Существование в геометрії. 
Аналіз категорій модальності

Существование в геометрії. Аналіз категорій модальності

Гутнер Г.

Мы бачили, що дві впливові математичні школи ХХ століття, які справедливо розглядаються як соперничающие між собою, виходять, зрештою, з загального філософського підстави. Цим підставою стала їм філософія Канта. Тому право казати про кантіанської (чи, можливо, трансценденталистской) традиції в підставах математики. Обговорюючи проблему існування і математичної онтології, ми не матимемо у вигляді саме цієї традиції. Очевидно, що не є єдино можливою. Їй явно протистоїть інша традиція, що з іменами Фреге і Рассела і що обгрунтовує математичне міркування засобами логічного позитивізму (чи аналітичної філософії). Ми не стосуватися цієї традиції у межах справжньої роботи. Найбільш природним нам тепер докладний розгляд тієї інтерпретації існування математичних об'єктів, яка пропонується самим Кантом.

1 Можливе та справжнє в математике

Обсуждать проблему існування, залишаючись у межах «Критики чистого розуму », досить зручно, оскільки визначення існування дано у книзі явно. «Існування «- одне з трьох категорій модальності і Кант дуже докладно описує як саме розум визначає предмет як існуючий. З іншого боку, проте, визначення існування (дійсності) дається тут у поєднанні з визначенням двох інших категорій модальності і може бути правильно зрозуміло лише за порівнянні з ними. Звернімося до безпосередньому опису обговорюваних категорій: можливості, дійсності і необхідності. Таке опис наведено у розділі «Система всіх основоположень чистого розуму «і названо «Постулати емпіричного мислення взагалі «.

" 1. Що погоджується з формальними умовами досвіду (стосовно наочних уявлень, і понять), то можливо.

2. Що пов’язано з матеріальними умовами досвіду (відчуття), те справді.

3. Те, зв’язок що з дійсністю визначається відповідно до загальним умовам досвіду, існує необхідно. «(B266, курсив Канта).

В якій мірі категорія дійсності (тобто. існування у власному значенні цього слова) (Див. примітка 1) то, можливо умовою знання про предметах математики? Щоб виявити це, звернімося короткому роз’яснення Канта щодо відповідного постулату.

" Постулат дійсності речей вимагає сприйняття, тобто. відчуття й свідомості, а то й безпосередньо самого предмета, існування якого має бути пізнано, то крайнього заходу зв’язку його із будь-яким дійсним сприйняттям відповідно до аналогіям досвіду. «(B272 — курсив Канта).

Едва чи розмірковування про математичному предметі можуть грунтуватися на аналогіях досвіду, покликаних встановити «реальні зв’язку «(тобто. зв’язок відповідно до законів причинності і взаємодії). Отже постулат дійсності вимагає безпосереднього сприйняття предмету пізнання його існування. Тому як і справу дійсному можна говорити, передусім, лише про одиничному предметі, представленому через відчуття. Чи є загалом у математиці такі предмети? Безсумнівно є, оскільки всяке математичне міркування однак залишає слід на папері чи дошці. Справжнім є зображений і безпосередньо сприймалася математичний символ, виписана формула (кінцева послідовність символів), накреслена геометрична постать. Але ці чи предмети представляють для математики основний інтерес? Хіба, наприклад, в теоремі суму внутрішніх кутів трикутника говориться про нерівному карандашном слід, про три попарно від перетинання листку папери зовсім на прямих лініях, які безпосередньо сприймаються нами? Звісно немає. Йдеться трикутнику «взагалі «, який ніде і не намальований. Однак у такому разі він і дійсний.

Может чи предмет знання же не бути дійсним (тобто. існуючим) предметом? Відповідь на це запитання легко вгадується, завдяки присутності в таблиці категорій інший категорії модальності. Предмет знання то, можливо можливим предметом. Сказаного де вже досить, щоб припускати, що став саме про можливі предметах у відповідь, передусім, математика. Математична онтологія уже є щодо перевазі онтологія можливого. Втім, з цього приводу потрібні додаткові роз’яснення.

Вот що пише Кант першу з категорій модальності: «Постулат можливості речей вимагає, отже, щоб поняття їх погоджувалися з формальними умовами досвіду взагалі. Але взагалі, тобто. об'єктивна форма його, містить у собі весь синтез, необхідний пізнання об'єктів «(B267 — курсив Канта).

Итак, річ можлива, коли знання неї містить весь необхідний синтез. Отже лише здійснивши цей синтез, тобто. отримавши повне знання про речі ми тільки і можемо переконатися у її можливості.

Нашей подальшої завданням буде з’ясування те, що означає для математики така повнота синтезу. Але спочатку звернемо увагу одне важливе розрізнення. У «Критиці чистого розуму «є низка пасажів, у яких вказується на інший зміст слова «можливість ». Під можливістю розуміється відсутність протиріччя понятті про речі. Це, вочевидь, чи саме, що згоду з формальними умовами досвіду. Тому Кант розрізняє логічну й реальну (чи трансцендентальну) можливість. Вочевидь, що тепер цікавити остання. Цікаво проте згадати, що намагаючись встановити критерій існування для математичних об'єктів, Пуанкаре, а й за них і Гільберт вказували у цій іпостасі саме свободу від протиріччя. Чи правда те, що зводили дійсність до логічного можливості, роблячи таким чином своєрідну підміну категорій? Проведений вище аналіз гильбертовской інтерпретації несуперечливості показує, що тут інше, оскільки нас собі несуперечність виявляється результатом синтезу.

Синтез по Канту полягає, передусім, у цьому, що до поняття, оратора як суб'єкт судження, приєднується ознака (предикат), не який міститься у понятті. Акт синтезу, в такий спосіб, призводить до утворення нового поняття, зміст якого багатшими, ніж поняття початкового суб'єкта судження. Отже, говорячи про реальній можливості поголовно, ми говорити, передусім, про можливість поняття. Воно можливо тоді, коли здійснено його синтез. Проте приєднання предиката до суб'єкту в синтетичному судженні неможливо і суто розсудливе дію. Йому має відповідати синтез різноманіття наочного уявлення, вироблений здатністю уяви. Проголошення судження, описывающего деяке реальне (Див. примітка 2) стан справ, необхідно супроводжується конструюванням цього положення справ у просторі і часу. Останнє виробляється відповідно до схемою поняття і потрібно представлено споглядання як (по крайнього заходу) уявного предмета. Цю процедуру докладно описана Кантом у розділі про трансцендентальної дедукції категорій. Отже, «весь синтез », необхідний для пізнання реальної можливості речі, включає у собі як інтелектуальний синтез, і синтез здібності уяви. Тут доречне уточнити, що комп’ютер може відстоювати словом «річ ». Можливість чого, власне, встановлюється. Ми бачили вже, що встановлюється можливість поняття. Але конструювання, продуковане уявою, відповідно до умов чуттєвості, неспроможна відбуватися так, аби уявити образ, уявлюваний результат конструювання. Вочевидь, що образ, поруч із поняттям, також має фігуруватиме у ролі можливого.

Итак є сенс говорити про можливість поняття й можливості образу. У насправді й й інше по-перше відповідає формальним умовам досвіду, а по-друге протиставлене дійсному, тобто. поданої у сприйнятті одиничності. Інакше кажучи і поняття, та спосіб можливі оскільки може бути здійснено (актуалізовані). Втім, вони по-різному сенсі. Можна уявити неможливе поняття (Кант наводить приклад пласкою постаті, обмеженою двома прямими). Але образ може бути завжди, оскільки є результатом завершеного синтезу. Розберемо що тепер сказане з прикладу геометрії. Факт, що евклидова геометрія є є основним джерелом для філософії математики Канта, приймається багатьма дослідниками. Зокрема це пояснено в [72], [74], [79], [83], [62]. Тому розгляд кантівські категорій на матеріалі «Почав «Евкліда вважатимуться модельним. Це, проте, допоможе нам побачити деякі моменти застосування зазначених чистих понять розуму, які знаходяться істотні та інших областей математики, а можливо, й будь-кого знання взагалі.

Пять постулатів Евкліда є п’ять початкових синтетичних суджень, в яких конструюються початкові поняття геометрії. Важливим є те, що чотири з цих п’яти постулатів (трохи відрізняється від інших четвертий постулат, яке утверджує рівність всіх прямих кутів) суть не скільки затвердження, скільки розпорядження. Вони описують деякі операції, які, будучи зроблено, приведуть до створенню початкових геометричних об'єктів: прямий, окружності, пари паралельних (чи пари від перетинання) прямих. Постулати сформульовані, природно, як загальні судження і йшлося у яких про загальних поняттях (пряма взагалі чи окружність взагалі). Важливо проте, що найбільш суть постулатів залежить від виявленні можливості цих понять. Вони припускають наявність схеми прямій чи схеми окружності, відповідно до яким буде бути побудовано відповідні цим поняттям об'єкти. Зокрема, відповідно до двох першим постулатам, пряму у принципі можна побудувати. Як побудувати? Олівцем на папері чи крейдою на дошці.

Последнее твердження представляється, очевидно, занадто категоричним. Пряму чи окружність можна навести й у уяві. Зауважимо проте, що попри таку можливість майже завжди, навіть за розгляді елементарних понять воліють користуватися кресленнями. Ця обставина представляється нам важливим, що випливають із суті математичного дискурсу, а не зі слабкості нашої історичної пам’яті. Ми повернемося до цієї проблеми пізніше, і тепер зауважимо лише, що синтетичне судження, висловлюване в постулаті, передбачає як можливість, а й дійсність обговорюваного об'єкта. Нам постає не лише термін та спосіб, але й почуттєво сприймалася одиничний предмет, який узгоджується лише з формальними, але й матеріальними умовами досвіду.

Мы будемо тієї інтерпретації «Почав «Евкліда, яку згадує, наприклад, Фрідман ([72], з. 88−89). Відповідно до цієї інтерпретації постулати вводять ряд елементарних операцій (побудов), які розглядаються як явно здійсненні. Будь-яке інше побудова буде виконуваною, коли вона є послідовність цих елементарних операцій. (Природно, що з подальшому викладі геометрії замість елементарних операцій можуть фігурувати і складніші побудови, виконання яких показано раніше.) До розгортання такий послідовність здійсненних операцій зводиться як вирішення завдань на побудова, а й доказ теорем. Будь-яке геометричне пропозицію формулюється як деяке загальне твердження. Це означає, що він передбачається можливість будь-якого поняття. Важливо побачити, що у будь-якій пропозиції (тобто. в синтетичному судженні) йдеться саме про один понятті. Додаючи до суб'єкту новий предикат, ми встановлюємо ставлення двох понять, а створюємо одне нове. Наприклад, ми стверджуємо, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим, то припускаємо реальну можливість трикутника, який володіє названим ознакою, тобто. говоримо, що правове поняття «трикутник, сума внутрішніх кутів якого дорівнює двом прямим «можливо. Вислів у лапках невдало тому, що справляє враження ніби рівність суми кутів зазначеної величині є певний различительный ознака, який виділяє певний вид в роді трикутників. Останнє, звісно ж, не так. Синтетичне судження, що є змістом наведеної теореми, створює нове поняття, яку ми спробували назвати з допомогою наведеного тут незграбного висловлювання. Це нетождественно поняттю трикутника, т.к. предикат не виводиться з поняття суб'єкта. Він приєднується у його процесі синтезу.

Проводимое далі доказ, покликане показати реальність можливості обговорюваного поняття, таки залежить від розгортанні синтезу. Маємо пред’явити якусь побудовану за правилами конструкцію, відповідну поняттю, реальна можливість якого доводиться. Конструкція мусить бути споруджено в результаті низки дій, запропонованих постулатами. Послідовність застосування постулатів становить схему аналізованого поняття, а можливість поняття буде встановлено, якщо буде завершено побудова конструкції. Іншими словами, можливість поняття буде встановлено, ми пред’явимо відповідний це поняття одиничний предмет, сприймалася почуттями. Щоб точніше розглянути взаємодія можливого і дійсного при доказі, ми вважаємо доречним розгорнути процедуру докази докладніше, описавши їх у тих термінах, що були ще античності.

2 Структура докази у Евкліда у зв’язку з категоріями модальности

Сейчас при викладі потребують докази пропозицій у математичної літературі явно виділяються частини: формулювання пропозиції з його доказ. Для античних авторів ситуація була інакша. У викладі теореми виділялося у п’ять чи шість частей.(См. примітка 3) Этот спосіб структурування процедури докази виявляється дуже доречним для правдивого розуміння співвідношення можливого і дійсного, і навіть загального характеру і одиничного в математичному міркуванні. Хинтикка [74] стверджує, що структура докази у Евкліда стала парадигмою для Канта.

Охарактеризуем коротко шість частин викладу теореми, використовуючи за приклад вищезгадану теорему про внутрішніх кутках трикутника.

1. Твердження (protasis) дає загальну формулювання теореми. У нашому випадку ця перша частина теореми така: сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим.

2. Експозиція (ekqesis) свідчить про одиничний предмет, загальне поняття якого дано в затвердженні. Для геометрії природно щодо них теореми дати креслення.

Пусть ABC — довільний трикутник.

3. Обмеження чи детермінація (diorismos) полягає у переформулировании загального затвердження для поданого до експозиції одиничного предмета: сума кутів 1, 2 і трьох дорівнює двом прямим.

4. Побудова (kataskeuh) — те, що зараз зазвичай називають додатковим побудовою. У нашому випадку виглядає так:

проведем через вершину B пряму, паралельну підставі AC.

5. Доказ (apodeixis) є послідовність логічних висновків про елементи конструкції, поданої у попередній частині. Ця послідовність має завершитися твердженням, представленій у частини 3. Для аналізованої нами теореми має місце наступний ряд висновків.

Угол 1 дорівнює розі 4, а кут 3 дорівнює розі 5 як навхрест що лежать після перетину пари паралельних прямих третьої.

Углы 4, 2, 5 в сумі становлять один розгорнутий, тож їх сума дорівнює двом прямим.

Из цих двох тверджень слід, сума кутів 1, 2 і трьох також дорівнює двом прямим.

6. Укладання (sumperasma) узагальнює висновок, отриманий доказі, повторюючи формулювання першій його частині:

итак, сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим. У минулому параграфі ми готуємося вже обговорили сенс затвердження теореми. Вона містить загальне синтетичне судження. Втім, вказувати назву у сенсі синтетичним ще можна. Хоча воно й приєднує предикат до суб'єкту, створюючи цим нове поняття, синтез ще не проведено. Ми не маємо поки впевненості, що названий на protasis поняття відповідає формальним умовам досвіду. Інакше кажучи ми що лише припускаємо можливість поняття.

Ekqesis робить перехід від загального поняття до одиничному об'єкту. З неї починається процедура конструювання. Замість можливого трикутника (тобто. трикутника взагалі) нам постає дійсний трикутник. Відповідно до Канту, таке виділення одиничності становить необхідний момент математичного міркування. " .Математика щось може сягнути у вигляді одних лише понять і миттєво поспішає можливість перейти до наочному уявленню, розглядаючи поняття in concreto, проте у емпіричному наочному поданні, а такому, яке апріорі встановлено нею, тобто. конструировано, й у який то, що з загальних умов конструювання, повинен мати загальне значення також у питаннях об'єкта конструируемого поняття «(B744). Слід звернути увагу до точність кантівського висловлювання: «відразу ж поспішає можливість перейти до наочному уявленню ». У насправді, відразу після формулювання загального затвердження починається конструювання почуттєво созерцаемого предмета. Іншими словами відбувається актуалізація те, що в protasis фігурувало лише як можливе. У ekqesis вона (актуалізація) у сенсі беспроблемна, т.к. конструюється то поняття, можливість якого вже встановлено. Тут лише відтворюється синтез, проведений раніше, тому маємо у розпорядженні регулярний спосіб пред’явлення одиничного предмета, відповідного даному поняттю (у разі - поняттю трикутника).

Детерминация виділяє у структурі одиничної конструкції, пред’явленої в експозиції, певні конструктивні елементи — ті які йтиметься у майбутньому міркуванні. Ця частина теореми хіба що повторює protasis. Вона також носить гіпотетичний характер. Але передбачається ній можливість поняття, а дійсність конструкції. Нині ми говоримо лише про одиничному предметі, які вже почали конструювати. Важливо, що, формулюючи цікавить нас властивість, ми маємо поперед очі частина створюваної конструкції. Говорячи, «сума кутів 1, 2 і трьох дорівнює двом прямим, «бачимо те, що говоримо. Тут маємо у вигляді безпосередньо представлений, даний в сприйнятті, тобто. дійсний об'єкт. Цей об'єкт — слід дії, виробленого нами раніше (в експозиції).

Построение є пряме продовження експозиції. До існуючому (нами створеному) об'єкту ми додаємо нові конструктивні елементи. Кожен новий елемент додається в відповідність до вже відомої теоремою чи постулатом. (Останні, нагадаємо, можна як елементарні здійсненні операції чи правила побудови.) У нашому випадку, втім, побудова зводиться до єдиної акту — проведенню через вершину B прямий, паралельної підставі. Але наскільки проста ні було б проведена нами операція, вона не має ключове значення для всієї процедури докази теореми. Саме тепер ми справили конструкцію, повністю коррелятивную поняттю, можливість якого вимагають встановити. Одиничний об'єкт, отриманий ході побудови і його відрекомендували малюнку (в тексті справжнього параграфа), є актуалізація цього поняття. У цьому малюнку сума внутрішніх кутів трикутника зображено отже, її рівність двом прямим стає безпосередньо видимим.

Есть один дуже важлива річ, який відрізняє додаткове побудова від експозиції. Побудова трикутника відповідно до схемою поняття трикутника означало підбиття одиничного об'єкта під загальне правило. Якщо загальна правило (поняття трикутника) поставлено розумом, то підбиття передбачає дію визначальною здібності судження. Для тієї конструкції, створена при додатковому побудові, в нас був відповідного поняття. Те поняття, можливість якої планується утвердженню теореми, немає ще під собою жодної схеми, ніякої конкретної правила побудови. Це правило необхідно винайти, причому винайти те щоб потім із нього виводилася твердження теореми. Інакше кажучи, додаткове побудова вимагає дії рефлектирующей здібності судження. Утворювана конструкція (як і правило, яким її створюють) є узагальнювальна здогад, є та загальна структура, у межах якої стають ясними цікаві для нас відносини раніше побудованих об'єктів. Усі вони знаходять своє місце у яка об'єднує їхні конфігурації і конструювання кожного окремого елемента стає доцільним. Отже, тільки з рефлектирующей здібності судження може бути синтез поняття на теоремі.

Если побудова є безпосереднє продовження експозиції, то доказ хіба що продовжує детермінацію. Воно є мова щодо проведеного побудови, описуючи отриманий прибуток у процесі її конструкцію. Доказ, як і детермінація, має справу зі слідом. Хинтикка стверджує, що цю частину теореми суто аналітична, оскільки, на відміну від експозиції і побудови, не вводить ніяких нових одиничних предметів. Усі доказ можна розгорнути як ланцюжка силогізмів.

1. Навхрест що лежать кути рівні.

Углы 1 і 4 — навхрест що лежать.

____________________________________.

углы 1 і 4 — рівні.

2. Навхрест що лежать кути рівні.

Углы 2 і п’яти — навхрест що лежать.

___________________________________________.

Углы 2 і п’яти — рівні.

3. Суміжні кути у сумі рівні двом прямим.

Углы 1 і 3+5 — суміжні.

___________________________________________.

Углы 1 і 3+5 — у сумі рівні двом прямим.

4. Якщо складові рівні між собою, їх суми рівні .

Слагаемые в сумах 4+5+2 і 1+3+2 рівні між собою. ______________________________________________________.

4+5+2 і 1+3+2 рівні між собою.

5. Якщо дві величини порізно рівні третьої, всі вони рівні між собою.

1+2+3 і p порізно рівні 4+5+2.

___________________________________________.

1+2+3 і p рівні між собою.

Обратим увагу, що меншими посилками цих силогізмів є поодинокі синтетичні судження. (Тому немає й висновок кожного силогізму — одиничне судження.) Цим вони (менші посилки) істотно відрізняється, наприклад, від великих посилок чи то з затвердження теореми. Вони немає ніякого синтезу понять. Отже де вони встановлюють (і припускають) можливості. Їх роль зовсім інше. Вони фіксують дійсність предмета, описуючи актуальний, вже створений одиничний об'єкт. Усі, що йдеться у процесі докази належить до наявного у наявності предмета. Це присутність у наявності (яке, взагалі, це і є дійсність) є необхідна умова докази. Останнє завжди належить до сліду проведеного побудови. Якщо за розмові про аксіомах чи постулатах вимога наявності сліду (на дошці чи папері) здавалося зайвим, нині саме такий слід і є досліджуваним об'єктом. Заключна фраза докази на точності повторює детермінацію. Але якщо тоді вона звучала гіпотетично, той зараз є описом вже побудованого об'єкта, тобто. констатацією факту. Суть цієї констатації у тому, що вона свідчить про актуалізацію того поняття, можливість якого передбачалася в protasis. І вже нами побудована конструкція, згідна схемою цього поняття, воно (поняття) реально. Можливий її реальний синтез відповідно до формальним умовам досвіду. Точніше як може бути, але вже настав зроблено. Тому можна повернутися до початкового утвердженню теореми, вимовивши його вже як укладання. Укладання є загальне судження, указывающее на реальну можливість поняття, як у встановлену. У переході від докази до висновку можна вбачати логічний труднощі. З точки зору формальної логіки такий перехід незаконний, т.к. є укладанням від одиничного до спільного, тобто. переходом з більш слабкого затвердження до більш сильному. Проведене розгляд дозволяє, проте, подивитись справа інакше. У доказі ми наголошували на дійсному об'єкті. Укладання стосується тільки можливості тієї самої об'єкта взагалі. Те, що справді, природно ще й можливо. Обгрунтування законності укладання, в такий спосіб, полягає у розгляді не кількості суджень, які модальності. Ми робимо перехід від сильнішою модальності до слабшої, що навіть засвідчуємо істинність затвердження теореми.

3 Необхідність і случайность

Пока що ми стосувалися третьої з категорій модальності - необхідності. Звернення до неї жадає від нас додаткових роз’яснень, бо то виникає підозра, що це попереднє міркування містить якусь плутанину з категоріями. У насправді, хіба доказ теореми встановлює можливість судження? Чи не ліпше сказати, що вона встановлює його необхідність? Цілком природно, і незаперечно, зокрема, сума внутрішніх кутів трикутника необхідно дорівнює двом прямим. Твердження, ця сума можливо дорівнює двом прямим, чути меншою мірою дивно. Насамперед, відзначимо два різних (хоч і близьких) розуміння можливості. Припустимо (і це природно) казати про можливий, як «про обрії всіх явищ, які можуть опинитися при певних умов виникнути. Наприклад, можна говорити про спектрі різних властивостей, якими може мати річ (точніше про спектрі ознак, які може бути приєднано до цього поняттю). Трикутник то, можливо равнобедренным чи вписаним в окружність. Але й же не бути. Але сума його внутрішніх кутів дорівнює двом прямим завжди. Цього неспроможна же не бути. Це — необхідне властивість. На противагу йому дві інші - випадкові. Може так статися, наприклад, що трикутник вписаний у окружність.

Как, проте, переконатися у можливості, витлумаченої в названий хіба що сенсі? Як, вже коли ми звернулися до такого прикладу, з’ясувати, що трикутник можна вписати у окружність. Процедура з’ясування, виявляється, нічим нічого очікувати відрізнятиметься від тієї, яка виконувалася під час встановлення необхідного властивості. Ми повинні буде встановити, що правове поняття «трикутник, вписаний в окружність, «цілком узгоджується з формальними умовами досвіду, тобто. пред’явити необхідний синтез справжнього поняття. Говорячи конкретніше, потрібно, сформулювавши спочатку загальне судження про можливість (protasis), ми матимемо потім накреслити трикутник (ekqesis). Після цього загальне судження про можливість буде переформулировано стосовно одиничному предмета (diorismos — навколо побудованого трикутника ABC то, можливо описана окружність l). Після цього ми проведемо серединні перпендикуляри до двох сторонам трикутника (kataskeyh), доведемо, що вищу точку їх перетину — центр окружності, що проходить через вершини трикутника (apodeixis), і зробимо остаточне виведення про істинності вихідного твердження (sumperasma).

Таким чином, можливість й необхідність виявляються категоріями досить близькими. Втім, поки що що має, очевидно, йти про суть двох різних розуміннях можливості. Коли ми обговорювали категорію можливості у попередньому параграфі, ми наголошували на можливості у протиставленні дійсності. Ми вказували, що трикутник (з сумою внутрішніх кутів рівної p) є можливим поняттям, оскільки не може бути побудований. Ми можемо пред’явити відповідне йому споглядання, тобто. створити конструкцію відповідно до певної схемою. Цим що його поняття нічим не відрізняється від такого типу, як «рівнобедрений трикутник », чи «трикутник, вписаний в окружність ». І з них виявляє себе, немов реальне тоді, коли проведено процедуру синтезу і пред’явлена відповідна актуалізація. Тут ми тому говоримо про іншій інтерпретації тієї ж самої категорії. Важливо, втім, що з обох інтерпретацій потрібне проведення всієї повноти синтезу.

Так що встановлюючи необхідність будь-яким положенням справ, ми одночасно показуємо можливість деякого поняття. З іншого боку, з’ясовуючи можливість чогось, ми виявляємо необхідну зв’язок актуализируемых при цьому понять. То як ми проводимо процедуру, покликану показати можливість поняття «трикутник, вписаний в окружність, «ми одночасно доводимо, наприклад, таке (необхідне) твердження: «Крапка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центр описаної навколо неї окружності «.

Возможность і необхідність встановлюються при однакових обставин, але ставляться до різного. Можливість належить одного поняттю, тому, яке конструюється в синтетичному судженні. Необхідність належить до зв’язку понять. Поняття чи предмет неможливо знайти необхідними. Необхідною то, можливо якесь становище справ: зв’язок понять чи ставлення об'єктів.

Говоря про можливий, ми завжди розуміємо випадковість. Те, що можна, може і статися. Трикутник може бути не вписаний у окружність, така можливо. До чого належить це вказівку на випадковість? Він належить до деякому події, саме події актуалізації цього поняття, тобто. події побудови. Точніше, тут треба про ряді подій, після чого народжуються якісь нові конструкції. Що таку страхову подію не одне, випливає з структури теореми, у якій розрізнені ekqesis і kataskeuh. Можливе можливо, оскільки він може статися. Але до цього моменту випадковості і вказівку вимушені. Певний стан справ необхідно, якщо виникає щоразу, коли щось станеться. Щоразу, коли трикутнику станеться бути вписаним в окружність, центр цієї описаної окружності співпаде до точки перетину серединних перпендикулярів. Встановлення необхідності вимагає вказівки випадку.

Обратим увагу, що вираз можливості і необхідності вимагає, слід сказати, різних суджень. Можливість фіксується категоричним судженням, конструирующим нове поняття. Необхідність фіксується гіпотетичним судженням, що вказує на умова, у якому неминуче настає деяке стан справ.

Сказанное легко простежити з прикладу теореми суму внутрішніх кутів. Внутрішні кути трикутника необхідно складають у сумі два прямих, але при цьому трикутнику ще потрібно статися. Трикутник — можливе поняття. Його можна намалювати, а можна й не малювати. Необхідність названого рівності можна знайти лише за умов наступу певного події.

В нашому розгляді нині задіяно три елемента математичного дискурсу. (Втім, очевидно, як математичного.) Ці елементи суть поняття, одиничний предмет й цю подію. Аналізовані нами категорії модальності ставляться, власне кажучи до найрізноманітніших з названих елементів. Можливість (по крайнього заходу, досі) завжди передбачала поняття. Дійсність — одиничний предмет. Необхідність описує ставлення понять, а випадковість — подія. Останнє становить собою одиничність іншого, ніж предмет (чи об'єкт). У нашому міркуванні як подій виступали експозиція й модульна побудова. Саме такі трапляються. Саме щодо них то, можливо пред’явив жодних гарантій — вони можуть і не статися. Пізнання необхідності вимагає, в такий спосіб досить тонкого переходу від загального до одиничному, що у необхідному судженні фіксується зв’язок загальних понять, але, як умова цьому разі виступає одиничне (випадкове) подія. Сенс цієї переходу розкривається Кантом в стислому зауваженні схему необхідності (B184): «Схема необхідності є існування предмета у всяке час «(курсив наш). Необхідність, в такий спосіб, встановлюється внаслідок довільності моменту події. Вона у цьому, що коли і не сталося подія, йому обов’язково буде супроводжувати деяке (причому одне то ж) стан справ.

Эта однаковість при багаторазовому повторенні, власне, становить визначення спільності. Поняття є спільною оскільки задає схему, за якою будуються багато поодинокі об'єкти. Воно — загальне багатьом різних об'єктів. Воно багаторазово актуалізується, будучи можливим. Актуалізація є подія появи одиничного об'єкту і всі ці події щоразу випадково.

Случившееся справді. Справжнє з’являється у результаті події події. Насамперед, внаслідок експозиції, та був і побудови. Необхідність, як ми бачили, свідчить про стан справ, що неминуче встановлюється як наслідок побудови, тобто. проведеного відповідно до умовам досвіду синтезу. Так, певне, треба розуміти останній із постулатів емпіричного мислення: «Те, зв’язок що з дійсністю визначається відповідно до загальним умовам досвіду, існує необхідно. «(B266).

В Главі 1 нами було використано ще одне категорія — факт. Власне, це той самий, що ми назвали тут «станом справ ». Зв’язок факту з об'єктом коррелятивна зв’язку необхідності покінчити з дійсністю. Встановлення факту є встановлення зв’язку елементів у цій конструкції. Інакше кажучи факт виражається загальним судженням, яке формулюється, наприклад, як затвердження теореми. Але встановити необхідність факту можна лише побудувавши ту конструкцію, зв’язок елементів якій він позначає. Інакше кажучи факту має відповідати об'єкт. Встановлення факту й модульна побудова об'єкта — це сама й той самий процедура — так само, як з’ясування можливості поняття і необхідності зв’язку понять.

Завершая наше розмірковування про необхідності, ми повинні повернутися до того що висновку, яким уклали попередній параграф. Ми там помітили, що перехід від одиничного судження до спільного при доказі теореми скажімо оскільки в такий спосіб здійснюється перехід з більш сильної модальності до слабшої (від дійсності до можливості). Тут цілком можливо побачити помилку, яке у тому, що зроблена підміна різних категорій. Можна сміливо сказати, що у заключної частини теореми робиться перехід із дійсністю до необхідності, тобто. до сильнішою модальності, тому такий перехід все-таки неправомірне. Відповіддю на заперечення може бути знайдене нами розмежування сфери дії категорій можливості і необхідності. Усі міркування попереднього параграфа стосувалися лише понять і одиничних об'єктів і торкалися до них відносин. Тому там були йти розмови про необхідності. Ми вказали, що symperasma теореми встановлює можливість поняття, тоді як apodeixis свідчить про дійсності відповідного це поняття предмета. У цьому переході нічого немає незаконного. Єдине, що був сказано, це про довільності моменту побудови названого предмета, що й зумовлює необхідність відносини понять, що встановлюється теоремою. Ми вже згадували, що виявлення можливості обов’язково виявляється пов’язане з встановленням необхідності. Щоб виявити можливість, потрібно побудувати дійсний об'єкт. Але побудова дійсного об'єкта (відповідно до загальним умовам досвіду) передбачає необхідність зв’язку його елементів.

Здесь виникає ще одне непорозуміння. Можна намалювати на папері який-небудь завиток цілком довільній конфігурації. І вже його, він, безсумнівно, може бути. Не могли ж ми зобразити неможливий предмет. Але ніякої необхідної зв’язку елементів з нашого конструкції немає. Тут бачимо явне розбіжність категорій можливості і необхідності. Слід, проте, пам’ятати, що ми наголошували на можливості поняття. Доречно запитати: яке поняття було актуализировано при малюванні позбавленої будь-якої регулярності загагулины? Навіть, якщо й мали щось у вигляді, колись, ніж зобразили її, зовсім неможливо з’ясувати якою мірою дійсний предмет відповідає нашому задуму. Якщо така можливість є, отже є можливість і багаторазового відтворення, тобто. можна вже можна говорити про існування деякою схеми. Останнє ж означає необхідну зв’язок елементів.

4 Можливе та справжнє щодо до времени

В главі «Про схематизм чистих понять розуму «Кант, розглядаючи умови застосування категорій явищ, встановив, що це можливо з допомогою «трансцендентального визначення часу ». Визначення часу є схема категорій, з допомогою якої явище підводиться під поняття розуму (B178). Нижче спробуємо докладніше розглянути, що означає визначення часу у математичному міркуванні. Роз’яснення самого Канта з цього приводу здаються надмірно короткими. Особливо це стосується категоріям модальності. По приводу дійсності він обмежується єдиною фразою: «Схема дійсності є існування у певний час «(B184). Не претендуючи на докладний коментар кантівського тексту, спробуємо все-таки з відповіддю: як і що визначено час існування дійсного предмета?

Действительный предмет поданий нам при експозиції або за побудові. Експозиція незмінно супроводжується фразою типу: «Нехай ABC — трикутник ». Оскільки йдеться про одиничному трикутнику має б бути зовсім ясно — що саме трикутник названо ABC. Відповідь це питання може лише один: «Ось цей, тут і він намальований трикутник ». Навіть, якщо трикутник був намальований раніше, вказівку нею відбувається нині, у той самий момент дискурсу, коли потреба (є бажання) пред’явити його як існуючий, дійсний об'єкт. Тому час, обумовлений схемою дійсності, є суще час. Звісно, дійсний об'єкт, будучи одного разу побудований, продовжує існувати й далі. Проте довідатися про про його дійсності можна за актуалізації, тобто. за певного подію дискурсу. Актуально подія, нинішні події. Точніше, актуальним (дійсний) об'єкт, що у що відбувається нині подію. Подія, що відбулася у минулому, не зберігає своєї дійсності, але залишає слід.

Важно мати у виду, що час визначається (у разі як справжність час, що тепер) саме дискурсом. Проведене (актуально) колег і супроводжує його висловлювання («Цей трикутник ») виділяють справжнє стосовно поваги минулому. Це виділення справжнього завдяки готівки минулого. Передусім це можна знайти тоді, ми розпочинаємо опису об'єкта, як це робиться, наприклад, під час проведення докази (apodeixis). Вимовляючи певне судження, ми адресуємося до кресленню, як результату проведеного побудови. Судження, промовлене при доказі, також вимовляється тепер, але нього є щось, чого вона ставиться як до який відбувся. Це те що є подія, що залишило слід і те що ми маємо можливості повернеться неї ще, тобто. вдруге після побудови, ми визначаємо його як минуле стосовно вимовному нині судженню. Об'єкт у своїй може бути знову сприйнятий, тобто. знову стати дійсним. Будучи вперше актуалізований при побудові, він повторно актуалізується при доказі. Зрозуміло, що ця актуалізація може статися багаторазово. Те, що залишається після побудови, тобто. те, що підлягає актуалізації при доказі ми бачимо називаємо слідом.

Выше ми казали, що багаторазовість відтворення власне і означає спільність. Слід, в такий спосіб, загальне багатьом актуалізацій. Він також є можливе — може бути актуалізований і тому перебуває у злагоді із формальними умовами досвіду. Але не збігаються з поняттям, хоча б оскільки поняття може актуалізуватися за іншого побудові і «зробити іще одна слід. Втім, актуалізація сліду вимагає звернення до поняття, оскільки за ній бути задіяна те ж саме схема, відповідно до якої відбувалося побудова. Тому математичний дискурс носить почасти герменевтичний характер: коли бачиш цю графічну конфігурацію, ми відтворюємо її сенси, тобто. намагаємося прочитати її. Під змістом тут мається на увазі саме поняття. Щоразу побачити в слід один і той ж отже відтворити один і той ж побудова, тобто. актуалізувати загальне всім цих побудов поняття, діючи сообразной одному й тому самою схемою.

5 Дискретність і безперервність у структурі дискурса

Теперь ми можемо розглянути як влаштований дискурс, проводять у геометрії. У ньому, передусім, помітні послідовність подій, пов’язаних із актуалізацією чогось (поняття чи сліду). Але кожна актуалізація є синтез, у якому певне (поняттям) побудова супроводжується проголошенням відповідного синтетичного судження. Останнє може бути одиничним судженням, але вимовляється завжди, хоча б як свідчення про проведене побудова («нехай ABC — трикутник »). У доказі, як ми бачили, виробляється той самий дію: судження пов’язане з побудовою, хоча, в тому випадку, і неявним. Це, звісно, не побудова, предъявляющее новий об'єкт, а відтворення колишнього. Проте дію, продуковане у своїй, є також синтезом, соотнесением деякою конструкції з формальними умовами досвіду. Завдяки такому дії, конструкція, пребывавшая як сліду, знову стає дійсною.

Таким чином дискурс є низка наступних одна одною синтетичних актів. Усі вони пов’язане з певним подією і визначать певний момент тепер. Скоєння синтетичного акта припускає наявність дій, скоєних раніше, тобто. деяких моментів минулого. Як ми вже говорили раніше, статус минулого створюється наявністю сліду, з яким так іронічно чи інакше поєднується вчинення нинішнього синтетичного акта. Послідовність дискурсу дискретна, оскільки кожне скоєне дію (як і кожну подію) завершимо і всі дії помітні, тобто. від'єднані одне від друга. Послідовність і дискретність дискурсу визначає послідовність часу, як ряд відрізняються друг від друга моментів «тепер ». Кожен акт, віднесений на момент минулого, то, можливо актуалізований, тобто. відтворено на теперішньому.

Различимость синтетичних актів і що з ними моментів часу передбачає, що, слідуючи одна одною, повинно бути чимось розділені. Передбачається деяке між, тобто. якийсь проміжок, що відокремлює на одному моменті від іншого. Найпростіше цей відтинок знаходять у процедурі розподілу відрізка прямий. Розглянемо докладніше цю невигадливе, здавалося б, дію.

Заметим, колись всього, що, прокресливши відрізок прямий, ми, безсумнівно, справили якийсь синтез, тобто. зробили певний синтетичний акт. Проте — і надалі ми вже вивчимо все слідства цього спостереження — цей акт не можна зводити одного моменту часу. У ньому має виділити по крайнього заходу два ясно помітних події: початок і поклала край прочерчивания відрізка. Ми ставимо дві точки, роблячи цим два послідовних синтетичних акта. Але відрізок — це дві точки. Відтинок — те, що розділяє, тобто. лежить з-поміж них. Проте цим «між «ще пов’язано ніякого синтезу. Можна задовольнитися першим постулатом Евкліда, щоб переконатися у обгрунтованості нашого дії, але цього досить, щоб пов’язати побудований предмет із будь-яким поняттям. У частковості в нас відсутня критерій для пізнання прямий, тобто. для виявлення її відмінності між будь-який інший лінії, що з'єднує дві точки. Щоб вивчити структуру прямий, ми мусимо досліджувати різні що лежать у ньому точкові конфігурації. Саме ця, ніби між іншим, було зроблено за будь-яких спроб досліджувати геометрію прямий лінії побудувати аксіоматику прямий. Варіант такий аксіоматики, і навіть історію проблеми можна знайти книгах [25] і [26].

Первое дію, що має бути вироблено, полягає, отже, в розподілі відрізка на частини. Зрозуміло, що, ладу нових точок на відрізку прямий, ми можемо пов’язувати з тими точками певні судження. Понад те, щодо які вибудовуються точкових конструкцій може бути розгорнуть доказовий дискурс, у якому ті ж частини, хто був розглянуті нами раніше, щодо структури античної теореми. Але нова точка, з’являється на відрізку, з’являтиметься між двома раніше побудованими точками. Акт цей кілька різниться від, які ми обговорювали. Не є актуалізація сліду — відбувається нове побудова, у результаті якого виникає не існуючий раніше об'єкт. Проте він навряд чи цілком нове, оскільки присутній тут слід якогось побудови (прокреслений відрізок) істотно визначає то, як буде поставлено крапку. Ставлячи третю точку між двома побудованими, ми, з одного боку, робимо дію, таке за двома вже досконалими. Але з з іншого боку ми начебто повертаємося поваги минулому стосовно по крайнього заходу до жодного з двох названих подій. Якщо дві точки визначають початок і поклала край відрізка, то точка, поставлена з-поміж них, хіба що дістає щось із попереднього кінцю, але наступному від початку. У нашому дискурсі всяке подія пов’язані з поставленої точкою. Але поставити крапку між двома іншими, отже звернутися вчасно, коли не відбувалося. Ми здобуваємо подія з чистісінької потенційності сліду і визначаємо щодо іншого моменту між двома вже колишніми моментами.

Таким чином, поруч із дискретної структурою часу, обумовленою дискретної послідовністю подій дискурсу, ми виявляємо що й безперервну його складову, те, що «протікає «між подіями. Якщо дискретне час, що складається з послідовних моментів, наповнений подіями чи синтетичними актами (коли ми не побачили одне одного, але зробимо це у наступному), то безупинне час є час суто потенційного перебування сліду, такого сліду, який ще було пов’язаний з який актуалізацією. Тому слід, подібно часу, має як безперервну, так і дискретну частина. Відтворення (чистий повтор) можливий тільки стосовно до дискретної частини сліду. Безперервна його частину виявляється певної середовищем, в якій відбуваються інші події та яка «заповнює «проміжки між дискретними точками, складовими сліди синтетичних дій.

Не лише розподіл відрізка на частини дозволяє розрізнити безперервну і дискретну котрі становлять у дискурсі. Для будь-яких двох подій завжди знайдеться якесь те що розмежовує їх непроясненное «між », що б проте перебіг подій дискурсу. У теоремі про внутрішніх кутках трикутника, ми можемо (хоча й не цілком точно) вказати дві події: побудова трикутника (в експозиції) і проведення прямий (в додатковому побудові). Між двома цими діями щось відбувається. Та чи можемо ми говорити, що й щось поділяє? Проведення прямий певному відстані від підстави (якому вона паралельна) означає визначеність тимчасового відтинку між двома подіями. Якби пряма було проведено ближчі один до підставі, проміжок було б іншим. Можна апелювати до простого психо-физиологическому обставині: ніж далі друг від друга розташовані дві зображувані на папері постаті, то більше вписувалося часу треба, щоб перенести олівець чи простежити цей період очима. Навіть якщо його вважати такий аргумент недоречним у філософському міркуванні, усі ж суспільства потрібно погодитися, що структура відстаней, визначальна взаємне розташування різних елементів конфігурації, коррелятивна длительностям тимчасових проміжків, поділяючих моменти побудови цих елементів. Відстані відраховуються по прямий. Тому, визначаючи віддаленість одного об'єкта від іншого, так чи інакше повинні, хоча б подумки поєднати їхній відрізком прямий лінії. Але що довші відрізок, то більше часу проходить між подіями побудови його початку й кінця — природно масштабу одного дискурсу. Крапка, поставлена на відрізку за його проведенні, була колись, ніж кінець нинішнього відрізка.

Вернемся тепер до нашого міркуванню про відрізку прямий. Ми бачили, що його побудова від початку передбачає два синтетичних акта, у яких з’являється початок і поклала край відрізка. Те, що відбувається між двома діями не є цілком синтетичний акт, оскільки прояснене поняття прямий. Воно проясняється принаймні побудови нових точкових конфігурацій між початком і кінцем відрізка. Але тоді справжнім подією побудови ми можемо вважати лише поставлену точку. Тільки така дія може бути з моментом «тепер », тобто. зі справжнім. Інакше кажучи, лише точка діє. Будь-яка безперервна лінія, отже, і будь-яка геометрична постать, є слід, то непроясненное щось, що між точками, виробляється між подіями. Можна, звісно, побачити у безперервному прочерчивании лінії синтез, проведений відповідно до певної схемою, тобто. відповідно до деякому поняттю. Саме ця пропонує зробити Кант, роз’яснюючи поняття екстенсивної величини (B203): «Екстенсивної я називаю будь-яку величину, у якій уявлення цілого робиться можливим уявленню частин (яке тож необхідно передує уявленню цілого). Не можу уявити лінії, хіба що мала вона була, не проводячи її подумки, тобто. не проводячи послідовно всіх його частин, починаючи з певною крапки й в такий спосіб вперше начертая наочне уявлення її «.

С однієї боку, описана тут процедура складання цілого з таких одна одній частин має бути прийнята як процедура синтезу прямий лінії, конструирующая ще й поняття прямий. Але з іншого боку, наведене роз’яснення може здаватися дивним, оскільки перетворює проведення прямий лінії в актуально нескінченний процес. Адже кожен частина також складається з частин, які мають бути проведено колись. Тому, завершивши побудова відрізка, ми матимемо «шляхом послідовного синтезу «завершити нескінченний ряд побудов. У доказі тези першої антиномії сам Кант свідчить про неможливість такого акта (B454).

Однако уявлення про відрізку, як що складається з двох частин, можливо не колись, ніж вироблено його розподіл. Інакше кажучи ми можемо казати про прямий як результаті приєднання друг до друга дрібніших відрізків лише по тому, як проведено побудова низки точкових конфігурацій і досліджували структура прямий лінії. Таке дослідження дає можливість сформулювати поняття прямий, яке, проте, не було в останній момент його проведення. Кантовское визначення лінії, як послідовності частин, є тому результат вже проведеного дискурсу, причому такого, під час якого було зроблений кінцевий ряд синтетичних актів. Усі наші висновки про прямий лінії, про взаємній розташуванні на ній крапок і відрізків зроблено після побудови у ньому кінцевого числа точок, тобто. по тому, як розділена на кінцеве число частин. Саме таке розподіл і є синтезом у сенсі слова. Проведення безупинної лінії таким синтезом вважати не можна, оскільки за такому побудові не створюється ще зеленого поняття. Точніше, ми знаємо, яке поняття актуалізується.

Все сказане призводить до кілька дивним висновків. У кожному геометричному побудові відбувається два роду дій: проведення ліній і виставляння точок. Реальний синтез пов’язаний тільки з останнім. Ми згадували, що лише точка по-справжньому актуальна, лише може бути побудована чи сприйнята в останній момент «тепер », тобто. у цьому. Будь-яка складніша конфігурація відразу минає і звертається до слід. Але якщо це, то синтетичні акти, складові послідовність дискурсу, нічим змістовно друг від друга немає. Не можемо вказати нічого, ніж одна точка відрізняється одної, крім місця у просторі і часу.

Таким чином важливим елементом вибудовування дискурсу є факт чистого відмінності його елементів. Для природи дискурсу визначальним не змістовне відмінність якихось сутностей (понять чи об'єктів), а відмінність саме собою, відмінність те, що нерозрізнено за змістом.

Следовательно визначеність створюваного в дискурсі об'єкта може виникнути лише як структура відносин між точковими актами. Ці стосунки держави й визначаються просторово-часової локалізацією кожного їх. «Місце в просторі і часу «- це сутнісна характеристика об'єкта, але вказівку з його положення щодо інших, відмінних нього об'єктів. Те, що становить сутність складної конфігурації (геометричного об'єкта), зводиться до системи відносин між елементами (точками), про які важливо знати тільки те, що вони різняться друг від друга. Ми проте бачили, що просторове взаєморозташування точок коррелятивно їх тимчасової послідовності. Дискурс, розчинний на дискретний ряд наступних друг за іншому подій, може містити лише тимчасові відносини. Але це відносини можуть визначити лише длительностями тимчасових інтервалів між подіями. Отже структура геометричного об'єкта має визначитися темпоральной структурою дискурсу.

Темпоральная структура, втім, не є час дискурсу. Дискурс про певний предметі може бути повторений у час, яка за час дискурсу організується відповідно до разворачиваемой темпоральной структурі. Темпоральная структура, таким чином, сама незалежна від часу. Вона багаторазово відтворюється в протекающем у часі дискурсі і фіксується як просторових конфігурацій. Сама вона, проте, залишається поза будь-якої фіксації. Ця невидима і нечутна структура послідовності разворачиваемых у часі точкових подій містить у собі принцип взаємодії дискретних моментів безперервного тимчасового «наповнення ». Інакше кажучи вони містять принцип «визначення часу », виробленого дискурсом.

Все, що ми сказали тут про темпоральной структурі об'єкта, повною мірою належить до того що, що з Канта названо трансцендентальної схемою. Це — «правило синтезу здібності уяви щодо чистих форм у просторі «(B180). Зауважимо проте, що цього правила є керівництво для побудови об'єкта (порядок, послідовність дій), але з словесно озвучиваемая інструкція чи опис. Останнє ближчі один до поняттю і саме згоди з нею схема покликана привести конструируемый у просторі об'єкт. (Див. примітка 4).

Мы, отже, зіштовхуємося тут із певної загадкової частиною мислення, яка, які мають ніякого зовнішнього висловлювання, то, можливо описана лише вкрай приблизно. Для чого ми б вказали, намагаючись зазначити трансцендентальну схему (чи темпоральную структуру дискурсу), це у будь-якому цьому разі буде не вона, а або поняття, або образ, або предмет. Сам Кант з цього приводу писав: «Цей схематизм нашого розуму щодо явищ і чистої форми їх є таємне у надрах людської душі мистецтво, справжні прийоми якого ми чи коли-небудь вдасться простежити і вивести назовні «(B181). У чомусь трансцендентальна схема подібна до музичним ритмом. Останній представляє собою структуру, організуючу послідовність звуків і пауз, тобто. дискретну послідовність звучань у певній незвучащем континуумі. Ритм не звучить і безпосередньо не виявляється у нотної записи. Музика, що музика є лише одиничне розгортання заданої ритмом структури. Нотна запис називає ритм, тобто. розповідає про нього чи описує його. Сам він є поза звуку і «поза записи. (Див. примітка 5).

6 Різниця і тотожність в дискурсе

Выше ми вказали, що елементарні об'єкти, що у результаті синтетичних актів (подій дискурсу), відрізняються одна від друга лише місцем і часом. Але структура складного об'єкта, конструируемого під час дискурсу, визначається схемою, тобто. позачасовий структурою, при актуалізації якого і з’являється відмінність елементів у часі. Не випливає з цього, що актуальному (просторово-тимчасовому) відмінності елементів має бути припущено якесь позачасове відмінність? Природно припускати, що схема виявляється структурою відносин якихось предметів, про які відомо лише, що вони відмінні друг від друга.

Такой поворот дає, передусім, можливість уточнити, що, власне, означає однаковість об'єктів. Вище ми казали, що елементарні події дискурсу нічим змістовно друг від друга немає. Слово «змістовно «може лише те, що які під час названих подіях об'єкти однакові. Зрозуміло, що цей однаковість ми можемо визначити через зіставлення і виділення загальних властивостей. Для точок може бути визначено ставлюся негативно. Зауважимо, що нагадуючи про їх розбіжність у місці й часу, ми виявляємо ніяких підстав щодо розрізнення. Іншими словами, ми можемо вказати специфічних різниці між точками. Відсутність жодних підстав для розрізнення, крім відмінності місця й часу, і треба, очевидно, називати тотожністю об'єктів.

Различие, визначене схемою, не передбачає ніякого тотожності, оскільки не може бути мови об'єкт. У ньому задана структура чистого відмінності, реалізована (і актуализируемая) в просторово-тимчасовому відмінності об'єктів. Вкрай важко пояснити, де ЄС відмінностей, оскільки всякий доступний обговоренню предмет неспроможна — як ми вже говорили — бути схемою саме у силу цій доступності. На думку, ми можемо лише згадувати неї, виявляючи в власних побудовах розгорнутий у часу процес конструювання об'єкта, що складається з помітних елементів.

7 Труднощі аналізованого підходу і філософські проблемы

Реализуемый тут нами підхід до розгляду математичного дискурсу (або домогтися будь-якого дискурсу взагалі) наштовхується на ряд труднощів, вирішення яких представляється досить проблематичним. Ми, тим щонайменше, вважаємо за необхідне наскільки можна ясно сформулювати їх, оскільки у думку появу як виявляє недоліки нашого міркування, але почасти відтворює давні філософські проблеми, які по-різному відтворилися у різних філософських побудовах, але рідко (або ніколи) задовільно дозволялися. Можна тому припускати, що саме ми маємо справу з принциповими утрудненнями, властивими самій природі думки.

Мы змушені, передусім, констатувати, що у дискурсі будь-коли представлений цілий об'єкт. Ми бачили, що зараз розмірковування про будь-якому предметі є спробу його послідовної актуалізації. Однак у якому вигляді існує актуалізований предмет? Тільки вигляді сліду. Опинившись у минулому, він втрачає статус дійсного і бути знову актуалізований, щоб знову стати предметом міркування. Отже предметом міркування може лише об'єкта, той який конструюється зараз. Актуально те, що пов’язані з справжнім часом. Але той предмет, що зараз конструюється зовсім на предмет дискурсу. Він можуть бути в дискурсі як цілий об'єкт, оскільки створюється як послідовність частин. Будь-яка побудована частина перетворюється на слід і його також потрібно знову актуалізувати, аби повернути їй її предметність. Актуально є у дискурсі лише точка — лише вона може існувати зараз, у цьому. Тільки точка може бути слідом, а актуальним об'єктом. Намагаючись витягти предмет нашого міркування з минулого, ми також можемо витягти лише точку. Ми будемо послідовно брати до уваги одну точку одною, але будь-яка точка, що з минулим моментом буде тут знову звертатися до слід і обминіть ми.

Здесь можна побачити несподівану аналогію між математичним дискурсом і сприйняттям музики. Оцінити гідності твори можна лише почувши його чимось ціле. Навіть простенька мелодія є послідовність звуків. Та лише звук сприймається актуально, лише одне нота чи акорд може звучати зараз. Усі твір залишається у минулому та її актуалізація ще більш скрутна, ніж актуалізація математичного предмета, котрий за крайнього заходу представлений поперед очі.

Описанная труднощі була предметом дуже розлогого міркування Бл. Августина, який, намагаючись розгледіти темпоральную природу сприйняття, дійшов висновку, що справжнє ([1], з. 297). Августин дивується, як і порівнювати за тривалістю різні часові відтинки, коли кожний такий проміжок належить поваги минулому або до майбутньому не може бути повністю представлений сравнивающему (з. 293−294). Він також запитує, як і казати про минулих років і майбутніх подіях: адже них, отже казати про тому, чого. Наприклад, можна, бачачи зорю, пророкувати схід сонця і навіть представляти її. Останнє, пояснює Августин, можливо, лише коли уявлення сходу, якому належить статися майбутньому, присутній як справжнє у душі. Уявлювана картина сходу є й справжнє, як і созерцаемая картина зорі. Здатність уяви дозволяє актуалізувати неіснуюче, роблячи його справжнім (с.296−297). Так само стає справжнім і минуле, яке актуалізується, завдяки пам’яті. Августин пише: «Зрозуміло тепер одне: ні майбутнього, ні минулого немає, і неправильно говорити про існування трьох часів: минулого сьогодення й майбутнього. Правильней було б, мабуть казати: є три часу — справжнє минулого, справжнє сьогодення й справжнє майбутнього. Якісь три часу ці перебувають у нашій душі і іншому місці я їх бачу: справжнє минулого — це пам’ять; справжнє справжнього — його безпосереднє споглядання; справжнє майбутнього — його очікування «(з. 297, курсив мій — РР.).

Целостность предмета (чи ситуації) відновлюється, отже, завдяки пам’яті і уяві. Пригадаємо, що подібне припускав і Брауэр: розглядаючи когнітивну діяльність людини, він був його вигляді послідовності дискретних актів. Важливою характеристикою думки була нього у своїй як здатність продовжити послідовність, зробивши черговий акт, а й здатність «утримувати досить довгу ланцюг «речей «про те, щоб мати можливість перейти подумки від останньої до більш ранньої. «Однак тут ще немає розв’язання проблеми. Звернення до пам’яті Демшевського не дозволяє створити ціле, оскільки актуалізуючи минуле, ми звертаємо в слід (чи пам’ять) справжнє (яке, втім, відразу стає минулим). Якщо ним користуватися прикладом Августина, то уявлюваний схід сонця, як актуальне і виявлене у цьому уявлення, змушує абстрагуватися від споглядання зорі. Останнє перестає бути спогляданням, а стає слідом, утримуваних у душі. Навіть якщо його видовище зорі саме собою куди ділося, він стане актуальним нам тільки тоді ми, ми, відійшовши від уявного сходу, знову звернімося його безпосередньому споглядання.

Некоторый натяк на розгадку Августин дає, коли повертається до проблеми зіставлення тимчасових проміжків. Ми можемо виміряти часові відтинки, зіставляючи їх друг з одним, що у душі нині заради їх пам’яті. «У тобі, душа моя, вимірюю я час… Враження від який струменіє повз залишається в і його, зараз існуюче, я вимірюю, інакше, що «(з. 305). Отже, поруч із протекающим має бути якесь дивне позачасове уявлення цілий часовому проміжку. До нього, як до цілого повинна існувати можливість звернутися «зараз », у цьому. Причому щодо нього одному, але кільком сопоставляемым інтервалам одночасно. Але так само, як про інтервалі часу, можна казати про будь-якому предметі, який, будучи представлений як послідовність точкових актуалізацій, повинен також бути як мінімум ціле, будь-якої миті актуальне уявлення. Але така уявлення може бути дійсним об'єктом. Ми визначаємо час послідовністю синтетичних актів, у яких з’являється ряд дійсних об'єктів. Ціле, новобудоване з цих об'єктів як елементів, може лише вслід і будь-коли можна знайти актуально. Першої-ліпшої хвилини присутнє може лише поза часом, але ці не є дійсність. Дійсний лише одиничний сприймалася об'єкт, бо, що представлено в будь-якої миті непоодинока. Воно або матеріально, або у уяві то, можливо відтворено багаторазово, тому є спільною багатьом актуалізацій. Інакше кажучи, тут може бути про трансцендентальної схемою, позачасовий структурі конструируемого в дискурсі об'єкта. Якщо й може допомогти нам утримувати уявлення про об'єкт як і справу цілому, лише вона. Проте детальне розгляд всього, стосовно схематизму, як неодноразово зазначалося у «справжній роботі, викликає природне складне становище.

Общность трансцендентальної схеми багатьом одиничним об'єктах становить істота другий проблеми, яка, як побачимо, так само стара, як й перша. Питання наступного: чому, відтворюючи вдруге деяку конструкцію, ми знаем, что будуємо саме цю конструкцію, а чи не будь-яку іншу? Чому, наприклад, довівши одного разу теорему про внутрішніх кутках трикутника і провівши у своїй відповідне побудова, ми сумніваємося щодо можливості зробити це саме побудова вкотре, довівши знову цю теорему. Ми вагомі підстави для розрізнення побудованих конфігурацій (вони відмінні за часом), але підстави їхнього ототожнення залишаються тут поки проблематичними.

Возможность ототожнення відмінних за часом одиничних конструкцій еквівалентна спільності судження чи синтезованого цим судженням поняття. Судження є спільною оскільки справедливо нічого для будь-якого предмета, побудованого відповідно до даному поняттю. Але підручники повинні бути підстави у тому, щоб можна вважати цього поняття загальним багатьом об'єктів. Кожен із цього безлічі об'єктів конструюється відповідно до одному й тому поняттю, тобто. відповідно до одному й тому ж трансцендентальної схемою. Однак що означає «сама й той самий »? Ототожнюючи створені за одному й тому ж у час об'єкти, ми посилаємося на тотожність схеми як у критерій. Але тоді ми повинні мати якимось критерієм для ототожнення як у час схем, що відразу забезпечує регрес на погану нескінченність. Навіть якщо його вважатимемо, що схема залишається одному й тому ж у сенсі нумерического єдності, як біжать й та річ, то проблема ототожнення не вирішується, оскільки ми маємо будь-яких підстав щодо затвердження, що черговий раз звернулися до тієї самою схемою (подібно, наприклад, тому, як і кожен раз, забиваючи черговий цвях, ми беремо той самий молоток).

Понятие про нумерическом єдності (чи єдності за кількістю) дуже важливо до нашого міркування і бути належно своїх уточнено. Боецій ([9] з. 45) пише про «відмінності за кількістю «як і справу «відмінності при перерахування ». «Коли говоримо: «Ось це — Платон, та це — Сократ «- ми маємо дві одиниці; так само якщо б ми торкнулися пальцем обох, кажучи: «Один «- про Сократа, «Ще одна «- про Платоне, окреслили б дві різні одиниці «. З цього уривка випливає, єдність за кількістю передбачає индивидуацию з допомогою безпосереднього вказівки. Зауважимо, що є відбувається у експозиції теореми, де безпосередньо пред’являється одиничний об'єкт побудований тут і він. Сама одиничність, в такий спосіб, еквівалентна безпосередньому вказівкою («Ось це »), яка є нічим іншим як актуалізація об'єкта, що з даним моментом часу, зі справжнім. З цього треба, що про яке нумерическом єдності схеми може бути мови.

Ситуация дивним чином відтворює проблему універсалій. Питання, як загальні поняття є у одиничних речах наводить рівно до тих ж утрудненням. Вигляд присутній у помітних індивідах може або єдиний, або множествен. Перший випадок неможливий тому, у цьому разі нумерически одне має перебуває у багатьох місцях. Другий ж призводить до нескінченному множенню видів, бо в всього безлічі, званого одним виглядом, має бути щось спільне, що й вдає одним. Оскільки — як пише Аристотель — «Якщо тут не і той вигляд буття, те в них тільки б ім'я загальне, і було б скидається, коли б хто називав людиною і Каллия і шматок дерева, не побачивши никакойобщности з-поміж них «(Метафізика I, 9).(См. примітка 6).

Последняя труднощі, яку ми маємо звернути увагу, пов’язані з принципом «темпоральности », лежачому основу розроблюваного тут підходи до дискурсу. Ми бачили, що основою будь-якого різницю між актуальними об'єктами є розбіжність у часу. Саме структура таких відмінностей задана схемою. Остання неспроможна визначати нічого, крім співвідношення длительностей тимчасових інтервалів між точковими синтетичними актами. Дискурс виявляється послідовністю дій зі конструювання елементарних (помітних лише за часом) об'єктів. Але тоді ми можемо пояснити лише одномірну конструкцію, пряму лінію. Зрозуміла так трансцендентальна схема виключає одночасність і багатомірність в сприйнятті об'єкта. Кант символізував абсурдність описаної ситуації, знаходячи ній аргумент проти «проблематичного ідеалізму «([30], з. 626−630). Він зазначав, що уявлення (з допомогою самого уяви) тривимірних об'єктів вимагає звернення зовнішнього почуттю, тобто. до простору. Внутрішньо почуття (час) має одним виміром і, спираючись нею, не можна мислити просторові конфігурації. Кант бачить тут аргумент проти скептицизму Декарта суті якого він викладає так: «Проблематичний ідеаліст визнає, що ми сприймаємо зміни у вигляді нашого внутрішнього почуття, але заперечує, що у підставі можна укладати про існування зовнішніх предметів у просторі «(з. 626−627). Нам, проте, представляється, що така складність властива ще й самої кантовской філософії саме у силу центральної ролі схематизму для пізнавальної здібності. Схема дає правило визначення часу й зовсім неможливо зрозуміти, як то, можливо прообразом чи правилом конструювання просторового об'єкта. Тут залишається тільки знову на процитоване вже місце серед «Критики чистого розуму «про «сокровенне у надрах людської душі мистецтві «(B181).

Примечания

1. У всякому разі таблиці категорій, наведеній в «Аналітиці понять », другий з категорій модальності названо саме «існування «(B106), тоді як і «Аналітиці основоположень «фігурує термін «дійсність » .

2. У [76], з. 96−99 достеменно обгрунтовується необхідність розрізняти «реальне «і «дійсне ». Інакше вираз «реальна можливість «виявиться оксюмороном. Реально те, що отримано внаслідок синтезу, досконалого відповідно до умовам досвіду. Усі дійсне реально. Але реальним може бути можливе. Взагалі запровадження терміна «реальний «представляється виправданим саме у сенсі протиставлення реальної законодавчої і логічного можливості.

3. Вже згадана далі структура античної теореми було описано Проклом в «Коментарях до першій книжці почав Евкліда ». Див. коментар до першій пропозиції в [78], з. 180−181. Цікава інтерпретація цієї, встановленої у Прокла структури є у статті А. Родина «Теорему «[49]. Батьківщину належить переклад російською мовою термінів, використовуваних Проклом для позначення частин теореми.

4. У [76] приведено досить велика література у справі трансцендентального схематизму. Саме там зазначено на численні (і думку цілком виправдані) скарги багатьох дослідників на труднощі і темряву даної проблеми.

5. Проблема взаємодії значущості і незвучащего музикою докладно розглянута у книзі М. Аркадьева [3]. У ньому музичний твір представлено як розгортання звучання в безупинної незвучащей середовищі, названої автором «музичним часом ». Останнє перестав бути байдужим вмістилищем для звуків, але перебуває в ними складному взаємодії. Таке опис музичного твори виявляється несподівано близькими до нашому уявленню математичного дискурсу.

6. Міркування указывающее на труднощі у відкритому розгляді загальних понять, пов’язану зі своїми нескінченним множенням, була вперше зазначена у Платона в «Пармениде », та був у Аристотеля в «Метафізиці «(I, 9). У обох випадках, втім, аргументація кілька відрізняється від наведеній тут, оскільки в названих книгах про самостійному (чи, як виявляється у [35] РР. Майоров, «субсистентном ») існуванні ідей. Наше міркування ближчі один до міркуванню Боэция ([9], c.25).

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.