходженні такого управління u (t), котрій фазовая траєкторія x (t), відповідна цьому управлінню з рівняння (1.5), проходить через точку x1 і з x0 в x1 здійснюється за найкоротший термін. Таке управління u (t) називатимемо оптимальним управлінням (себто швидкодії); точно як і відповідну траєкторію x (t) якщо називати оптимальної траекторией.

4. Допустимі управління. Зазвичай управляючі параметри u1,…, ur що неспроможні приймати абсолютно довільні значення, а підпорядковані деяким обмеженням. Приміром, у разі об'єкта, описаного на стор. 4, природно припустити, що сила u, развиваемая двигуном, може бути скільки завгодно великий за величиною, а підпорядкована обмеженням?? u??, де? і? — деякі постійні, що характеризують двигун. Зокрема, при ?=-1, ?=1 ми маємо обмеження -1?u?1, що означає, що двигун може розвивати силу, спрямовану вздовж осі x1 як у позитивному, і у негативному напрямі, але з перевищує одиниці по абсолютної величине.

Для об'єктів, містять r управляючих параметрів u1,…, ur, в додатках часто зустрічається випадок, коли ці параметри можуть довільно змінюватися в тому наступних пределах:

?1?u1? ?1, ?2?u2??2,…, ?r?ur??r. Інакше висловлюючись, кожна гілка величин u1, u2,…, ur в рівняннях (1.2) представляє собою окремий модифікатор, область зміни якого залежить від значень остальных управляющих параметрів і ставиться неравенствами.

?i?ui??i, i=1,…, r. (1.6) Зауважимо, що з r=2 точки u=(u1, u2), координати яких підпорядковані неравенствам (1.6), заповнюють прямокутник; при r=3 нерівності (1.6) призначають у просторі змінних u1, u2,u3 прямокутний паралелепіпед; у разі довільного r кажуть, що нерівності (1.6) визначають r-мерный параллелепипед.

У випадку вважатимемо, що згідно з конструкцією об'єкту і умовами його експлуатації поставлено у просторі змінних u1,…, ur деяке безліч U та управляючі параметри u1, u2,…, ur мають у кожен час вживати лише такі значення, щоб точка u=(u1,u2,…, ur) належала безлічі U. Інакше висловлюючись, дозволяється провадити лише такі управління u (t), що u (t) [pic]U нічого для будь-якого t. Безліч U в подальшому називатимемо областю управління. Область управління U не завжди буде параллелепипедом; вони можуть мати геометрично є або менш складний характер, позаяк у силу конструкції об'єкта між управляючими параметрами u1, u2,…, ur можуть існувати зв’язку, висловлені, наприклад, рівняннями виду ?(u1, u2,…, ur)=0 чи неравенствами ?(u1, u2,…, ur)?0. Тож якщо параметри u1, u2 характеризують векторну величину на площині, модуль якої перевершує одиниці, а напрям довільно, то ці параметри підпорядковані лише условию.

(u1)2 +(u2)2 -1?0 (1.7) і науковотехнологічна галузь управління U є коло. Надалі будемо припускати, що одержав вказівку сфері управління входить у математичне визначення об'єкта, т. е. що з математичного завдання керованого об'єкта слід зазначити закон його руху (1.2) і науковотехнологічна галузь управління U.

Нарешті, зробимо ще одну дуже істотне припущення щодо характері управлінь. Саме, будемо припускати, що «рулюй», становища яких характеризуються управляючими параметрами u1, u2,…, ur, безынерционны, отже ми можемо, коли потрібно, миттєво переключати ці «рулюй» вже з становища до іншого, т. е. змінювати стрибком значення управляючих параметрів u1, u2,…, ur. Відповідно до цим розглядати як безперервні, а й кусочно-непрерывные управління u (t). З іншого боку, будемо припускати, що кожне аналізованих управління u (t) безупинно на кінцях відрізка t0? t?t1, якою воно поставлено, т. е. що це точки розриву, якщо вони є, розташовані на півметровій інтервалі t0t0, находим.

[pic]|при [pic]?1. (1.11).

Але похідна, зазначена у частині цього нерівності, обчислюється по формулі повної похідною [pic] Тому відповідно до (1.9) і (1.10) нерівність (1.11) набуває вигляду [pic] Крапки x0, u0 тут було довільними. Отже, для будь-який (відмінній від x1) точки x фазового простору й будь-який точки u сфері управління U виконано соотношение.

[pic] (1.12).

Нехай тепер (u (t), x (t)) — оптимальний процес, переводить із фазового стану x0 до стану x1, і t0? t?t1 — час, в протягом якого це оптимальне рух відбувається, отже x (t0)= x0, x (t1)=x1 і t1=t0 + T (x0). Рух по аналізованої оптимальної траєкторії від точки x0 до точки x (t) провадиться протягом часу t — t0, а рух від точки x (t) до точки x1 — протягом часу T (x0) — (t — t0). Швидше, як по час T (x0) — (t — t0), з точки x (t) потрапити до точку x1 неможливо. Отже, T (x0) — (t — t0) є час оптимального рухи з точки x (t) в точку x1, т. е. T (x (t))= T (x0) — (t — t0). Замінивши тут T через ?, т. е. ?(x (t))= ?(x0) + t — t0) та взявши похідну по t, получаем.

[pic] t0? t?t1. (1.13).

Отже, кожному за оптимального процесу у протягом всього руху виконується рівність (1.13).

Якщо ми тепер введём в розгляд функцию.

B (x, u (t))=[pic], (1.14) Те співвідношення (1.12) і (1.13) можуть бути записані наступним образом:

B (x, u)?1 всім точок x? x1 і u; (1.15).

B (x, u)?1 нічого для будь-якого оптимального процесу (u (t), x (t)). (1.16).

Отже, справедлива следующая.

Т е про р м, а 1.1. Якщо керованого об'єкта, описуваного рівнянням (1.5) і потрібного кінцевого стану x1 виконані гіпотези 1 і 2, то мають місце співвідношення (1.15) і (1.16) (оптимальність розуміється себто быстродействия).

Ця теорема і як сутність методу динамічного програмування для аналізованої завдання. Цю теорему можна сформулювати і дещо інакше. Написавши співвідношення (1.16).

Для t=t0, одержимо B (x0, u (t0))=1, т. е. для будь-який точки x0 (відмінній від x1) знайдеться в U така точка u (саме u=u (t0)), що B (x0, u)=1. У порівнянні з нерівністю (1.15) отримуємо соотношение.

[pic] для будь-який точки x? x1. (1.16*).

Метод динамічного програмування (1.15), (1.16) (чи, що таке саме, (1.16*), (1.16)) містить деяку інформацію про оптимальні процесах і тому можна використовувати їхнього розвідки. Але він має низку незручностей. По-перше, застосування цього вимагає перебування як оптимальних управлінь, а й функції ?(x), оскільки цю функцію входить у співвідношення (1.15) — (1.16*). По-друге, рівняння Беллмана (1.16*) (чи співвідношення (1.15), (1.16)) є рівняння в приватних похідних щодо функції ?, осложнённое при цьому знаком максимуму. Зазначені обставини сильно ускладнюють можливість користування методом динамічного програмування для відшукання оптимальних процесів у конкретних прикладах. Але найголовнішою недоліком цього є очікування про виконання гіпотез 1 і 2. Адже оптимальні управління й третя функція? нам заздалегідь невідомі, отже гіпотези 1 і 2 містять припущення щодо невідомої функції, і перевірити виконання цих гіпотез по рівнянням руху об'єкта неможливо. Цей недолік можна було б вважати особливо істотним, якби після рішення оптимальної завдання цим методом виявилося, що функція ?(x) справді є безупинно дифференцируемой. Але річ залежить від тому, що у найпростіших, лінійних завданнях оптимального управління функція ?(x) перестав бути, зазвичай, скрізь дифференцируемой. Проте він менш, методом динамічного програмування можна нерідко користуватися як цінним эвристическим средством.

6. Принцип максимуму. Продовжимо тепер міркування попереднього пункту, припустивши функцію ?(x) вже безупинно дифференцируемой.

(скрізь, крім точки x1). Отже, будемо припускати, що виконано следующая.

Р і п от е із, а 3. функція ?(x) має за x? x1 другі безперервні похідні [pic] і, j=1,2,…, n, а функції fi (x, u) — перші безперервні похідні [pic] де і, j=1,2,…, n.

Нехай (u (t), x (t)), t0? t?t1, — оптимальний процес, переводить об'єкт (1.2) (чи (1.3)) з фазового стану x0 до стану x1. Фіксуємо певний час t, t0? t?t1, і розглянемо функцію B (x, u (t))=[pic] змінного x. З огляду на гіпотези 3 випливає, що функція B (x, u (t)) скрізь, крім точки x1, має безперервні похідні по змінним x1, x2,…, xn:

[pic] (1.17) Зокрема, оскільки x (t)?x1 (оскільки t.