Книга S.Gran A Course in Ocean Engineering. 
Глава Втома

S.Gran «A Course in Ocean Engineering «Article 4.7 — FATIGUE.

Перевод з англійської виконав Панов О. Г. (р. Якутськ). Буду радий вашим зауважень, побажанням і пропозицій, які можна послати за адресою: [email protected]. Оригінал перебуває в internet.

Частина 4.7 УСТАЛОСТЬ.

Термін «втома» здебільшого використовують із описи втрати робочих якостей чи здатність до функціонуванню після тривалої роботи безперервно. Іноді ставиться до тимчасовому режиму отже міцність відновлюється після деякого перерви у роботі (релаксації). Він, він може застосовуватися до тривалим станам, в яких міцність не відновлюється ніколи. Безпосереднє вплив може видатися безневинним, якщо деформування повторюється постійно, то робочі якості знижуються і наприкінці кінців, може бути повністю утрачены.

Втома в металах належить явищ останнього виду (з опис. вище). Це процес, що є необоротним і котрі можуть, в кінцевому підсумку, призвести до руйнувань, таких як зламані залізничні рейки, втрачені зуби в шестернях, треснутый вал двигуна вертольота, негерметичность корабельного дна тощо. Щоб сталася аварія, не потрібно в надзвичайно складних умовах, раніше конструкції могли витримати й великі навантаження. Проте звичайним властивістю конструкція є те, що можуть міститися у експлуатації значну частину їх проектного ресурсу. Т.а., вони повторно піддаються щодо впливу, щодень, рік у рік. Кожен період впливу вносить незначний, але необоротний внесок у процес втоми. Це може статися, навіть все викликані зовнішньої навантаженням напруги, безсумнівно, перебувають у лінійної, пружною області, набагато нижчі краю міцності материала.

Основними зовнішніми впливами, які ведуть до усталостному руйнації, є циклічні, тобто. періодичні сили, вони роблять відповідні компоненти внутрішніх циклічних напруг. Сили такого роду спочатку є в обертових механізмах, які у автомобілях і верстатах. У XIX-м столітті у перших паровозах відбувалися катастрофічні усталостные руйнації. У зв’язку з цим, німецький залізничний інженер А. Велер (A.Woehler) провів перші систематичні лабораторні випробування на втома (приблизно 1860 г.).

Усталостные руйнації було також досліджені на сталевих тонкостінних конструкціях, як-от мости і опори ЛЕП, які найчастіше страждали коливань викликаним вітром та інші чинниками довкілля. У морських спорудах, дію хвиль — це основне джерело усталостных ушкоджень, проблема стала гострішою після запровадження повністю зварних сталевих корпусів. Трагічній демонстрацією цього було «суду свободи» (Liberty vessels), які у велику кількість були зварені разом задля забезпечення доставки вантажів в Атлантиці під час Другої Світовий Війни. Більше 1000-чи, десь із 5000-ч побудованих кораблів, отримали значні ушкодження через тріщин в корпусах, і з на цій причині, 2300 були цілком потеряны.

Зварні сполуки виявилися особливо чутливі до втоми. Однією з основних цього є велика можливість те, що сполуки містять неоднорідності, такі як включення, порожнини, шорсткість поверхні, і інші відомі чинники, що впливають зародження тріщин. Друга причина і те, що нагрівання і охолодження під час зварювання веде до найвищих залишковим напругам, які ведуть до підвищення швидкості зростання тріщин і повреждений.

Утомлююча руйнація передбачає поділ втричі етапу. На початковому етапі знають, чи етапі зародження, з’являються мікротріщини. На етапі зростання тріщин, тріщини ростуть із збільшенням швидкості під впливом періодичних зовнішніх сил. На етапі руйнації, конструкція спонтанно руйнується, оскільки що залишилося поперечне перетин замало для протидії зовнішнім силам. Раніше представлений є початковим етапом віднімає частина усталостного ресурсу конструкції, від 50 до 75%. Проте, точніші дослідження на мікроскопічному рівні показали, що мікротріщини з’являються вже після вироблення 1% ресурсу. До того ж, невеликі поверхневі дефекти, промовці ролі джерел зародження тріщин, вже можуть бути присутні при поставці вироби производителем.

Зазвичай розрізняють малоцикловую і многоцикловую втома. При малоцикловой втоми, остаточну руйнацію відбувається примітно після 103 циклів і менше. При многоцикловой втоми, руйнація відбувається після 103(109 циклів. У цій статті, ми розглядаємо тільки з многоцикловую втома. Це викликано тим, що морські конструкції розраховують на вплив 107(109 хвильових циклів під час їхньої експлуатації і роблять приблизно те що самого числа циклів напряжений.

Є дві різних підходи до прогнозуванню усталостного ресурсу, а саме, метод Палмгрена-Майнера (Palmgren-Miner), заснований на емпіричних S-N кривих і метод механіки руйнації, заснований на теорії Париса-Ергодана (Paris-Ergodan) з емпіричними da/dN кривими. Метод Палмгрена-Майнера дозволяє прогнозувати весь ресурс елемента, тобто. як є початковим етапом, і фазу поширення, тоді як засіб механіки руйнації має тільки з фазою распространения.

Цю статтю переважно належить до опису втоми в морських конструкціях, як-от кораблі і прибережні споруди, через напруг викликаних хвилями. Виникнення напруг є статистичним, випадковим процесом описаним функціями розподілу ймовірностей, як малих, так великих проміжків часу. Для великого інтервалу часу ми можемо використати функції ймовірності та статистичні методи, певні включаючи екстремальні (граничні) значення. Перелік найбільш важливих інтервалів часу дано у розділі 4.7.1.

Прогнозування усталостного ресурсу методом Палмгрена-Майнера — це одну з основних тим цієї статті. Дані втоми виражені через перемінні що входять до S-N криві розглянуті у розділі 4.7.2, акцентувала зроблено за зварні сполуки. Коли аналітичну форму S-N кривою об'єднують із розподілом ймовірностей для розмахів напруг, усталостный ресурс може бути знайдений у зачиненій математичної формі. Такі формули одержують у главі 4.7.3, вони теж мають велике значення в інженерних додатках. До того ж, до формулам для випадкової навантаження додають висловлювання для втоми, викликаної нестационарными перемінними напругами. Це важливо, наприклад, що стосується прибережними кранами.

Оскільки напруги викликані хвилями випадкові, то також й похибка, що з прогнозованим ресурсом. У главі 4.7.4 розглядається лише природна дисперсія ресурсу, тобто. похибка викликана випадкової природою циклічних навантажень. Це розглядається через перемінні що входять до рівняння Фоккера-Планка (Fokker-Planck), ні з допомогою простий моделі випадкових блужданий.

Останні два глави присвячені механіці руйнації. Глава 4.7.5 дає стисле опис модель зростання тріщини, її фундаментальної і експериментальної основи. У розділі 4.7.6 розглядається процес розвитку тріщини через перемінні що входять до функцію ймовірності. Це може знайти використання у оцінці усталостного ресурсу, і навіть визначить вплив початкових дефектів на розрахунковий ресурс.

Є чимало літератури з втоми і руйнації металів. Частина 4.7 зачіпає лише окремі обрані області, які певним чином пов’язані з теоріями обговорюваними в усій цій книзі. Загальний огляд процесу втоми матеріалів, переважно у деталях машин, можна знайти у роботі /1/. Можна рекомендувати роботу /2/, як хороший довідник по втоми. У ролі керівництва у практичному використанні правив і законів у цій темі можна порадити книжку /3/.

Глава 4.7.1 Нагружение що викликає усталость.

Джерела змінних сил. Кораблі і морські конструкції відчувають циклічні коливання напруг, мають різне походження і частоту. Деякі найважливіші їх види представлені у табл. 4.7.1, а приклади діаграм на рис. 4.7.1.

Табл. 4.7.1 Джерела циклічних напруг у морських конструкциях.

|Тип і джерело періодичних |Средн|Число | |напруг |ий |циклів за | | |перио|время | | |буд |эксплуатаци| | | |і | |Вібрації від механічного |0,1 |109 | |устаткування |сік. |108 | |Резонансні вібрації викликані |1 |107 | |хвилями |сек. |106 | |Изгибающие напруги викликані |10 |105 | |хвилями |сік. |104 | |Повільно мінливі сили викликані |10 | | |хвилями і вітром |хв. | | |Щоденні і приливно-отливные |1 | | |напруги |день | | |Коливання напруг у зв’язках |1 | | |корпусу судна на тихому ході |недел| | | |я | |.

Напевно, досі, цикли напруг, викликані дією механізмів, є поширеним джерелом усталостных руйнацій. За такої швидкості обертання, напруги є суворо періодичними з целочисленными гармонійними складовими. Т.а., у малих інтервалі часу амплітуди напруг, безумовно, є постійними. Проте у великих проміжках часу з перемінної швидкістю обертання, коливальні резонансы з прилеглими сталевими конструкціями та інших. викличуть безладність рівня напряжений.

У основних елементах конструкції і з'єднаннях, напруги викликані хвилями вносять основний внесок у процес втоми. Вони (напруги) випадкові як і коротких, і у великих інтервалах часу й завжди повинні бути описані распределениями вероятностей.

[pic].

Рис. 4.7.1 Обрані діаграми, що дають дію циклічних наснаги в реалізації морських конструкціях: a) Напруги в корпусі танкера викликані хвилями у трьох різноманітному вигляді моря; b) Коливання в прибережних кранах піднімаючих вантажі з і транспортні кораблі; c).

Низькочастотний вигин корпусу, викликаний зміною розподілу вантажу на танкері; d) Щоденні деформації в судні, що відбуваються зза впливу сонячного світла; e) Розтягнення швартовочного троса у дрейфуючого танкера пришвартованного носом до рейдовому причалу; f) Напруги у валі гребного гвинта невеликого риболовецького судна; g) Циклічні сили які діють елемент викликані вихрем.

(моделювання на ЭВМ).

Статистичні розподілу напруг. Що ж до втоми, то зазвичай приймають до уваги розмах напруг. Нижче він означений через P. S. Якщо цикл напруг має максимальне значення (max, та був мінімальне (min, то розмах напруг буде S=(max-(min. Основне гама розподіл буде вибрано як стандартне розподіл для розмаху напруг. І це саме буде при пророкуванні граничних значень. Основною причиною цього і те, що майже нуля статистичні моменти нецелочисленного порядку, які найчастіше з’являються у формулах втоми, може бути отримані через аналітичні висловлювання. Втім, це теж можливо, у разі основного бета розподілу (2.2.5) і основного F-распределения (2.2.64), що можуть бути використані, коли це удобно.

Фактично, запис гама розподілу буде такою, як і главі 4.5.2. У стаціонарному короткому інтервалі часу розмах, тобто. подвоєна амплітуда, циклів напруг розподіляється відповідно до функції гама розподілу з щільністю ймовірності (2.6.16). Т.к. масштабний параметр A змінюватиметься з часом, ми позначимо цей параметр перемінної X отже розподіл розмахів напруг для малого інтервалу часу становится:

[pic].

как в (4.5.14). У окремих випадках це завжди буде розподіл Рэлея (Rayleigh), тоді параметри будут.

[pic].

где (p.s среднеквадратическое значення (СК) компоненти напруг. За інших випадках як, наприклад, на силі опору впливу хвиль, то, можливо також близькими до експонентному розподілу, де у цьому випадку, можна взяти такі параметры.

[pic] І тут, змінна X дорівнює середньому розмаху напруг [pic], а також дорівнює відповідному среднеквадратическому відхилення (p.s. Для великих інтервалів часу, ми можемо прийняти, що параметри a і h постійні, тоді як масштабний параметр X змінюється відповідно до другим гама розподілом з функцією щільності вероятности:

[pic].

Параметри b, j і B можна отримати з регулярних довгострокових вимірів або з розрахунків коливальних напруг заснованих на виключно довгострокової статистиці коливань. Зазвичай, (4.7.4) дається як розподіл залежить від часу, саме як (4.5.15). Проте, т.к. розвиток втоми є типовим процесом залежать від кількості циклів, то точніші результати виходять під час використання розподілу залежить від кількості циклів (4.5.21). Воно застосовується, коли є статечну співвідношення виду (4.5.17) між середнім періодом, і середнім рівнем напряжений.

Розподіл розмаху напруг для великих інтервалів часу. Т.к. втома це тривалий процес, то більшість вхідних даних із навантаженні відповідатиме розподілу розмахів напруг для великих термінів. Щоб його отримати, розмах напруг у кожному стаціонарному стані моря поставлене (4.7.1) може бути оцінено через можливість появи цього стану задану вираженням (4.7.4). Т.а., для великих інтервалів часу розмах напруг зазвичай задають з допомогою интеграла.

[pic].

Для цього розподілу, момент Mm головного, необов’язково целочисленного, порядку m то, можливо точно знайдено як [pic].

В окремих випадках народних обранців для оцінки усталостного ресурсу при среднеквадратических значеннях напруг мають гама розподіл. А, щоб знайти власне щільність ймовірності f (S), вираз (4.7.5) то, можливо інтегровано аналітично, але лише обмеженому числі випадків. Найчастіше, близьке гама розподіл то, можливо знайдено різними шляхами. Це докладно описано в главі 4.5, а тут лише підведено итог.

Функція щільності ймовірності задля розподілення розмахів напруг для великих інтервалів часу то, можливо записана як і (4.5.23):

[pic].

где параметри d, k і D визначено як функції невідомих параметрів a, h, b, j і B. Є, по крайнього заходу, три методу їхнього получения:

1. Елементарний метод, глава 4.5.1;

2. Метод логарифмічних моментів, глава 4.5.3;

3. Метод седловой точки (метод перевалу), глава 4.5.5.

Елементарний метод, глава 4.5.1, широко використовує зручні властивості двухпараметрового розподілу Вейбулла (Weibull). Проте, т.к. це окреме питання основного гама розподілу, можна заздалегідь прийняти, що всіх параметрів форми розподілу рівні одиниці. Це вимагає, що у розподілах ймовірностей (4.7.1), (4.7.4) і (4.7.7) будет.

[pic].

Масштабный параметр D в заданому великому інтервалі часу обчислюють з (4.5.12) і параметр нахилу k знаходять з таблиці 4.5.1. Насправді, масштабний параметр D пов’язані з граничною амплітудою для великого інтервалу часу, вказаній у (4.5.12) через Yc, це часто буває зручний, т.к. усталостный ресурс і можливість перегружения описуються багато в чому одними і темі ж переменными.

Метод логарифмічних моментів, глава 4.5.3, використовують із отримання точних значень для перших трьох логарифмічних моментів задля розподілення ймовірностей (4.7.7). Параметр форми d визначають з (4.5.35). Потім, параметр нахилу k обчислюють з (4.5.36), і, нарешті, масштабний D параметр знаходять з (4.5.37). Цей метод дає хороше відповідність у центральній сфері розподілу та, т.а., найкращий для розрахунків на втома. Метод є найбільш загальним, т.к. всіх параметрів форми розподілу a, b і d в (4.7.8) може мати довільні значения.

Метод седловой точки, глава 4.5.5, є асимптотическим методом, що дає найкращі результати з оцінки граничних напруг. Він то, можливо зручний усталостных цілей за його чисельної простоти. Тут параметр форми d заданий вираженням (4.5.82). Параметр нахилу k заданий (4.5.86), масштабний параметр D (4.5.87). Подібно елементарного методу, його визначає як граничні напруги, але що й напружене стан для короткого інтервалу часу, у якому появу цього циклу граничних напруг найімовірніше. Це умова визначають з допомогою масштабу напруг Xc, даного в (4.5.92) і тривалості (4.5.95) вимірюваною за n циклів. Метод седловой точки вимагає, щоб параметр форми для малого відрізка часу a в (4.7.1) дорівнював единице.

Коефіцієнт концентрації напруг. Перш, розмах напруг P. S запроваджувався без подальшого пояснення. Проте, в втоми елементів конструкції і більше в механіці руйнації, важливо розглядати напруги на правильному структурному рівні, і навіть вірну компоненту тензора напруг чи комбінацію компонент. Для цього, вводять коефіцієнт концентрації напруг у ролі зв’язок між загальними та місцевими напряжениями.

Наприклад, як уже згадувалося у розділі 3.8.6, еквівалентний брус (корпус судна сприймається як балка) може зазнати у неповній середній частини вертикальному изгибающему моменту M. Цей изгибающий момент вносить загальні подовжні напруги (global в корпусі корабля. Співвідношення з-поміж них виражається через модуль перерізу корпусу W, певний в (3.1.18) отже (global =M/W. Подивіться рис. 4.7.2. Тепер припустимо, що у корпусі є прямокутний люк. Подовжні напруги вздовж поперечного краю люка обов’язково рівні нулю отож у прилеглої області корпусу викликаються вищі напруги, особливо у кутках. Передбачається, що місцеве значення поздовжніх напруг пропорційно загальному напрузі, співвідношення задається теоретичним (геометричних) коефіцієнтом концентрації напруг Kt, отже (local =Kt (global.

[pic].

Рис. 4.7.2 Концентрація напруг, обумовлена наявністю люка в корпусі корабля. Загальні подовжні напруги, викликані изгибающим моментом, куди впливає люк, породжують концентрацію напруг у углах.

У деяких конструкціях, наприклад, у з'єднаннях труб, коефіцієнт концентрації напруг змінюватиметься поблизу замкнутого контуру краю елемента у досить складному зразку, будучи причиною зростання до критичних значень, що їх називають «hot spots» (тобто. області підвищених напруг). У деяких даних із втоми, як-от у першому виданні роботи /6/, елементи конструкції класифікують відповідно до показнику впливу надрізи (ефективного коефіцієнта концентрації напруг) Kf, який використовують при побудові усталостных кривих. Ефективний коефіцієнт концентрації напруг є певним коефіцієнтом концентрації напруг, перетвореним у тому, щоб врахувати конкретну усталостную міцність матеріалу. Для тендітних матеріалів ефективний коефіцієнт концентрації напруг Kf близький до теоретичного коефіцієнта Kt. Для пластичних матеріалів може б бути значно нижче, відхилення задається індивідуальним коефіцієнтом чутливості матеріалу до концентрації напряжений.

Ми розглядатимемо розмах напруг P. S в описаних вище функціях ймовірності як номінальні напруги. Це може належить до загальним, місцевим і сублокальным напругам залежно від обставин, в основному до тих типам напруг, що необхідні S-N кривих. Деякі S-N криві вимагають, щоб коефіцієнт концентрації напруг включав компоненти номінальних напруг. Інші S-N криві враховують можливі коефіцієнти концентрації напруг у відповідному елементі конструкции.

У механіці руйнації тензор номінальних напруг належить до компонентами сублокальных напруг, т.к. вони у сфері розтріскування, коли тріщин ще немає. Справжнє фізичне напружене стан описують з допомогою перемінної інтенсивності локальних напруг, що з номінальними напругами геометричній функцією, а вона, своєю чергою, залежить від розміру тріщини. Однак понад докладно це завжди буде описано у розділі 4.7.5.

Глава 4.7.2 Дані усталости.

Як згадувалося у вступі, у принципі, є дві різних методу для передбачення усталостного ресурсу, саме, метод Палмгрена-Майнера і метод механіки руйнації. Обидва методу покладаються на лабораторні дані, але різних типів. Перший метод грунтується на S-N кривих, його розглянуть в цієї главі. Метод механіки руйнації грунтується на da/dN кривих, він коротко зачеплять у розділі 4.7.5.

Загальна інформація по S-N кривим. S-N криві показують число циклів Nf, яке зразок може витримати до руйнації. Усі цикли у випробуванні мають певний розмах напруг чи амплітуду і вимір однією зразку дає одну точку на кривою. Природно, загальна тенденція така, що замість менше розмах напруг P. S, то більше вписувалося ресурс Nf. З іншого боку, ділянки кривих залежить від кількох фізичних факторів, і можуть бути у різних математичних формах. І тому ми можемо дати визначення двох основних типов:

1. S-N криві з логарифмическим масштабом обох вісях (далі - логарифмічні криві), що є лінійними чи кусочнолінійними, у своїй logS перебуває навпаки logN.

2. S-N криві з логарифмическим масштабом одній із осей (далі - полулогарифмические), що є лінійними, у своїй розмах напруг P. S на лінійної шкалою перебуває навпаки logN.

[pic].

Рис. 4.7.3 Схема яка зображує різні S-N криві, у разі для зварних сталевих соединений.

Криві можуть утримувати, або утримувати межа втоми (межа витривалості) S0, тобто. нижню межу розмаху напруг P. S, нижче якого ресурс нескінченний. Для зварних сталевих сполук найчастіше використовують P. SN криві в логарифмічною формі. S-N криві для нержавіючої стали, надрезанных сталевих елементів, алюмінію, дротяних тросів тощо. частіше всього представлені у полулогарифмической формі. Приклади логарифмічних S-N кривих показані на рис. 4.7.3. Приклади полулогарифмических кривих є рис. 4.7.6.

Зварні сталеві сполуки. Усталостные тріщини в сталевих конструкціях часто обмежені зварними сполуками. Досвід свідчить, це причина те, що усталостные ушкодження обмежені цими областями. Дані S-N криві рекомендовані до розрахунку зварних сталевих сполук мають форми показане табл. 4.7.3. Надалі ми посилатися різні форми кривих, як то:

1. S-N криві без краю втоми, такі як I і IV.

2. S-N криві з межею втоми, такі як II і III.

3. Билинейные S-N криві, такі як V.

Все криві побудовано з урахуванням кривою I, має аналітичну, логарифмічну форму: [pic].

Безразмерный параметр m визначає нахил кривою. S1 — масштабний параметр, який має таку ж розмірність, як і розмах напруг P. S. Він то, можливо зрозумілий як фіктивний розмах напруг, що визначає усталостные ушкодження після одного циклу. Якщо P. S представляє замість розмаху напруг (подвійний амплітуди) одиничну амплітуду напруг, то S1 також може бути перетворено з амплітуду напруг (половину розмаху). Частіше лише у літературі використовують альтернативний параметр A. Проте, це може викликати труднощі на зміну одиниць виміру. Для описи ресурсу статистично, при даному розмаху напруг, зазвичай приймають, що A є нормальним логарифмом отже logA нормальний при даному середньому значенні і среднеквадратическом відхиленні. Номінальне значення A зазвичай дано як 95.5% виживання, як показано в табл. 4.7.2. Стандартні значення, закріплені за параметрами m і S1 (чи logA), зазвичай визначають ряд класів втоми: B, З, D, E, F, F2, G, W, T і X.

Табл. 4.7.2 Параметри стандартних класів S-N кривых.

| | |S1 в |Log10A |E (log|((log10| |Клас |m |N/мм2 |97.5% від |10A) |A) | |втоми | |Розмах |показників |Средн|Стандар| | | |напряже|выживаемости|ее |тное | | | |ний | |значе|отклоне| | | | | |ние |ние | |B |4.0 |5656 |15.01 |15.36|0.1821 | |З |3.5 |7839 |13.63 |97 |0.2041 | |D |3.0 |11 482 |12.18 |14.03|0.2095 | |E |3.0 |10 155 |12.02 |42 |0.2509 | |F |3.0 |8577 |11.80 |12.60|0.2183 | |F2 |3.0 |7528 |11.63 |07 |0.2279 | |G |3.0 |6261 |11.39 |12.51|0.1793 | |W |3.0 |5412 |11.20 |69 |0.1846 | |T |3.0 |11 307 |12.16 |12.23|0.2484 | |X |4.1 |3640 |14.60 |70 |0.4200 | | | | | |12.09|(xxx) | | | | | |00 | | | | | | |11.75| | | | | | |25 | | | | | | |11.56| | | | | | |62 | | | | | | |12.66| | | | | | |06 | | | | | | |15.44| | | | | | |00 | |.

log означає log10.

Для відповідних класів, значення параметрів дано у табл. 4.7.2, виражені через m і S1, разом із статистичними параметрами для logA. Цей тип зварних сполук, у разі, належить до найбільш типовому класу втоми. Деякі, обрані елементи конструкцій, які стосуються класам E, F і G показані на рис. 4.7.4. Більше повний огляд зварних сполук і рекомендованих класів втоми є у ряді робіт, наприклад /3/, /4/ і /6/.

Тоді як клас втоми пов’язані з типом елемента конструкції, форма S-N кривою, належить рис. 4.7.4, пов’язані з оточуючої конструкцію середовищем. Тому, щодо різноманітних умов експлуатації існує кілька що б підхід, що може бути визначено наступним образом:

. Крива I: Основна крива під час використання в спрощених дослідженнях і у звичних умовах. Чисельно, параметри кривою m і S1 (чи logA) дано у табл. 4.7.2. Для великих напруг, криві інших типів ідентичні кривой.

I, крім кривою IV, де час до руйнації скорочено на половину.

Британский стандарт /4/, запропонував криві II і III, так:. Крива II: Елементи в коррозионной середовищі. Межа втоми Nf=2×108.

(xxx) Розмах напруг нижче цього рівня не в сприяє процесу втоми.. Крива III: Елементи в повітряної середовищі. Межа втоми Nf=2×107. (xxx).

Департамент по энергоснабжению /5/, запропонував криві IV і V:. Крива IV: Елементи в коррозионной середовищі, без захисного покриття. Термін служби скорочується до 0,5Nf (logNf зменшений на 0,30) проти основний кривою.. Крива V: Елементи в повітряної середовищі і елементи у морській воді з адекватної катодного захистом. Крива має злам у точці Nf=107, отже напруги нижче цього рівня мають кінцеве послідовно зменшуване впливом геть процес усталости.

Конкретно ці випадки та їх поєднання було прийнято зі змінами чи ні неї і деяких інших умов експлуатації, як-от в /3/ і /6/.

[pic].

Рис. 4.7.3 Обрані зварні сполуки відповідно до класам усталости.

Глава 4.7.3 Замкнуте вид формул усталостного ресурса.

Загальні міркування. У багатьох емпіричних досліджень втоми оцінювалися ушкодження й тріщини, виниклі під впливом синусоидальных коливань напруг із постійною амплітудою. Проте, представлені вище циклічні навантаження, зокрема коливання напруг викликані хвилями, завжди випадкові. Отже, у тому, щоб застосувати результати лабораторних випробувань до завбачення усталостных ушкоджень в морських конструкціях, необхідно зробити деякі припущення в підсумовуванні вкладів у процес втоми послідовних циклів напруг з перемінної амплітудою. У разі, процес може бути описаний і оцінено статистично. Формула Палмгрена-Майнера визначає накопичені усталостные ушкодження через перемінні що входять до коефіцієнт використання (: [pic].

де P. S — амплітуда напруг чи розмах напруг (тобто. подвійна амплитуда),.

((коефіцієнт використання, який свідчив про руйнуванні при (=1, n (S) — дійсне число циклів з амплітудою напруг чи розмахом S,.

N (S) — число циклів до руйнації Nf при амплітудою напруг чи розмаху S.

Сумма узята за всі рівням напруг. Якщо n циклів напруг взагалі, яке випадково розподілено з щільністю ймовірності f (S), це означає, що кількість циклів напруг між P. S і S+dS одно nf (S). Отже, коефіцієнт використання (4.7.10) то, можливо вирахувано з допомогою интеграла.

[pic].

Число циклів до руйнації N (S) визначають з допомогою відповідної кривою Велера, чи S-N діаграми, звичайною справою є підібрати математичну криву, переважно пряму лінію, до емпіричним точкам в цій S-N диаграмме.

Основна логарифмічна S-N крива. Що стосується логарифмічною S-N кривою, а саме крива I на рис. 4.7.3, число циклів до руйнації N (S) то, можливо записано як і (4.7.9). Якщо цей вислів підставити в (4.7.11), ми одержимо коефіцієнт использования:

[pic].

где Mm — визначають як статистичний момент з порядком розподілу розмаху напруг m. Якщо зразок піддається n циклам навантаження за стаціонарний недовго (скажімо, приблизно n=1000 за годину), де розмах напруг має гама розподіл відповідно до (4.7.1), то збільшення усталостного коефіцієнта використання будет.

[pic].

где ми застосували формулу моментів (2.6.18) для гама распределения.

Для великих термінів, елемент має цикли напруг з гама розподілом (4.7.7). Параметри d, k, і D можна визначити з допомогою однієї з методів згаданих вище, у розділі 4.7.1. Відповідно, коефіцієнт використання після n циклів (скажімо, n=108 за 20 років) равен.

[pic].

В тому випадку, їх кількість можна знайти простіше й точніше при використанні (4.7.6). Що дает.

[pic].

Часто, повні функції гама розподілу може бути враховано на кишеньковому калькуляторі з функцією факториала (!) застосовувану для дробових чисел. Отже, можна використовувати вираз (2.6A.8) [pic].

Кроме того, гама функція включено до таблицю при застосуванні B, наприкінці книги.

S-N криві з межею втоми. Межа втоми (витривалості) означає, що цикли напруг з амплітудою менше, ніж граничне значення S0 не вносять свій внесок у суму Майнера (4.7.9). Криві II і III на рис. 4.7.3 саме такої виду. Ураховуючи цей межа, (4.7.9) слід записати как.

[pic].

Объединение цієї S-N кривою із розподілом напруг (3.1.1) дає приріст сумі Майнера для коротких інтервалів, після n циклов:

[pic].

которая заміняє вираз (4.7.13). Неповна гама функція ((_;_) визначається висловлюваннях з (2.6.3) по (2.6.8). Відповідно, буде в діапазоні великих термінів усталостный коефіцієнт використання, напрацьований протягом n циклів напруг розподілених відповідно до (4.7.7), становится.

[pic].

который заміняє (4.7.14). Точна формула відповідна (4.7.15) не найдена.

Кількісна визначення функцій (4.7.18) і (4.7.19) потрібно завжди, т.к. з урахуванням цих формул то, можливо побудована діаграма втоми, ми називаємо її C-N діаграмою, яка використовується для процесів зі випадковими нагружениями, так само, як використовується S-N крива для регулярних синусоидальных напруг. Подивіться рис. 4.7.5. Формально коефіцієнт використання (в (4.7.18) і (4.7.19) то, можливо записано подібно (4.7.10):

[pic].

Здесь n (C) — дійсне число циклів напруг у умовах з масштабним коефіцієнтом З. Змінна З аналогічна XX ст (4.7.1) у разі малого інтервалу часу й D в (4.7.7) у разі великого. Так само, N (C) — їх кількість циклів до руйнації для процесу випадкового навантаження з масштабом З, як випливає з діаграми. Сума узята за всі умовам навантаження. Це описано докладніше у роботі /8/.

[pic].

Рис. 4.7.5 Приклад C-N діаграми, це крива показує число циклів до руйнації. Амплітуди напруг відповідають розподілу Вейбулла і мають параметри розподілу l, h, З /8/. Дані ставляться до сполукам класу X.

Билинейные S-N криві. S-N криві мають межа втоми, згадані попередній главі, не вносять внесок у процес втоми за досить малому розмаху напруг, саме менше S0. І все-таки, конструкції мають чутливістю до малих навантажень, яка збільшується з віком. Невелика амплітуда, яка впливає втома, коли конструкція нова, може зробити значний внесок, коли усталостный ресурс конструкції добігає кінця. А, щоб врахувати це явище, в ролі S-N кривою було запропоновано крива V на рис. 4.7.3. При певному рівні напруг S0, крива змінює нахил тож кількість циклів до руйнації можна записать.

[pic].

Численно, параметри може бути пов’язані між собою наступним образом:

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

Подставленные разом із розподілом розмахів напруг для великого інтервалу (4.7.7) в коефіцієнт використання (, вони дають вираз замкнутого вида:

[pic].

Дополнительная пара неповних гама функцій ((_;_) і ((_;_) визначена у рівняннях (2.6.3) — (2.6.8).

S-N криві, які поділено на велика кількість прямих ліній, як і можуть бути висловлюваннями замкнутого виду типу (4.7.26). Проте, формули міститимуть стільки членів, наскільки це завжди буде зручне проведення чисельного суммирования.

Полулогарифмические S-N криві. Що стосується полулогарифмической S-N кривою, навпаки logN (S) завдають розмах напруг P. S. Пряма лінія у цьому графіці зазначає, що кількість циклів до руйнації N (S) то, можливо записано.

[pic].

где N (S) — число циклів до руйнації при розмаху напруг S,.

N0 — параметр S-N кривой,.

P.S — розмах напряжений,.

B — параметр нахилу S-N кривой.

Подивіться приклади на рис. 4.7.6. Параметр N0 може бути прийнятий в ролі фіктивного числа циклів який буде необхідний здобуття права викликати руйнація, коли розмах напруг нульовий. Природно, утомлююча руйнація за нульової амплітудою неможливо. Через це, обов’язково має існувати межа втоми S0.

[pic].

Рис. 4.7.6 Приклади полулогарифмических S-N кривих. Лівий малюнок узятий із /1/ і належить до сталевим зразкам сек. і без надрізи, з ясно вираженим межею втоми. Правий малюнок узятий із /7/ і S-N криві для сталевого троса різної конструкції й у різноманітних умовах оточуючої среды.

Навпаки, коли ми ігноруємо межа втоми, вважаючи S0=0, і введемо (4.7.27) в (4.7.11), ми одержимо [pic].

((t) розглядають як характеристическую функцію розподілу розмахів напруг, як це визначено в (2.4.8). Далі, перебування усталостного ресурсу зводиться до завданню обчислення характеристичною функції розподілу. Багатьом розподілів ймовірностей існують і відомі формули, які можна знайти у книжках з даної теме.

Якщо межа втоми S0 є, як і дійсно треба в (4.7.27), то запровадження розподілу розмахів напруг для великого інтервалу часу (4.7.7) дає коефіцієнт использования:

[pic].

Этот інтеграл може бути точно лише обмеженому числі випадків, окремі буде узагальнено нижче. У елементарному гама розподілі k=1, що дает.

[pic].

Неполную гама функцію знаходять як і (2.6.7). Експоненціальне розподіл з d=k=1 є особливою випадком, який дает.

[pic].

В однобічному нормальному розподілі d=½ і k=1, що дает.

[pic].

Наконец, розподіл Рэлея для розмахів напруг, тобто. d=1 і k=2, дает.

[pic].

где ((_) (нормований нормальний інтеграл, певний з допомогою (2.3A.1).

Втома викликана несталою навантаженням. (xxx) До цього часу ми розглядали лише стаціонарні (тобто. із постійною амплітудою), випадкові напруги. Поки від формул втоми замкнутого виду, буде доречно звернути увагу до конструкції, котрі мають несталі (тобто. з перемінної амплітудою) коливання після імпульсної навантаження. Прибережний кран, нижня запис на рис. 4.7.1b, може бути прикладом цієї явища. Більше схематичне зображення дано на рис. 4.7.7. Коли частина вантажу піднімається краном, конструктивний елемент в крані відчує зміна в статичному рівні напруг Z. Якщо статична напруга повертається на початковий рівень, коли знято, то елемент відчув один усталостный цикл напруг із колосальним розмахом напруг Z. Використання основний логарифмічною S-N кривою (4.7.9) показує, що ця одинична операція підйому збільшила коефіцієнт використання (на.

[pic].

[pic].

Рис. 4.7.7 Послідовність розмахів напруг несталою реакції, отримана з допомогою методу дощового потоку для підрахунку циклів (the rain-flow cycle counting method). Жирна лінія показує квазистатический цикл напруг з більшим розмахом Z.

Проте, це занижена оцінка, т.к. поза обліком динамічні явища. Напружене стан свідчить у тому, що з відхиленням початкового значення, описаним коефіцієнтом динамічності (, слід послідовність невстановлених циклів, розмах напруг яких послідовно зменшується на величину котру визначаємо показником e-(T=e-((. Тут, ((коефіцієнт загасання, T — період коливань і (=(T/2((це відносне зменшення (частка критичного демпфирования).

До цього часу був сказано у тому, як підрахувати цикли напруг. Передбачалося, що цикл може мати симетричний період, отриманий або з спектральною функції (2.5.78), або за методу порогового перетину (threshold crossing procedure), як і главі 2.3.3(i). Що стосується невстановлених коливань це працює. Але ми можемо використати більш загальний метод, відомого як метод дощового потоку для підрахунку циклів (rain-flow counting method). Докладніше опис подивіться, наприклад, у роботі /2/. Цей метод дає размахи напруг зазначені на рис. 4.7.7 як No 1, 2, 3 і т.д.

Підставляючи ці цикли напруг у формулу Палмгрена-Майнера (4.7.10) і проводячи підсумовування (без краю втоми), ми матимемо уточнену утомлююча значення [pic].

Сравнивая з (4.7.34), очевидно, що вираження у фігурних дужках це коефіцієнт посилення для процесу втоми, викликаного несталими коливаннями. Як типових значень, ми можемо підставити m=1 і (=0,025, що дает.

[pic].

Скажем, коефіцієнт динамічності (=1, через невстановлених процесів, дає коефіцієнт посилення втоми рівний 7. Це відповідає зниження ресурсу, отриманого тільки з змін статичної навантаження, до 1/7. Подробиці дано у роботі /9/.

Глава 4.7.4 Природна дисперсия.

У плані 4.3, ми дотримувалися те, що екстремальна значення в послідовності випадкових амплітуд має деяку дисперсию чи похибка, саме (4.3.19), навіть якщо параметри розподілу амплітуд відомі точно. Ми назвали це явище природною дисперсией екстремального значения.

Ми маємо такий ефект й у втоми. Оскільки коефіцієнт використання (це сума вкладів у втома окремих циклів напруг, ця сума також обов’язково буде випадкової, і матиме деяку дисперсию. Якщо всі перемінні цього матеріалу і параметри розподілу напруг розглядаються як задані, то коефіцієнт використання (, а також прогнозований ресурс, однаково мати похибка викликану природною дисперсией.

Розподіл окремих стрибків. Ми можемо розглянути коефіцієнт використання як точку рухливу стрибкоподібно вздовж координатної осі (. Спочатку, коли конструкція нова, цю крапку розташована на (=0. Передбачається, що конструкція зношена чи потребує ремонту, коли точка проходить через (=1. Коефіцієнт використання (, у цьому відрізку, переміщається скачками.

[pic].

движимый вперед окремими циклами напруг. Взагалі, ((j — це зростання, викликане j-м циклом напряжений.

Середній період напруг можна визначити через T. Після закінчення часу t=nT конструкція відчуває n циклів напруг і значення коефіцієнта використання можна записати как.

[pic].

Длины окремих стрибків ((належать одному й тому статистичному ансамблю і можна припустити, що вони теж мають один і той ж розподіл ймовірностей. Тому, для зручності, ми опишемо довжину стрибка ((з допомогою випадкової величини ((=xi. Ця змінна пов’язані з розмахом напруг P. S дійсних циклів напруг у всій S-N кривою. З огляду на, для зручності, основну криву (4.7.9) це справді дає [pic].

Теперь, P. S — розмах напруг викликаний дією хвиль на конструкцію, який підпорядковується гама розподілу з щільністю ймовірності для великих інтервалів часу (4.7.7), тобто. g (d, k, D; S).

Т.к. співвідношення (4.7.39) узгоджується з перетворенням енергії (2.6.31), то довжина стрибка xi також підпорядковується гама розподілу з функцією щільності ймовірності f (xi).

[pic].

как отримали в (2.6.33). Математичне очікування [pic] довжини стрибка xi отримано з (2.6.17) як момент першого порядку [pic].

Соответствующие статистичні моменти порядку 2 і трьох близько нуля.

[pic].

и [pic].

соответственно. Для подальшого використання, ми підставили узагальнені швидкості U, V і W, певні з висловів [pic].

В частковості, U може інтерпретуватися як зростання коефіцієнта використання (за цикл.

Дисперсія [pic] довжини стрибка xi може бути отримана як момент другого порядку (2.4.3), що дает.

[pic].

Параметр ((це среднеквадратическое відхилення [pic]относительно математичного очікування довжини стрибка [pic], цей параметр можна знайти й в (2.4.3). Є схожість із (2.8.34) по ширині диапазона.

Аналогічно, центральний момент (3(xi) довжини стрибка xi то, можливо отримано з (2.4.4) і можна записать.

[pic].

((це коефіцієнт асиметрії довжини окремого стрибка. Наприклад, для експоненційного розподілу він дорівнює 2, а нормального розподілу 0.

Розподіл ймовірностей довжини стрибка ((=xi має характеристическую функцію ((p.s), певну загалом в (2.4.8) как.

[pic].

где p. s, загалом, то, можливо комплексним параметром. Розпад експоненти в интеграле до кількох даст.

[pic].

Почленно інтегруючи по xi та враховуючи висловлювання (4.7.41) — (4.7.44) одержимо [pic].

Говорячи фізичним мовою, окремі вклади xi в коефіцієнт використання, що напругами викликаними хвилями, зазвичай досить-таки нерегулярні. Якщо розмах напруг розподілено експоненціально, що це часто буває в морських конструкціях, то окремий внесок xi для m=1 має среднеквадратическое відносне відхилення (=4,36 і коефіцієнт асиметрії (=19,6. Отже, функція щільності ймовірності окремих приростів коефіцієнта використання дуже широка й у значною мірою асимметричная.

Рівняння руху для коефіцієнта використання. Коефіцієнт використання (в останній момент часу t описують з допомогою функції щільності ймовірності (((, t). Відповідну характеристическую функцію позначимо через ((s, t), де p. s — така сама змінна, як й у (4.7.48). Її одержують з допомогою перетворення щільності ймовірності (((, t).

[pic].

Позже, ця характеристичний функція буде використано висновку диференціального рівняння у приватних похідних для (((, t).

Тепер, якщо коефіцієнт використання після n циклів напруг вказано через (n, як і (4.7.38), то коефіцієнт використання одним періодом пізніше будет.

[pic].

Согласно гіпотезі Палмгрена-Майнера, внесок xi залежить від попередніх вкладів, отже (n і xi статистично незалежні. У зв’язку з цим, характеристичні функції перемножуються, як і встановлено правилом З в главі 2.4.2(iii). Т.к. цих функцій вже определны у висловлюваннях (4.7.50) і (4.7.47) відповідно, то характеристичною функцією задля розподілення ймовірностей (в останній момент часу t+T будет.

[pic].

Коэффициент використання (збільшується стрибкоподібно і нерегулярно. Отже, не має безупинної швидкості зміни, хоча можна вивести її середнє з швидкості зростання U в (4.7.41). Проте, вважатимуться, що функція ймовірності (((, t) і характеристична функція ((s, t) змінюються у часі безупинно. Т.а., ми можемо знайти похідну характеристичною функції часу з прикладу зміни через один цикл напруг T.

[pic].

Левую частина висловлювання усунути на похідну (4.7.50) за часом, тоді як і праву частина можна підставити (4.7.52) і (4.7.49).

[pic].

Если ми розглядаємо ((s, t) як перетворення Лапласа (Laplace) по (, що входить у щільність ймовірності (((, t), то члени виду sj ((s, t) в (4.7.54) буде визначено як перетворення Лапласа похідних від (((, t) по (. Формально, може бути вивести з допомогою трьох послідовних интегрирований частинами правого інтеграла з (4.7.50). Підставлене в (4.7.54) воно даст.

[pic].

Первым необхідною передумовою всіх (і t у тому співвідношенні і те, що функція щільності ймовірності має відповідати диференціальному рівнянню у приватних производных.

[pic].

Это рівняння Фоккера-Планка третього порядку (подивіться роботу /10/), що містить усунення, розсіювання і асиметрію. Дане рівняння кількісно описує поведінка функції ймовірності з часом. Три коефіцієнта U, V і W задано в (4.7.44) і може бути враховано на основі параметрів розподілу ймовірностей та об'єктивності даних по S-N кривых.

Проте, що (4.7.56) була повною рішенням, для граничних членів у другий рядку (4.7.55) необхідно, що (((, t) та її два похідні по (, були рівні нулю при (=0 і (=(. Т.к. функція щільності ймовірності (4.7.40) довжин окремих стрибків xi може дорівнювати нескінченності при xi=0, то (((, t) також може бути спочатку дорівнює нескінченності. Через це, одне рівняння Фоккера-Планка (4.7.56) не може досить повно описати перший етап розвитку усталости.

Моменти і наближені рішення. Крім рівняння Фоккера-Планка (4.7.56), можна здобути доволі хороші дані про усталостному розподілу ймовірностей (((, t) враховуючи моменты.

Як встановлено вище, ми можемо розглядати довжини стрибків у сумі (4.7.38) як статистично незалежні. Відповідно до правила З в параграфі 2.4.2(iv), три перших центральних моменту складаються. Тобто. середнє значення [pic] і двоє перших центральних моменту коефіцієнта використання після n циклів будут.

[pic].

[pic].

[pic].

Т.о., среднеквадратическое відхилення, як і момент третього порядку коефіцієнта (, зростатиме зі збільшенням n. Среднеквадратическое відхилення величини (щодо математичного очікування будет.

[pic].

где ((це відносна дисперсія кожного окремого стрибка, певна в (4.7.45). Так само, показник асиметрії коефіцієнта використання після n циклов.

[pic].

где ((основна асиметрія (4.7.46) окремими перегонах. Т.а., як відносна дисперсія, і показник асиметрії зменшуються із поліциклічним перебігом часу й зростанням n. Залежно від значення показника асиметрії (3, функція ймовірності (((, t) то, можливо приблизно знайдено з допомогою стандартних распределений.

Коли асиметрія ставати менше двох, тобто. (3(2,0, розподіл ймовірностей (((, t) для (то, можливо представлено експонентним гама розподілом з щільністю (4.2.21). Це має місце для розмахів напруг розподілених експоненціально і m=3 при n (96 циклів. Функцію щільності імовірності можна записать.

[pic] Параметри a, h і u (не плутати з параметрами (4.7.1)) можна знайти з моментів, як і показано у розділі 4.2.2.

Спочатку, з рівняння (4.2.32) визначають форму чи параметр асиметрії a як вирішення уравнения.

[pic].

Затем, знаходять параметр дисперсії h, як і в (4.2.33), т. е.

[pic].

Наконец, параметр поширення u обчислюють з (4.2.34).

[pic].

(-функции — це поли-гамма функції, їх подано при застосуванні B.

Коли час минає і асиметрія стає менше, наприклад (3(0,4, для поли-гамма функцій можна використовувати деякі асимптотические формули. Для экспоненциальных розподілів розмахів напруг це відбувається за n (2400. Параметри експоненційного гама розподілу a, h і u можна визначити з більш простим формулам.

[pic].

[pic].

[pic].

Якщо асиметрія (3 стає менше, такий розподіл коефіцієнтів використання (((, t) можна функцією нормального розподілу ймовірностей. Щільність імовірності можна записати [pic].

Для числа циклів n=9600, у разі експоненційного розподілу розмахів напруг, асиметрія (3=0,2. Найчастіше, це пренебрежимо мала величина тож решту можна використовувати функцію щільності нормального розподілу ймовірностей. Отже, функція нормального розподілу ймовірностей (4.7.69) достатня під час вирішення більшості завдань із многоцикловой втоми. Для малоцикловой втоми зі випадковим нагружением, значення прогнозованого ресурсу то, можливо повністю приховано природною дисперсией.

Модель випадкового блукання. Поняття природною дисперсії в втоми то, можливо, також, отримано з допомоги у певної міри штучної, але повчальною моделі випадкового блукання. Такий спосіб можна сформулювати наступним образом:

. Коефіцієнт використання (зростає стрибкоподібно, ці стрибки мають певну довжину L.. До кожного циклу напруг існує певна ймовірність p те, що (зробить крок вперед, і навіть ймовірність (1-p) те, що він залишиться незмінним.. Можливість стрибка щодо одного циклі залежить від попередніх скачков.

Данное значення коефіцієнта використання (визначають після j стрибків, а именно.

[pic].

Однако, ці стрибки з’являтимуться нерегулярно. Можливість те, що в перебігу n (j циклів коефіцієнт використання матиме j стрибків, задана функцією ймовірності биномиального распределения.

[pic].

Для короткої ілюстрації цього, розглянемо особливий випадок, коли ймовірність зростання (протягом циклу дорівнює 50% і можливість те, що він залишиться колишнім як і 50%.

[pic].

Это робить ймовірність (4.7.71) равной.

[pic].

Для перших циклів, розподіл ймовірностей показано на рис. 4.7.8, його легко визначити за таблицею биномиальных коэффициентов.

[pic].

Рис. 4.7.8 Залежність функції ймовірності коефіцієнта використання (від кількості циклів, для випадку p=(1-p)=0,5.

Очевидно, що лише по кількох циклів, (дискретне) розподіл ймовірностей утворює блоковое безліч певної ширини. За кожен цикл, вершина цього безлічі робить вперед, ширина її також увеличивается.

У випадку висловлювання (4.7.71), середнє [pic] і розбіжність ((коефіцієнта використання після n циклів рівні соответственно.

[pic].

Следовательно, відносна дисперсія після n циклов.

[pic].

Сравнивая цей вислів з рівняннями (4.7.57) і (4.7.60), можна зробити висновок, що, коли математичне очікування довжини одного стрибка [pic] і відносна дисперсія (відомі, параметри випадкового блукання L і p будуть [pic].

Параметры [pic] і (дано точно в (4.7.41) і (4.7.45). Виразні безпосередньо через статистичні моменти M1(xi) і M2(xi) окремого стрибка xi, узяті з (4.7.41) і (4.7.42), самі перемінні будут.

[pic].

Если m=3 і размахи напруг розподілені експоненціально, то L=20[pic] і p=1/20. Це означає, що у методу пов’язаних випадкових блукань коефіцієнт використання зросте випадково середньому разів у двадцять циклів, ще, він зростає стрибком протягом цикла.

У методі випадкових блукань асиметрія до уваги береться. Він відповідає спрощеному рівнянню Фоккера-Планка другого порядку, в якому опущений параметр W.

Глава 4.7.5 Метод механіки разрушения.

Походження тріщин й особливо напруженого стану. Втома в металах має фізичну основу, що досить добре вивчена. Першопричини перебувають у субмикроскопическом рівні структури матеріалу. У цьому рівні всі метали мають монокристаллическую структуру, але з деякими недосконалостями як вакансій і дислокаций. Стан навколо дислокації таку ж, як у кінці незакінченого низки зерен на кукурудзяному початке. У металах високої чистоти, лінії дислокаций можна побачити у електронний микроскоп.

У центрі напруг, яке викликано в кристалічній решітці зовнішніми силами, дислокації можуть взаємодіяти і пересуватися. Кращим результуючим рухом є зрушення чи ковзання кристалічних верств щодо одне одного, найбільша чутливість до навантаження виявлено при 45(. Рух дислокаций спрямоване на відновлення геометрично правильної кристалічною грати. Під час цього процесу, лінії дислокаций неодмінно будуть рухатися до кристала, де можна побачити, як мікроскопічні смужки, тобто. смуги ковзання. Сусідні смуги ковзання утворюють хвилясту поверхню, де канавки діють як центри зародження мікротріщин поширених вздовж межкристаллитных кордонів. Ці тріщини будуть найчутливіші до компонентами напруг спрямованим з точки 90(до тріщини, під впливом циклічних навантажень, вони зростати стрибкоподібно. Вони звичайно йдуть із поверхні завглибшки металу і якщо зразком докладено слабке растягивающее зусилля, їх можна як маленькі надрывы.

Факт розкриття тріщин при низьких напругах зазначає, що ще можна використовувати лінійна залежність між деформаціями і напругами. Елементи тензора напруг так можна трактувати безперервні функції від часу й відстані. На мікроскопічному рівні, ця рівна і безперервна картина порушується микротрещинами, вершини яких виявляються як невеликі місцеві сингулярності (особливі точки або області) у безперервному полі напряжений.

Зокрема, ми можемо розглянути невелику пласку тріщину що йде з поверхні. Розподіл місцевих напруг можна описати в локальної системі координат, де осі x і z перпендикулярні лінії фронту тріщини, як показано на рис. 4.7.9.

[pic].

Рис. 4.7.9 Координати описують залежність між локальними деформаціями і напругами у фронту трещины.

Висловлюючи лінійне рівняння зв’язку деформацій і напруг у полярних координатах (r,() і допускаючи, що це перемінні незалежні, компоненти локальних напруг можна записати как.

[pic].

Это рішення аналогічно опису неповних кругових хвиль (circular partial waves) в (3.5.8). На поверхнях тріщини, становище яких визначається (=((, як нормальні напруги, і касательные мали бути зацікавленими рівні нулю. Параметр, описує напруги, який пояснює ця потреба, повинен мати радіальну функцію виду [pic].

где n — величина рівна нулю чи цілому числу. Найчастіше, n необхідно опустити, т.к. виходить або нескінченне напруга великих відстанях, або нескінченні деформації у сфері фронту тріщини. Реальним значенням буде n=1, що дає сингулярність у фронту тріщини порядку -½. І тому значення компоненти напруг можна записати в виде.

[pic].

здесь, [pic] (це нормований множник, запроваджений для зручності. Коефіцієнтом K, загальним всім компонент напруг, позначають інтенсивність напруг. Він залежить від форми тріщини і орієнтації тензора номінальних напруг. Він, також, пропорційний переважної компоненті номінального напруги, що тут буде позначена через ((.

У деяких окремих випадках, інтенсивність напруг K то, можливо виведено аналітично з допомогою інтегрування комплексної функції. Для довгою пласкою тріщини в металевої пластині довжиною 2x, перпендикулярної подовжнім напругам, компоненти місцевих напруг (4.7.80) будут.

[pic].

Следовательно, навіть якщо номінальні напруги ((малі, компоненти місцевих напруг (ij у фронту тріщини при r=0 може бути надзвичайно високими. Вони можуть бути й вище, ніж міцність матеріалу на разрыв.

Ця неоднорідність на полі напруг можуть призвести до руйнації матеріалу на вельми малої в області близько вершини тріщини і, т.а., збільшити цю тріщину. Але якщо напруги малі, така неоднорідність буде зведена нанівець коли фронт тріщини проходить відстань що з розміром зерна. З іншого боку, якщо напруги великі, неоднорідність на полі напруг не зрівноважена, і тріщина розвивається на початок лавиноподібного самоорганізованого руйнації, який минає приблизно з швидкістю звука.

Зростання тріщин. Основним припущенням, під час використання механіки руйнації до пояснень втоми, є те, зростання тріщин пов’язані з змінами інтенсивності напруг K. Цикл напруг визначає максимум Kmax і мінімум інтенсивності напруг Kmin, у своїй розмах інтенсивності напруг [pic].

Предположительно, цей цикл збільшить тріщину глибиною x на невелику величину (x:

[pic].

Это вираз відомий як закон зростання тріщин Париса-Эрдогана. З, m і K0 — це емпіричні постійні, отримані внаслідок лабораторних випробувань, їх подано на діаграмах, як і показано на рис. 4.7.10. Цей вид діаграм практично аналогічний діаграмі Велера в методі Палмгрена-Майнера. Криву чи діаграму може бути da/dN кривою, позначаючи, цим, збільшення довжини тріщини a за цикл. Довжина тріщини a служить для описи полуэллиптической тріщин, де a і b позначають довгу коротку полуоси. а — описує глибину тріщини, а 2b — це розкриття трещины.

Інтенсивність напруг прямо до уваги береться. Тому, лабораторні виміру проводять на зразках мають тріщину подібного типу, на яку відомі співвідношень між номінальними напругами і інтенсивністю напруг. Зростання тріщини можна виміряти, усредняя по необхідного числу циклов.

Т.к. крива зростання тріщини пов’язана лише з матеріалом, а чи не з конкретними геометричними особливостями, то зразок то, можливо маленьким, а частота навантаження високої, часто в звуковому діапазоні частот. Проводячи виміру однією зразку, швидко можна було одержати кілька точок на da/dN кривою. Діаграма Велера, навпаки, пов’язана і з матеріалом, і з формою, і, щоб отримати лише одну точку в цій кривою, необхідно випробувати один зразок до руйнації. До до того ж, великі зразки би мало бути випробувані при низькою частоті, тому випробування може тривати кілька днів або тижнів. Т.а., з лабораторної точки зору, аналіз зростання тріщини кращий, ніж класичні випробування на усталость.

Як і (4.7.81), існує лінійне співвідношення між розмахом інтенсивності напруг (K і розмахом основних напруг (((. Віднявши можливий коефіцієнт концентрації напруг, може дорівнювати розмаху номінальних напруг, тобто. подвійний амплітудою, яка була позначена через P. S. Щоб врахувати можливе вплив форми зразків, вираз (4.7.81) можна записати на більш загальному виде:

[pic].

В цьому співвідношенні, g ((x) — локальна геометрична функція, що можна обчислити аналітично чи чисельно з допомогою лінійного аналізу напруг. Довідник таких функцій є у посадах з механіки руйнації, наприклад, у книзі /11/. Член [pic] входить до складу геометричній функції висловлення цієї функції без штриха g (x), далі їй віддадуть перевагу. Підстановка (4.7.84) в (4.7.83) дає підвищення розміру трещины:

[pic].

Теперь, процес втоми може бути описаний як стрибкоподібне поширення тріщини в материале.

[pic].

[pic].

Рис. 4.7.10 Приклад діаграми зростання тріщини чи da/dN кривою, отриманого результаті лабораторних испытаний.

Безрозмірний параметр нахилу m відповідає параметру нахилу в діаграмі Велера, класичне значення m=3.

Рассматривая всі терміни служби елемента, початкова глибина тріщини x0 буде пов’язані з микротрещинами, згаданими вище, а кінцева довжина xf буде досягнуто при руйнуванні матеріалу. Формально, глибина тріщини може визначати коефіцієнт використання (, зростаючий стрибками ((:

[pic].

Подставленный в (4.7.37), він дорівнює зростанню коефіцієнта використання їх у теорії Палмгрена-Майнера, але довжина стрибків ((явно залежить від того плинного значення (чи x.

Розмах номінальних напруг P. S в (4.7.85) той самий, як і (4.7.39). Можна вважати, що вона має функцію щільності ймовірності (4.7.1) для короткий відтинок часу й (4.7.7) у разі великого інтервалу. Довжина стрибка (x має статистичне розподіл відповідно до гама розподілу, усеченному при напругах відповідних межі (K0. Використання статистичного розподілу розмахів напруг (4.7.7) дає очікувану, тобто. середню довжину стрибка [pic].

Если ми враховуємо межа інтенсивності напруг (K0, то неповна гама функція перетвориться на повну. Для простоти, далі ми використовуємо це припущення. З іншого боку, довжина окремого стрибка (x, матиме стандартне відхилення і асиметрію яка підвищує природну дисперсию зростання тріщини. Формули можна отримати аналогічно рівнянням (4.7.41) — (4.7.46).

На відміну через зміну абстрактного коефіцієнта використання (, просування тріщини описує фізичний процес. Часто, стрибки можна фізично побачити, як набір ліній чи смужок лежить на поверхні зламу. Тріщина поширюється із певною швидкістю, визначеної U. Якщо T, як і зараз, позначає середній період напруг, то фронт тріщини просувається з середньої скоростью.

[pic].

здесь ми врахували межа інтенсивності напруг. І тут, залежність від x підвищуватиметься лише крізь геометричну функцію g (x). Рівняння (4.7.89) є диференціальний рівняння руху для x, що може бути, деяких випадках, аналітично інтегровано, що дозволить глибину тріщини x як функцію від часу t.

Розподіл ймовірностей для довжини тріщини. Основне призначення теорії зростання тріщин — передбачити розмір тріщини в останній момент часу t2, якщо в останній момент t1 розмір тріщини відомий. З іншого боку, ця теорія то, можливо використана для передбачення терміну служби елементів конструкцій, як альтернатива методу Палмгрена-Майнера. Коли використовується теорія зростання тріщин, необхідно вибрати початкову глибину тріщини x0 в останній момент часу t=0, що часто причина похибок у оцінці ресурса.

Як згадувалося у вступі до цієї главі, мікротріщини чи схожі концентратори напруг завжди є на металевої поверхні, навіть якщо конструкція нова. Йшлося про початковій глибині 0,1−1 мм. Проте, ця величена найкраще відома вигляді функції ймовірності. Отже, інтегральна функція ймовірності для глибини тріщини буде функцією визначальною становище x та палестинці час t. Ми визначаємо її как.

[pic].

Вероятность те, що глибина тріщини в останній момент часу t перевершить значення x, визначається відповідної ймовірністю превышения.

[pic].

В нагальні моменти часу t=t1, функція F (x, t1) характеризує просту просторову функцію ймовірності для глибини тріщини. Відповідна щільність ймовірності будет.

[pic].

С часом, при дії випадкової навантаження, інтегральна функція ймовірності F (x, t) зміниться. Вона то, можливо описана рівнянням ФокераПланка оскільки це було зроблено для (у натуральному вираженні (4.7.56). У цьому динамічні коефіцієнти U, V і W залежать від розташування x як і, як і був у (4.7.89). Але вплив природною дисперсії викликаної V і W, показану главі 4.7.4(iii), в многоцикловой втоми незначно. Отже, ці коефіцієнти годі й враховувати, залишаючи лише диференціальний рівняння руху першого порядку. По зрозумілих причин, це рівняння можна вивести. Для цього він, ми можемо розглянути деяку крапку у час t, наприклад точку з імовірністю 75%, що розмір тріщини перевершить x. Після тимчасового кроку dt, цю крапку з імовірністю 75% пересунеться вглиб матеріалу на відстань dx=U (x)dt. Проте, до тимчасового кроку dt, цієї нової точці x+dx відповідала ймовірність перевищення яка від 75% на величину ((Q (x, t)/(x)dx. Отже, ми можемо укласти, що локальне тимчасове зміна ймовірності перевищення, в інтервалі часу dt будет.

[pic].

Кроме того, цей вислів така ж, як бажана речовинна похідна за часом від інтегральної функції ймовірності чи ймовірності перевищення, яка дорівнює нулю, т. е.

[pic].

Така сама форма записи використовувалася у розділі 3.1.1 для руху рідини. Просторову щільність ймовірності певну в (4.7.92) знаходять шляхом диференціювання (4.7.94) по x, отже, вона повинна переважно задовольняти рівнянню непрерывности.

[pic].

Оно аналогічно першому порядку рівняння (4.7.56) у відповідь у тому, що ймовірність змінюється оскільки, наприклад, у випадку з сжимаемым у слухавці газом. З іншого боку, для рівняння (4.7.95) дотримується умова нормировки [pic] нічого для будь-якого моменту часу t.

Зміна ймовірності переходу Q (x, t) з часом в певному місці x обов’язково буде монотонно зростаючій функцією. Вона починається з деякого початкового значення й наближається до одиниці, коли час прямує до нескінченності. Через це, Q (x, t), прийнята як функція від t при фіксованому значенні x, також розподіл ймовірності, саме інтегральну функцію ймовірності на час який буде необхідний здобуття права тріщина досягла точки x. Функція щільності ймовірності ((x, t), пов’язана з цим розподілом, є похідною від Q (x, t) за часом за певного значенні x [pic].

Вероятность те, що фронт тріщини перетне точку x в часі інтервалі [t, t+dt] буде ((x, t) dt. З (4.7.94) слід, що просторова щільність ймовірності ((x, t) і тимчасове розподіл ймовірностей ((x, t) пов’язані між собою выражением.

[pic].

Тогда рівняння безперервності (4.7.95) для ((x, t) можна записати как.

[pic].

при умови, що локальна швидкість U=U (x) залежить від часу. Принаймні того, як тріщина проникає вглиб матеріалу, він відбудеться через критичне значення xf, коли відбувається крихке руйнація. У цілому цей момент, інтегральна функція ймовірності за часом, її позначимо як Pf (t), дорівнюватиме ймовірності те, що глибина тріщини перевищить xf. З (4.7.91) следует.

[pic].

это ймовірність руйнації - центральна змінна в аналізі надежности.

Глава 4.7.6 Розподіл ймовірностей для ресурса.

Ми розглянемо деякі особливі рішення диференціального рівняння (4.7.94). Основні вхідні дані - цей розподіл глибин початкових тріщин в останній момент часу t=0 і геометрична функція g (x) в рівнянні швидкості зростання тріщини U (x) в (4.7.89). Ми допускаємо, що межа втоми дорівнює нулю.

Початкова стан. Основне завдання — знайти розподіл ймовірностей для ресурсу (4.7.100), щоб було визначити математичне очікування ресурсу і похибка що виникла через невідомих початкових розмірів тріщини. І тому, ми можемо прийняти, що розподілу глибин початкових тріщин відповідає розподілу Вейбулла з імовірністю превышения.

[pic].

Математическое очікування E[x] розміру початковій трещины.

[pic].

и среднеквадратическое отклонение.

[pic].

Часто використовується експоненціальне розподіл, (=1. Проте, якщо передбачається, що у поверхні є чимало дрібних дефектів, то домінуюча тріщина визначатиметься з найбільшого дефекту. У цьому випадку, очікується, що початкова розподіл буде більш островершинным, тобто. (більше одиниці. Часто, для морських судів і участі прибережних конструкцій приймаються поверхневі дефекти порядку x0=0,1 мм.

Далі ми обмежимося випадками, де x і t об'єднують у одну зміну xi=xi (x, t) отже значення xi в останній момент часу t=0 відповідає початковій глибині тріщини. У разі, ймовірність перевищення Q (x, t) є функцією тільки від xi.

[pic].

Интегральную функцію розподілу Pf (t) отримують шляхом підстановки xi замість x в (4.7.101). Виражене через xi, рівняння безперервності становится.

[pic].

со середньої швидкістю зростання трещин.

[pic].

Мы використовуємо швидкість зростання U вочевидь, як і дано в (4.7.89). Зазвичай, це функція від того плинного розміру тріщини x, введеного через геометричну функцію g (x).

Постійна швидкість зростання. У найпростішому разі, швидкість зростання тріщини постійна вона залежить від розмірів тріщини. Ми можемо записать.

[pic].

Функция ймовірності для глибини тріщини x буде рівномірно зрушуватися вздовж осі x без зміни форми. Согласующаяся з початковим розподілом (4.7.101), інтегральна функція розподілу за часом до руйнації буде [pic].

Это трехпараметрическое розподіл Вейбулла. Математичне очікування ресурса.

[pic].

а среднеквадратическое отклонение.

[pic].

В методі Палмгрена-Майнера при цьому рішення застосовується лінійний коефіцієнт використання (, т.к. передбачалося, що рух рівномірний. Також, існують особливі області у трубних з'єднаннях, десь в результаті геометричних особливостей зростання тріщин майже равномерный.

Лінійний зростання тріщин. Ми можемо розглянути особливий випадок, коли швидкість зростання тріщини пропорційна її розміру, т. е.

[pic].

Такое то, можливо, якщо геометрична функція зі штрихом g ((x) в (4.7.84) постійна і якщо параметр нахилу m в da/dN кривою дорівнює 2. І тут, зміну xi можна визначити как.

[pic].

которая задовольняє (4.7.106). Підставлена до початкової функцію ймовірності (4.7.101), вона дає інтегральну функцію розподілу по часу до разрушения.

[pic].

Сравнение з (4.2.6) показує, що тепер усталостный ресурс має двовимірне експоненціальне розподіл. Від характеру розподілу залежить найімовірніший, тобто. характеристична, ресурс tc.

[pic].

Согласно (4.2.16), математичне очікування ресурса.

[pic].

и відповідно до (4.2.17), среднеквадратическое отклонение.

[pic].

Следовательно, среднеквадратическое відхилення щодо найбільш ймовірного ресурса.

[pic].

Мы проігнорували можливість, що вихідний розмір тріщини може бути із початку більше критичної позначки xf.

Характеристична величина xf/x0, співвідношень між кінцевим розміром тріщини і початковими поверхневими дефектами, має порядок 100. Коли вихідні глибини тріщин розподілені експоненціально, тобто. (=1, це справді дає похибка щодо оцінки ресурсу, тобто. невідповідність дійсною швидкості поширення, 28%.

Швидкість зростання пропорційна xs. Модель визначення швидкості зростання тріщин, що можна побачити у багатьох роботах, має вид.

[pic].

Соотношение дають теоретична формула (4.7.81). При m=3, одержимо класичне значення s=1,5. І тут, ми можемо знайти проміжну постійну движения.

[pic].

которая задовольняє рівнянню (4.7.106). Об'єднана з початковим розподілом, інтегральна функція розподілу усталостных ресурсів станет.

[pic].

Это трехпараметрическое розподіл Вейбулла, яке перетворюється на (4.7.108), якщо s=0. Характеристична для ресурсу величина tc є ймовірністю руйнації 1/e, тобто. цей час, у якому експонента в (4.7.120) дорівнює 1. Ця величина будет.

[pic].

Среднеквадратическое відхилення знайденого ресурсу щодо цієї характеристичної величини будет.

[pic].

Следует відзначити, що среднеквадратическое відхилення існує, лише якщо (більше, ніж зазначена вище значення, тобто. якщо p. s менше, ніж певна в (4.7.122) величина. Інакше, среднеквадратическое відхилення стає нескінченно великим. Проте, як похибки у визначенні ресурсу, можна використовувати, наприклад, межквартильный размах.

Список літератури частині 4.7.

1. American Society for Metals, «Metals Handbook «Vol. 10: «Failure.

Analysis and Prevention. Fatigue Failures. «Metals Park, Ohio 44 073, 8th.

Edition, 1975. 2. A. Almar-Naess, editor, «Fatigue Handbook », Tapir, Trondheim, 1985. 3. Det norske Veritas, «Fatigue Strength Analysis for Mobile Offshore.

Units ", Classification Note No.30.2. August 1984. 4. British Standards Institution BS5400, «Steel, Concrete and Composite.

Bridges. Part 10. Code of Practice for Fatigue. «1980. 5. Department of Energy, «Offshore Installations. Guidance on Design and.

Construction. New Fatigue Design Guidance for Steel Welded Joints in.

Offshore Structures. «DoE, Issue N. August 1983. 6. Norges Standardiseringsforbund, «Prosjektering av staalkonstruksjoner.

Beregning og dimensjonering. «Norsk Standard NS 3472, 1.utg. 1975, 2.utg.

1984. 7. F. Matanzo, «Fatigue Testing of Wire Rope. «MTB-Journal Vol.6 No.6. 8. S. Gran, Evaluation of High Cycle Fatigue in Welded Steel Connections.

Det norske Veritas, Report No.76−339. 9. S. Gran, «Fatigue in Offshore Cranes ». Norwegian Maritime Research, No.4.

1983, 2−12. 10. Y.K.Lin, Probabilistic Theory of Structural Dynamics. Robert E.Krieger.

Publishing Company. Huntington, New York, 1976 p.99. 11. H.E.Boyer, editor, «Atlas of Fatigue Curves, «American Society for.

Metals, Metals Park, Ohio 44 073, 1986.

Postscript Equations to Article 4.7.

Section 4.7.1 — Fatigue Loading.

Equation (4.7.1): f sub 1 (P.S) = g (a, h, X; P. S) = |h| over { GAMMA (a) X} (P.S over X) sup ah-1 e sup{-(S/X) sup h}.

Equation (4.7.2): a = 1 h = 2 X = 2 sqrt 2 sigma sub s.

Equation (4.7.3): a = 1 h = 1 X = P. S bar = sigma sub S.

Equation (4.7.4): f sub 2 (X) = g (b, j, B; X) = |j| over { GAMMA (b) B} (X over B) sup bj-1 e sup{-(X/B) sup j}.

Equation (4.7.5): f (S) = int f sub 1 (P.S) f sub 2 (X) dX.

Equation (4.7.6): M sub m = B sup m {GAMMA (a + m over h) GAMMA (b + m over j)} over{GAMMA (a) GAMMA (b)}.

Equation (4.7.7): f (P.S) = g (d, k, D; P. S) = |k| over { GAMMA (d) D} (P.S over D) sup dk-1 e sup{-(S/D) sup k}.

Equation (4.7.8): a = b = d = 1.

Section 4.7.2 — Fatigue Data.

Equation (4.7.9): N sub f = N (S) = ({P.S sub 1}over P. S) sup m = A over{S sup m} roman where A = P. S sub 1 sup m.

Section 4.7.3 — Closed-form Fatigue Life Formulae.

Equation (4.7.10): eta = sum{n (S)}over{N (S)}.

Equation (4.7.11): eta = n int 1 over{N (S)} f (S) dS.

Equation (4.7.12): eta = n over{S sub 1 sup m} int from 0 to inf P. S sup m f (S) dS = n over{S sub 1 sup m} M sub m.

Equation (4.7.13): DELTA eta = n (X over{S sub 1}) sup m {GAMMA (a + m/h)}over{GAMMA (a)}.

Equation (4.7.14): eta = n (D over{S sub 1}) sup m {GAMMA (d + m/k)}over{GAMMA (d)}.

Equation (4.7.15): eta = n (B over{S sub 1}) sup m {GAMMA (a + m/h)}over{GAMMA (a)} {GAMMA (b + m/j)}over{GAMMA (b)}.

Equation (4.7.16): GAMMA (1 + x) = x!

Equation (4.7.17): N sub f = N (S) = left { lpile{({P.S sub 1}over P. S) sup m P. S > P. S sub 0 above inf P. S < P. S sub 0}.

Equation (4.7.18): DELTA eta = n (X over{S sub 1}) sup m {GAMMA (a + m over h; ({P.S sub 0}over X) sup h)} over{GAMMA (a)}.

Equation (4.7.19): eta = n (D over{S sub 1}) sup m {GAMMA (d + m over k; ({P.S sub 0}over D) sup j)} over{GAMMA (d)}.

Equation (4.7.20): eta = sum n© over N©.

Equation (4.7.21): N sub f = N (S) = left { lpile{({S sub 1} over P. S) sup m P. S > P. S sub 0 above ({P.S «sub 1}over P. S) sup m «P.S < P. S sub 0}.

Equation (4.7.22): m «mark = m + 2.

Equation (4.7.23): N (S sub 0) lineup = 1 cdot 10 sup 7.

Equation (4.7.24): P. S sub 0 lineup = 10 sup{- 7 over m} P. S sub 1 = P. S «sub 1 10 sup{- 7 over m+2}.

Equation (4.7.25): P. S «sub 1 lineup = P. S sub 1 ({P.S sub 1}over{S sub 0}) sup{- 2 over m+2} = P. S sub 0 ({P.S sub 1}over{S sub 0}) sup{m over m+2} = P. S sub 1 10 sup{- 14 over m (m+2)}.

Equation (4.7.26): eta = n «{ «(D over{S sub 1}) sup m {GAMMA (d + m over k; ({P.S sub 0}over D) sup k)} over{GAMMA (d)} + (D over{S «sub 1}) sup m+2 {gamma (d + m+2 over k; ({P.S sub 0}over D) sup k)} over{GAMMA (d)} «} «.

Equation (4.7.27): N sub f = N (S) = left { lpile{N sub 0 e sup{- P. S over B} above inf } for lpile{S (>= P. S sub 0 above P. S (0.

Equation (4.7.65): u = n{DELTA eta}bar — 1 over h psi (a) = n xi bar + sqrt n sigma sub xi {psi (a)}over{sqrt{psi «(a)}}.

Equation (4.7.66): a mark approx n over{lambda sup 2}.

Equation (4.7.67): h lineup approx — n lambda over{sigma sub xi}.

Equation (4.7.68): u lineup approx n «{ «xi bar — {sigma sub xi}over lambda ln [ n over{lambda sup 2a} ] «} «.

Equation (4.7.69): (xxx) rho (eta, t) = 1 over sqrt{2 pi n} 1 over{sigma sub xi} e sup{- {(eta — n xi bar) sup 2}over{2 n sigma sub xi sup 2}} t = n T.

Equation (4.7.70): j = eta over L roman or eta = j L.

Equation (4.7.71): Pr (eta = j L) = Pr (j; n) = (cpile{n above j}) p sup j (1 — p) sup n-j n (>= j.

Equation (4.7.72): p = (1 — p) = 1 over 2.

Equation (4.7.73): Pr (j; n) = (cpile{n above j}) 1 over{2 sup n}.

Equation (4.7.74): {eta sub n}bar = L n p and sigma sub eta sup 2 = L sup 2 n p (1 — p).

Equation (4.7.75): {sigma sub eta}over{eta bar} = 1 over sqrt n sqrt{{1 — p}over p}.

Equation (4.7.76): L = xi bar (1 + nu sup 2) and p = 1 over{1 + nu sup 2}.

Equation (4.7.77): L = {M sub 2 (xi)}over{M sub 1 (xi)} and p = {M sub 1 (xi) sup 2}over{M sub 2 (xi)}.

Section 4.7.5 — Fracture Mechanics Approach.

Equation (4.7.78): sigma sub ij = R® THETA sub ij (theta).

Equation (4.7.79): R® = r sup {n over 2 — 1}.

Equation (4.7.80): sigma sub ij = K over sqrt{2 pi r} THETA sub ij (theta).

Equation (4.7.81): sigma sub ij = sqrt{x over 2r} sigma sub inf THETA sub ij (theta) roman {so that} K = sqrt{pi x} sigma sub inf.

Equation (4.7.82): DELTA K = K sub max — K sub min.

Equation (4.7.83): DELTA x = left { lpile{ З (DELTA K) sup m above above 0} for lpile{ DELTA K > DELTA K sub 0 above above DELTA K < DELTA K sub 0}.

Equation (4.7.84): DELTA K = sqrt{pi x} g «(x) P. S = g (x) P. S g (x) = g «(x) sqrt{pi x}.

Equation (4.7.85): DELTA x = left { lpile{ З g (x) sup m P. S sup m above above 0} for lpile{ P. S > P. S sub 0 (x) = {DELTA K sub }over{g (x)} above above P. S < P. S sub 0 (x)}.

Equation (4.7.86): DELTA x sub 1, DELTA x sub 2, DELTA x sub 3, cdot cdot cdot DELTA x sub j cdot cdot cdot.

Equation (4.7.87): eta = {x — x sub 0}over{x sub f — x sub 0} and DELTA eta = {DELTA x}over{x sub f — x sub 0}.

Equation (4.7.88): {DELTA x}bar = З g (x) sup m int from{S sub 0} to inf P. S sup m f (S) dS = З g (x) sup m D sup m { GAMMA (d + m over k; ({DELTA K sub 0}over{g (x) D}) sup k)} over{GAMMA (d)}.

Equation (4.7.89): (xxx) U = dx over dt = 1 over T dx over dN = {{DELTA x}bar}over T = 1 over T З D sup m {GAMMA (d + m over k }over{GAMMA (d)} g (x).

Equation (4.7.90): Pr (roman{crack depth} (2(s — 1).