Означення похідної. 
Правило знаходження похідної (реферат)

Реферат на тему:

Означення похідної. Правило знаходження похідної.

Нехай функція у=f (х) задана на деякому інтервалі (аb). Візьмемо довільну точку х0, що належить цьому інтервалу. Виконаємо відомі чотири кроки.

1. Надамо значенню х0 довільного приросту число може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка х0+належала інтервалу (а, b).

2. Обчислимо в точці х0 приріст 0) функції:

0)= (х0+(x0).

3. Складемо відношення $$\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=\frac{\mathit{}(x_0)}{\mathit{}}=\frac{f(x_0+\mathit{})-f(x_0)}{\mathit{}}$$.

4. Знайдемо границю цього відношення при 0, тобто.

$$\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}(x_0)}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f(x_0+\mathit{})-f(x_0)}{\mathit{}}$$.

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції y = f (x) у точці x0 і позначають f'(x0) а^° y'.

Похідною функції у = f (x) у точці х0 називається грани­ця відношення приросту функції до приросту ргумен­ту за умови, що приріст A. V аргументу прямує до нуля, а гра­ниця існує, тобто.

$$f^{\text{'}}(x_0)=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}(x_0)}{\mathit{}}$$.

Похідна показникової функції. Вивчаючи показникову фун­кцію, ми переконалися в тому, що графіки показникових функцій мають вигляд гладких кривих (без зломів), до яких у кожній точ­ці можна провести дотичну. Відомо також, що існування дотич­ної до графіка функції в точці рівносильне її диференційованості у цій точці. У вищій математиці доведено, що показникова фун­кція диференційована в кожній точці, і похідну показникової фу­нкції за основою е обчислюють дуже просто, а саме:

$$(e^x{)}^{\text{'}}=e^x$$ (8).

Нагадаємо, що ln — натуральний логарифм, який обчислю­ють за формулою.

ln x = loge (9).

За основною логарифмічною тотожністю для будь-якого до­датного числа, а виконується рівність, а = еln a. (10).

Тому будь-яку показникову функцію можна записати у вигляді.

ax=еx ln a. (11).

Для цього треба піднести до степеня jc обидві частини рівно­сті (10).

За допомогою формули (11) і застосовуючи правило обчис­лення похідної складної функції, одержуємо формулу похідної будь-якої показникової функції для будь-якого показника х.

(ax)' = (еx ln a)' = еx ln a (xln a)' = аx ln а.

Отже,.

(аx)' = аx ln а.

Похідна логарифмічної функції. Розглянемо функцію у = ln x знайдемо її похідну. Доведемо, що при будь-якому х > 0 вико­нується рівність.

ln’s = $$\frac{1}{x}$$. (12).

За основною логарифмічною тотожністю x = eln x при всіх додатних .V у цій рівності ліворуч і праворуч стоїть одна і та сама функція (визначена на множині R+). Тому похідні х і In x рівні,.

тобто.

x' = (eln x)' (13).

Для знаходження похідної правої частини рівності скориста­ємося правилом знаходження похідної складної функції і тим, що показникова функція ех диференційована у кожній точці та (аx)' = еx. Переконаємося, що логарифмічна функція диференційована у кожній точці. Справді, графіки функцій y=logax і у = ах симетричні відносно прямої у = х.

Оскільки показникова функція диференційовна у будь-якій точці, а її похідна не перетворюється в нуль, то графік показни­кової функції має негоризонтальну дотичну в кожній точці. Тому і графік логарифмічної функції має невертикальну дотичну в будь-якій точці, що рівносильно диференційованості логариф­мічної функції на області її визначення. Отже,.

(eln x)' = eln x ln’x = xln’x.

Взявши до уваги, що x' = l, та підставивши знайдений ре­зультату рівність (13), одержимо l =x ln’x, звідки.

ln’х = $$\frac{1}{x}$$ .

Розглянемо функцію у = loga х і доведемо, що у' = $$\frac{1}{\text{ln}a}\frac{1}{x}$$.

Справді, оскільки Ioga x = $$\frac{1}{\text{ln}a}$$, то.

(Ioga x)' = $$\frac{1}{\text{ln}a}$$ (ln x)' = $$\frac{1}{\text{ln}a}\frac{1}{x}$$.

Отже,.

(Ioga x)' = $$\frac{1}{\text{ln}a}\frac{1}{x}$$ = $$\frac{1}{x}$$ $$\frac{1}{\text{ln}a}$$.

а) у = ln3хб) у = ln (3х +5).

Розв’язання:

a) y' =(ln3x)'= $$\frac{1}{3x}(3x{)}^{\text{'}}=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$$ .