Оператори у вейвлетному базисі

Білоруський державний университет.

Факультет прикладної математики информатики.

Кафедра математичної физики.

ГРОМОВА МАРІЯ МИХАЙЛОВНА.

ОПРЕАТОРЫ У ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ.

Курсова робота студентки 4 курса.

Науковий руководитель:

Глушцов Анатолій Ілліч кафедри МВ кандидат физ.-мат. наук.

Мінськ 2004.

ВВЕДЕНИЕ

…3.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛІЗ І ВЕЙВЛЕТЫ…5.

2. БИСТРЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ…9.

3. ДВОМІРНІ ВЕЙВЛЕТЫ…12.

4. МАТРИЧНІ ОПЕРАЦИИ…13.

4.1. Матричне умножение…13.

4.2. Звернення матрицы…16.

4.3. Обчислення експоненти, синуса і косинуса від матрицы…16.

ЛИТЕРАТУРА

…18.

Вейвлет-преобразование сигналів (wavelet transform), теорія якого оформилася на початку 1990;х років, не менш загальним областями своїх застосувань, ніж класичне перетворення Фур'є. Принцип ортогонального розкладання по компактним хвилях полягає у можливості незалежного аналізу функції різними масштабах його зміни. Вейвлет-представление сигналів (функцій часу) є проміжним між повністю спектральним і повністю тимчасовим представлениями.

Компактні хвилі щодо незалежно було запропоновано в квантової фізиці, фізиці електромагнітних явищ, математиці, електроніці і сейсмогеологии. Міждисциплінарні дослідження сприяли новим додатків даних методів, зокрема, в стискуванні образів для архівів і телекомунікацій, в дослідженнях турбулентності, в фізіології зорової системи, в аналізі радарних сигналів і пророкуванні землетрусів. До жалю, обсяг російськомовної наукової літератури з тематиці вейвлетперетворень (та й нейронних мереж) щодо невелик.

Базова ідея перегукується з часів 200-летней давності й належить Фур'є: апроксимувати складну функцію виваженої сумою простих функцій, кожна з яких, своєю чергою, виходить з однієї функции-прототипа. Ця функция-прототип виконує роль будівельного блоку, а бажана апроксимація виходить комбінуванням однакових структурою блоків. У цьому, якщо «хороша «апроксимація виходить під час використання небагатьох блоків, тим самим досягається значне ущільнення інформації. Як таких блоків Фур'є використовував синусоїди з різними периодами.

Що ви насамперед відрізняє вейвлет-анализ від аналізу Фур'є? Основним недоліком Фурье-преобразования є його «глобальна «чутливість до «локальним «стрибків і списам функції. У цьому модифікація коефіцієнтів Фур'є (наприклад, обрізання високих гармонік з єдиною метою фільтрації шуму) вносить однакові зміни у поведінка сигналу на області визначення. Це особливість виявляється корисною для стаціонарних сигналів, властивості що у цілому мало змінюються зі временем.

При дослідженні ж нестаціонарних сигналів потрібно використання деяких локалізованих у часі компактних хвиль, коефіцієнти розкладання якими зберігають інформацію про дрейфі параметрів аппроксимируемой функції. Першим спробував побудови таких систем функцій полягали в сегментированию сигналу на фрагменти («вікна ») із застосуванням розкладання Фур'є тих фрагментів. Відповідне перетворення — віконне перетворення Фур'є - було запропоновано 1946;47 роках Jean Ville і, незалежно, Dennis Gabor. У 1950;70-х роках різними авторами було опубліковано багато модифікацій времени-частотных уявлень сигналов.

Наприкінці 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) зіштовхнувся з проблемою аналізу сигналів, які характеризувалися високочастотної компонентом протягом короткого проміжку часу й низкочастотными коливаннями під час розгляду великих тимчасових масштабів. Віконні перетворення дозволяли проаналізувати або високі частоти в короткому вікні часу, або низкочастотную компоненту, але з обидва коливання одночасно. У результаті запропонований підхід, у якому щодо різноманітних діапазонів частот використовувалися тимчасові вікна різної тривалості. Віконні функції виходили внаслідок растяжения-сжатия і усунення по часу гаусиана. Морли назвав ці базисні функції вейвлетами (wavelets) — компактними хвилями. Надалі завдяки роботам Мейєра (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) та інших теорія вейвлетов придбала своє сучасне состояние.

Серед російських учених, які у області теорії вейвлетов, слід зазначити С. Б. Стечкина, И. Я. Новикова, В.І. Бердышева.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛІЗ І ВЕЙВЛЕТЫ Определение 1. Многомасштабный аналіз (multiresolutional analysis) — розкладання гильбертова простору L2(Rd), d (1, в послідовність замкнутих подпространств.

[pic],.

(1.1) які мають такими властивостями: 1. [pic], і [pic] повно в L2(Rd),.

2. Для будь-якого f (L2(Rd), нічого для будь-якого j (Z, f (x)(Vj тоді й тільки тоді, коли f (2x) (Vj-1, 3. Для будь-якого f (L2(Rd), нічого для будь-якого k (Zd, f (x)(V0 тоді й тільки тоді, коли f (x-k)(V0, 4. Існує масштабирующая (scaling) функція ((V0, що {((x-k)}k (Zd утворює базис Ритца в V0. Для ортонормальных базисів можна переписати властивість 4 як: 4'. Існує масштабирующая функція ((V0, що {((x-k)}k (Zd утворює ортонормальный базис в V0. Визначимо підпростір Wj як ортогональное доповнення до Vj в Vj-1,.

[pic],.

(1.2) і уявімо простір L2(Rd) як прямий суммы.

[pic].

(1.3).

Обираючи масштаб n, можемо замінити послідовність (1.1) наступній последовательностью:

[pic].

(1.4) і получить.

[pic].

(1.5).

Якщо маємо кінцеве число масштабів, то ми не порушуючи спільності, можна покласти j=0 і рассматривать.

[pic], V0(L2(Rd).

(1.6) замість (1.4). У числової реалізації підпростір V0 конечномерно.

Функція (- так звана масштабирующая (скейлинг-) функція. З її допомогою можна визначити функцію (- вейвлет — таку, що набір {((xk)}k (Z утворює ортонормальный базис в W0. Тогда.

[pic], m=0.M-1.

(1.7) З властивості 4' безпосередньо слід, що, по-перше, функція (може бути представленій у вигляді лінійної комбінації базисних функцій простору V-1. Оскільки функції {(j, k (x)=2-j/2((2-jx-k)}k (Z утворюють ортонормальный базис в Vj, то имеем.

[pic].

(1.8) Власне кажучи, сума вираженні (1.8) зобов’язана бути кінцевої. Можна переписати (1.8) в виде.

[pic],.

(1.9) где.

[pic],.

(1.10) а 2(-периодическая функція m0 визначається наступним образом:

[pic].

(1.11).

По-друге, ортогональность {((x-k)}k (Z передбачає, что.

[pic] (1.12) і значит.

[pic].

(1.13) і [pic].

(1.14) Використовуючи (1.9), получаем.

[pic].

(1.15) і, розглядаючи суму (1.15) у парні і непарною індексам, имеем.

[pic]. (1.16) Використовуючи 2(-периодичность функції m0 і (1.14), після заміни (/2 на (, отримуємо необхідне условие.

[pic].

(1.17) для коефіцієнтів hk в (1.11). Помітивши, что.

[pic].

(1.18) і визначивши функцію (наступним образом:

[pic],.

(1.19) где.

[pic], k=0,…, L-1 ,.

(1.20) чи перетворення Фур'є для (.

[pic],.

(1.21) где.

[pic],.

(1.22) можна показати, що з кожному фіксованому масштабі j (Z вейвлеты {(j, k (x)=2-j/2((2-jx-k)}k (Z утворюють ортонормальный базис простору Wj.

Рівність (1.17) визначає пару квадратурных дзеркальних фільтрів (quadrature mirror filters, QMF) H і G, де [pic] і [pic]. Коефіцієнти QMF H і G обчислюються з допомогою рішення системи алгебраїчних рівнянь. Кількість L коефіцієнтів фільтра в (1.11) і (1.22) пов’язані з числом зникаючих моментів М, і завжди четно.

Узятий фільтр М повністю визначає функції (і (і такою чином, многомасштабный аналіз. З іншого боку, в правильно побудованих алгоритми значення функцій (і (що ніколи не обчислюються. Завдяки рекурсивному визначенню вейвлетного базису, усі фінансові операції проводяться з квадратурными дзеркальними фільтрами H і G, навіть тоді як них використовуються величини, пов’язані з (і (.

4. ОПЕРАТОРЫ.

Стиснення операторів чи, інакше кажучи, уявлення в розрідженому вигляді у ортонормированном базисі впливає на швидкість обчислювальних алгоритмов.

Нестандартна форма оператора Т з ядром K (x, y) досягається обчисленням наступних выражений:

[pic].

(4.1).

[pic].

(4.2).

[pic].

(4.3).

4.1 Оператор d/dx в вейвлетном базисе Нестандартные форми деяких часто використовуваних операторів може бути враховано явно. Побудуємо нестандартну форму оператора d/dx. Матричні елементи [pic], [pic], [pic] матриць [pic], [pic], [pic] і [pic] матриці [pic], де і, l, j (Z для оператора d/dx легко обчислюються как.

[pic] (4.4).

[pic] (4.5).

[pic] (4.6).

[pic] (4.7) где.

[pic].

(4.8).

[pic].

(4.9).

[pic].

(4.10).

[pic].

(4.11) З іншого боку, використовуючи (1.8) і (1.19), имеем.

[pic].

(4.12).

[pic].

(4.13).

[pic].

(4.14) Отже уявлення d/dx повністю визначається величинами [pic] чи, інакше кажучи, відображенням d/dx на підпростір V0. Пропозиція 4.1. 1. Якщо існує інтеграл (4.11), тоді коефіцієнти [pic], l (Z в (5.8) удлвлетворяют наступній системі лінійних алгебраїчних уравнений:

[pic].

(4.15).

[pic].

(4.16) где.

[pic] [pic].

(4.17) 2. Якщо [pic], тоді система (4.15)-(4.16) має єдине рішення з кінцевим числом ненульових [pic], саме з [pic] і [pic]. Зауваження. Якщо М=1, тоді система (4.15)-(4.16) має єдине рішення, але інтеграл (4.11) може бути абсолютно сходящимся. Для базису Хаара ([pic]) [pic], [pic] ми маємо найпростіший кінцевий диференціальний оператор [pic]. Зауваження 2. Зауважимо, що висловлювання (4.12) і (4.13) для [pic] і [pic] ([pic]) може бути спрощені з допомогою зміни порядку підсумовування в (5.10) і (5.11) і введення коефіцієнтів кореляції [pic], [pic] і [pic]. Вислів для [pic] особливо просто: [pic].

Аби довести Пропозиції 4.1 можна до [2].

Аби вирішити системи (4.15)-(4.16) можна також ознайомитися скористатися итерационным алгоритмом. Почати з [pic] і [pic], а далі итерировать, використовуючи (4.15) для обчислення [pic].

4.2 Оператор dn/dxn в вейвлетном базисе.

Як й у оператора d/dx, нестандартна форма оператора dn/dxn повністю визначається своїм відображенням на підпростір V0, тобто. коэффициентами.

[pic], l (Z,.

(4.18) якщо інтеграл існує. Пропозиція 4.2. 1. Якщо інтеграл у натуральному вираженні (4.18) існує, тоді коефіцієнти [pic], l (Z задовольняють наступній системі лінійних алгебраїчних уравнений.

[pic] (4.19).

[pic].

(4.20) де [pic] дано у формулі (4.17). 2. Нехай M? (n+1)/2, де М — число зникаючих моментів. Якщо інтеграл в (4.18) існує, тоді система (4.19)-(4.20) має єдине рішення з кінцевим числом нульових коефіцієнтів [pic], саме [pic] для [pic]. Також для парних n.

[pic].

(4.21).

[pic] [pic].

(4.22).

[pic].

(4.23) а непарних n.

[pic].

(4.24).

[pic] [pic].

(4.25) Зауваження 3. Якщо M? (n+1)/2, тоді рішення лінійної системи в Пропозиції 2 може існувати, коли інтеграл в (4.18) перестав бути абсолютно сходящимся.

Інтегральні рівняння другого рода.

Лінійне інтегральне рівняння Фредгольма є вираз вида.

[pic], де ядро [pic], а невідома функція f (x) й третя функція у правій частині [pic], [pic]. Для простоти розглядатимемо інтервал [pic]и введём таке позначення всім [pic] і [pic]:

[pic] Припустимо, що {?1, ?1,…} - ортонормальный грунт [pic]; ядро представимо у тому базисі наступного виде:

[pic] де коефіцієнти Kij обчислюються по формуле.

[pic], [pic] Аналогічно функції f і g представимы в виде.

[pic], [pic], де коефіцієнти fi і gi обчислюються по формулам:

[pic], [pic], i=1,2,… Інтегральне рівняння у разі відповідає безкінечною системі уравнений.

[pic], i=1,2,… Уявлення ядра то, можливо урізане до кінцевого числа доданків, що призводить до уявленню інтегрального оператора R:

[pic], [pic], [pic], який аппроксимирует K. Тоді інтегральне рівняння апроксимується системою n рівнянь з n неизвестными:

[pic], i=1,2,…, n.

ДОДАТОК 1.

function [a, r]=dif_r (wname).

[LO_D, HI_D, LO_R, HI_R] = wfilters (wname); % обчислення коефіцієнтів a2k-1 len=length (LO_D); a=zeros (len-1,1); for k=1:len-1; for i=0:len-2*k; a (2*k-1)=a (2*k-1)+2*LO_D (i+1)*LO_D (i+2*k); end; end; % обчислення коефіцієнтів rl f=zeros (len-2,1); f (1)=-½; R=zeros (len-2); for l=len-2:-1:2;

R (l, l)=-1; if (2*l.