Рівняння в повних диференціалах (реферат)
Розглянемо частинні випадки. X 0 x M (x, y 0) dx + y 0 y N (x, y 0) dy = 0. В деяких випадках рівняння. Du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy ,. Du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy ,. X = 2 x, y = ± 2 y, d = d (x 2 ± y 2).. X, y) = exp { M y — N x yN — xM d (xy) }. Нехай (x, y) = x 2 ± y 2 .Тоді. X, y)) = exp { y — N x N x — M y d }. І формула має… Читати ще >
Рівняння в повних диференціалах (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Реферат на тему:
Рівняння в повних диференціалах
1. Загальна теорія
Якщо ліва частина диференціального рівняння.
.
є повним диференціалом деякої функції , тобто.
,.
і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз.
.
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності.
.
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді.
.
Звідси де — невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо .
.
Звідси.
.
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд.
.
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал.
,.
то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла.
.
В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.
.
2. Множник, що Інтегрує
В деяких випадках рівняння.
.
не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння.
.
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність.
,.
або.
.
Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції . Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де — відома функція. В цьому випадку одержуємо.
.
Після підстановки в рівняння маємо.
,.
або.
.
Розділимо змінні.
.
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
.
Розглянемо частинні випадки.
1) Нехай . Тоді .
І формула має вигляд.
.
2) Нехай . Тоді .
І формула має вигляд.
.
3) Нехай .Тоді.
.
І формула має вигляд.
.
4) Нехай . Тоді .
І формула має вигляд.
.