Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена (реферат)

Реферат.

на тему:

Ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена.

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких прикладів йде мова у цій роботі.

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

$$f\left(\frac{x_1+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n}{n}\right)>=\frac{f\left(x_1\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+f\left(x_n\right)}{n}$$ ,.

(1).

де $$f$$ — опукла на проміжку $$\left(a-b\right)$$ функція, а $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ — довільні числа з цього проміжку, при цьому нерівність перетворюється в рівність у випадках, коли $$x_1=\text{.}\text{.}\text{.}=x_n$$ і коли $$f$$ — лінійна функція. Якщо функція угнута в $$\left(a-b\right)$$, то нерівність Йєнсена записують так:

$$f\left(\stackrel{}{x}\right)<=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$ ,.

(2).

де $$\stackrel{}{x}$$ — середнє арифметичне чисел $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ — $$\stackrel{}{f}$$ — середнє арифметичне чисел $$f\left(x_i\right)$$ $$i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n$$. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх арифметичних середні зважені. Тобто.

$$\stackrel{}{x}={}_1{x}_1+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n{x}_n$$ ,.	(3).
$$\stackrel{}{f\left(x\right)}={}_{1}f\left(x_1\right)+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_{n}f\left(x_n\right)$$ ,.	(4).
де $${}_i>=0$$ і $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{}_i=1$$.	(5).

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань [1−5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена О. Гельдером (H" older, 1889), а інтегральна нерівність — Й. Йєнсеном (Jensen, 1906).

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

$$f\left(\underset{a}{\overset{b}{}}\mathit{x}\left(x\right)\text{dx}\right)<=\underset{a}{\overset{b}{}}\left(x\right)f\left(x\right)\text{dx}$$ ,.	(6).
де $$\left(x\right)>=0$$ на $$\left[a,b\right]$$ і $$\underset{a}{\overset{b}{}}\left(x\right)\text{dx}=1$$ .	(7).

Нагадаємо, що функція $$f$$ називається опуклою (угнутою) в $$\left(a,b\right)$$, якщо.

$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>=\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$$ ,.	(8).
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<=\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)}{2}$$.	(9).

для довільних $$x_1$$, $$x_2$$ $$$$ $$\left(a,b\right)$$ — при цьому рівність у співвідношеннях досягається у випадках, коли $$x_1=x_2$$ і коли $$f$$ — лінійна функція.

Треба зауважити, що є різні способи доведення (обґрунтування) нерівності Йєнсена. Так, в [1, 2] використовується метод Кошідоведення в [3] спирається на фізичне поняття центра мас системи матеріальних точокв [4] нерівність Йєнсена отримана з формули Тейлора за умови, що функція $$f$$ має в $$\left(a,b\right)$$ другу похіднув [5] запропоновано доведення нерівності Йєнсена при умові, що опукла (угнута) в $$\left(a,b\right)$$ функція $$f$$ диференційована в цьому проміжку.

Цікаво встановити ймовірнісний зміст нерівності Йєнсена. Зрозуміло, що ми маємо справу з випадковими величинами вже в означеннях для опуклої (8) та угнутої (9) функцій. Фактор випадковості обумовлений довільністю вибору точок $$x_1$$, $$x_2$$ на проміжку $$\left(a,b\right)$$. Таким чином, можна вважати, що $$X$$ — випадкова величина, $$Y=f\left(X\right)$$ — функція випадкового аргумента. При цьому для вибірки без повторень з об'ємом $$n=2$$ дискретний розподіл має вигляд:

$$X$$.	$$x_1$$.	$$x_2$$.
$$Y$$.	$$f\left(x_1\right)$$.	$$f\left(x_2\right)$$.		(10).
$$p_i$$.	$$\frac{1}{2}$$.	$$\frac{1}{2}$$.

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції від математичного сподівання аргумента (рис.1).

Рис. 1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

Для опуклої функції будь-яка точка дуги $$\text{AB}$$ розташована вище відповідної точки хорди $$\text{AB}$$, для угнутої функції - навпаки. Якщо функція $$f$$ лінійна, то математичне сподівання функції співпадає з функцією математичного сподівання випадкового аргумента, а точка $$\left(\stackrel{}{x}-f\left(\stackrel{}{x}\right)\right)$$ відповідає середині відрізка $$\text{AB}$$. Таким чином, рівність у співвідношеннях (8) і (9) досягається у двох випадках: коли $$x_1=x_2$$ і коли $$f\left(x\right)$$ — лінійна функція. У роботі [5] другий випадок лишився поза увагою автора. Будь-яка нелінійність порушує пропорційну залежність між $$x$$ і $$y$$. Так, для опуклої функції $$f$$ збільшується множина значень, які перевищують $$\stackrel{}{f\left(x\right)}$$, для угнутої функції - навпаки. Це вагомий аргумент на користь кусково-лінійної інтерполяції функцій. З точки зору фізики це означає, що для опуклої дуги $$\text{AB}$$ центр ваги матеріальних точок $$A$$ і $$B$$ завжди лежить під дугою. Ця властивість центра ваги двох матеріальних точок виконується для будь-якого числа $$n$$ матеріальних точок, що лежать на опуклій кривій $$\text{AB}$$. В цьому випадку крива $$\text{AB}$$ апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо шукане узагальнення.

Дискретний розподіл для вибірки без повторень з об'ємом $$n$$ має вигляд:

$$X$$.	$$x_1$$.	$$x_2$$.	…	$$x_n$$.
$$Y$$.	$$f\left(x_1\right)$$.	$$f\left(x_2\right)$$.	…	$$f\left(x_n\right)$$.
$$p_i$$.	$$\frac{1}{n}$$.	$$\frac{1}{n}$$.	…	$$\frac{1}{n}$$.

Математичне сподівання аргументу визначається так:

$$\stackrel{}{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{}}{x}_i$$.

Математичне сподівання функції.

$$\stackrel{}{f\left(x\right)}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{}}f\left(x_i\right)$$ .

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

Перейдемо до вибірки з повтореннями. Нехай значення аргументу $$x_1$$ повторюється $$k_1$$ разів, а $$x_2$$ — $$k_2$$ разів, $$k_1+k_2=K$$ — об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

$$X$$.	$$x_1$$.	$$x_2$$.
$$Y$$.	$$f\left(x_1\right)$$.	$$f\left(x_2\right)$$.
$$p_i$$.	$${}_1$$.	$${}_2$$.

Тут $${}_1$$ і $${}_2$$ — відносні частоти повторень значень $$x_1$$ і $$x_2$$ .

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

для опуклої функції $$f\left({}_1{x}_1+{}_2{x}_2\right)>={}_{1}f\left(x_1\right)+{}_{2}f\left(x_2\right)$$ ,.	(11).
для угнутої функції $$f\left({}_1{x}_1+{}_2{x}_2\right)<={}_{1}f\left(x_1\right)+{}_{2}f\left(x_2\right)$$ ,. де $${}_i>=0$$ і $${}_1+{}_2=1$$ .	(12).

Рівність в (11) і (12) досягається коли $$x_1=x_2$$, а також коли $$f$$ — лінійна функція, причому другий випадок є найбільш змістовним. Якщо $${}_1={}_2=\frac{1}{2}$$, нерівність Йєнсена виконується за означенням опуклої (8) і угнутої (9) функції. Цікаво з’ясувати, що зміниться у ймовірнісній схемі доведення нерівності Йєнсена, якщо $${}_1/={}_2$$. В лівих частинах нерівностей (11) і (12) під знаком $$f$$ стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

$$\stackrel{}{x}={}_1{x}_1+{}_2{x}_2$$ ,.

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового аргумента:

$$\stackrel{}{f\left(x\right)}={}_{1}f\left(x_1\right)+{}_{2}f\left(x_2\right)$$ .

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко встановити, що (11) і (12) — це узагальнені означення опуклої і угнутої функції відповідно (рис.2).

Рис. 2. Узагальнення означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій $$\left({}_1>{}_2\right)$$ .

Цей випадок відрізняється від симетричного $$\left({}_1={}_2\right)$$

лише тим, що точка.

$$\stackrel{}{x}$$

не співпадає із серединою відрізка.

$$\left[x_1-x_2\right]$$

тому що математичне сподівання аргумента визначається не арифметичним середнім, а зваженим середнім, де.

$${}_1$$

.

$${}_2$$

— вагові коефіцієнти. При цьому зберігається пропорція у приростах аргументу і лінійної на.

$$\left[x_1-x_2\right]$$

функції:

.

$$\frac{x_2-\stackrel{}{x}}{\stackrel{}{x}-x_1}=\frac{f\left(x_2\right)-\stackrel{}{f\left(x\right)}}{\stackrel{}{f\left(x\right)}-f\left(x_1\right)}=\frac{{}_1}{{}_2}$$ .

Будь-яка нелінійність порушує пропорцію у приростах функції. Математичному сподіванню аргумента $$\stackrel{}{x}$$ тепер відповідає значення функції $$f\left(\stackrel{}{x}\right)/=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$, і якщо функція $$f$$ опукла, то $$f\left(\stackrel{}{x}\right)>=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$, а для угнутої - навпаки $$f\left(\stackrel{}{x}\right)<=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$. З фізичної точки зору розглянутий випадок означає, що маси матеріальних точок $$A$$ і $$B$$ неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому дискретний розподіл має вигляд:

$$X$$.	$$x_1$$.	$$x_2$$.	…	$$x_n$$.
$$Y$$.	$$f\left(x_1\right)$$.	$$f\left(x_2\right)$$.	…	$$f\left(x_n\right)$$.
$$p_i$$.	$${}_1$$.	$${}_2$$.	…	$${}_n$$.

Відносні частоти $${}_i>=0$$, $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{}_i=1$$, $$a<=x_1<=x_2<=\text{.}\text{.}\text{.}<=x_n<=b$$, причому не всі $$x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ рівні між собою. Вибірку зручно розбити на групи (краще по дві варіанти), визначити для кожної групи середні зважені значення абсцис і ординат вузлових точок. Якщо $$f$$ на $$\left[a-b\right]$$ опукла (угнута), то всі нерівності Йєнсена на проміжках $$\left[x_i,x_{i+1}\right]$$ $$\left(i=\mathrm{1,}\text{.}\text{.}\text{.},n-1\right)$$ мають однаковий зміст. Об'єднуючи відрізки в ансамбль і виконуючи усереднення групових середніх, отримаємо кінцевий результат, який полягає у тому, що точка з координатами $$\left(\stackrel{}{x},\stackrel{}{f\left(x\right)}\right)$$ лежить нижче дуги кривої (якщо функція $$f$$ опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

Інтегральна нерівність Йєнсена (6) може бути доведена за допомогою граничного переходу в дискретній нерівності. або узагальненої теореми про середнє в інтегральному численні. Нам лишається навести ймовірнісний коментар до формули (6). Варто звернути увагу на те, що в формулах (6) і (7) функція $$\left(x\right)$$ має властивості щільності розподілу випадкової величини $$X$$. В лівій частині (6) під знаком $$f$$ записано математичне сподівання випадкової величини $$X$$, що розглядається на проміжку :

$$M\left(X\right)=\underset{a}{\overset{b}{}}\mathit{x}\left(x\right)\text{dx}=\stackrel{}{x}$$ .

В правій частині (6) маємо математичне сподівання функції $$f$$

випадкового аргумента.

$$X$$

:

.

$$M\left(f\left(x\right)\right)=\underset{a}{\overset{b}{}}f\left(x\right)\left(x\right)\text{dx}=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$ .

До речі, в математичному аналізі до цих самих результатів приводить узагальнена теорема про середнє в інтегральному численні. Важливо підкреслити, що при будь-якому законі розподілу ймовірностей $$\left(x\right)$$

точка.

$$\stackrel{}{x}\left(a-b\right)$$

. Точка.

$$\left(\stackrel{}{x},\stackrel{}{f\left(x\right)}\right)$$

належить хорді, що з'єднує кінці дуги.

$$\left(a-f\left(a\right)\right)$$

і.

$$\left(b-f\left(b\right)\right)$$

тому для опуклої функції.

.

$$f\left(\stackrel{}{x}\right)>=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$ ,.

для угнутої.

$$f\left(\stackrel{}{x}\right)<=\stackrel{}{f\left(x\right)}$$ .

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього функції називають «парадоксом оцінювання» [6]. Дослідження парадоксів — кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки. Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів допомагають розвинути справжню інтуїцію, а ймовірнісні підходи сприяють зворотньому руху [7] конструктивних ідей із теорії ймовірностей до математичного аналізу та інших розділів математики.

Використана література.

1. 1.Невяжский Г. Л. Неравенства. Пособие для учителей. — М.: ГУПИ МП РСФСР, 1947.

2. 2.Каплан Я. Л. Математика. Посібник для підготовки до конкурсних екзаменів до вузів. — К.: Вища школа, 1971.

3. 3.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. № 5. — М.: Наука, 1990. — С.57−62.

4. 4.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — М.: Мир, 1965.

5. 5.Вороний О. Нерівність Йєнсена // У світі математики. — Т.6. — Вип.2. — К.: «ТВІМС», 2000. — С.9−13.

6. 6.Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — М.: Мир, 1990.

7. 7.Скороход А. В. Особливий характер теорії ймовірностей в математичних науках // У світі математики. — Т.3. — Вип.2 — К.: «ТВІМС», 1997. — С.2−4.

8. 8.