Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Рівняння в повних диференціалах (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Розглянемо частинні випадки. X 0 x M (x, y 0) dx + y 0 y N (x, y 0) dy = 0. В деяких випадках рівняння. Du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy ,. Du (x, y) = M (x, y) dx + N (x, y) dy ,. X = 2 x, y = ± 2 y, d = d (x 2 ± y 2).. X, y) = exp { M y — N x yN — xM d (xy) }. Нехай (x, y) = x 2 ± y 2 .Тоді. X, y)) = exp { y — N x N x — M y d }. І формула має… Читати ще >

Рівняння в повних диференціалах (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Рівняння в повних диференціалах

1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння.

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 .

є повним диференціалом деякої функції u ( x , y ) , тобто.

du ( x , y ) = M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy ,.

і, таким чином, рівняння приймає вигляд du ( x , y ) = 0, то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз.

u ( x , y ) = C .

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності.

M ( x , y ) y = N ( x , y ) x . .

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді.

u ( x , y ) x = M ( x , y ) , u ( x , y ) y = N ( x , y ) . .

Звідси u ( x , y ) = M ( x , y ) dx + ( y ) , де ( y )  — невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по y і прирівняємо N ( x , y ) . .

u ( x , y ) y = y ( M ( x , y ) dx ) + d ( y ) dy = N ( x , y ) . .

Звідси.

( y ) = [ N ( x , y ) - y ( M ( x , y ) dx ) ] dy .

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд.

M ( x , y ) dx + [ N ( x , y ) - y ( M ( x , y ) dx ) ] dy = C . .

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал.

du ( x , y ) = M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy ,.

то u ( x , y ) можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку ( x 0 , y 0 ) і точку із змінними координатами ( x , y ) . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла.

u ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = ( x 0 , y 0 ) ( x , y 0 ) M ( x , y 0 ) dx + ( x , y 0 ) ( x , y ) N ( x , y ) dy = = x 0 x M ( x , y 0 ) dx + y 0 y N ( x , y ) dy . .

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

x 0 x M ( x , y 0 ) dx + y 0 y N ( x , y 0 ) dy = 0 .

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння.

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 .

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція = ( x , y ) така, що рівняння.

( x , y ) M ( x , y ) dx + ( x , y ) N ( x , y ) dy = 0 .

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність.

y ( ( x , y ) M ( x , y ) ) = x ( ( x , y ) N ( x , y ) ,.

або.

y M + M x = y N + N x .

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції y ( x ) одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції ( x , y ) . Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію ( x , y ) , наприклад = ( ( x , y ) ) , де ( x , y )  — відома функція. В цьому випадку одержуємо.

y = d d y , x = d d x . .

Після підстановки в рівняння маємо.

d d y M + M y = d d x N + N x ,.

або.

d d [ N x - M y ] = [ M y - N x ] .

Розділимо змінні.

d = M y - N x N x - M y d . .

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

( ( x , y ) ) = exp { y - N x N x - M y d } .

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай ( x , y ) = x . Тоді x = 1, y = 0, d = dx . .

І формула має вигляд.

( x ) = exp { M y - N x N dx } .

2) Нехай ( x , y ) = y . Тоді x = 0, y = 1, d = dy . .

І формула має вигляд.

( y ) = exp { M y - N x - M dy } .

3) Нехай ( x , y ) = x 2 ± y 2 .Тоді.

x = 2 x , y = ± 2 y , d = d ( x 2 ± y 2 ) . .

І формула має вигляд.

( x , y ) = exp { M y - N x 2 xN ± 2 yM d ( x 2 ± y 2 ) } .

4) Нехай ( x , y ) = xy . Тоді x = y , y = x , d = d ( xy ) . .

І формула має вигляд.

( x , y ) = exp { M y - N x yN - xM d ( xy ) } .

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою