Алгебра

АЛГЕБРА.

«Алгебра не що інше, як математичний мову, пристосований для позначення відносин між количествами».

І. Ньютон.

Алгебра — частина математики, що вивчає загальні властивості дій над різними величинами і рішення рівнянь, пов’язаних із цими діями. Вирішимо завдання: «Віку трьох братів 30, 20 і шість років. Через років вік старшого дорівнюватиме сумі вікових груп обох молодших братів?» Окресливши дані число років за x, складемо рівняння: 30 + x = (20+х) + (6 + x) звідки x = 4. Близький до описаного метод вирішення завдань був відомий ще у II тисячолітті е. переписувачам Давнього Єгипту (але вони не застосовували буквеної символіки). У збережених донині математичних папірусах є як завдання, що призводять до рівнянням першого ступеня з однією невідомим, як і завданню про віці братів, а й завдання, що призводять до рівнянням виду ах2 = b. Ще складніші завдання вміли вирішувати безпосередньо з початку II тисячоліття е. в Давньому Вавилоні; в математичних текстах, виконаних клинописом на глиняних платівках, є квадратні і биквадратные рівняння, системи рівнянь з цими двома невідомими і навіть найпростіші кубічні рівняння. При цьому вавілоняни теж використовували літер, а наводили рішення «типових» завдань, у тому числі рішення аналогічних завдань виходили заміною числових даних. У числової формі наводилися й деякі правила тотожних перетворень. Якщо за рішенні рівняння треба було видобувати квадратний корінь у складі а чи не що є точним квадратом, знаходили близьке значення кореня x: ділили але в x і брали середнє арифметичне чисел x і а/х. Перші загальні твердження про тотожних перетвореннях зустрічаються у давньогрецьких математиків, починаючи з VI в. е. Серед математиків Стародавню Грецію було винесено висловлювати все алгебраїчні затвердження в геометричній формі. Замість складання чисел наголошували на додаванні відрізків, твір двох чисел витлумачували як площа прямокутника, а твір трьох чисел-как обсяг прямокутного паралелепіпеда. Алгебраїчні формули приймали вид співвідношень між площами і обсягами. Наприклад, казали, що площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих цих відтинках, збільшеною на подвоєну площа прямокутника, побудованого на цих відтинках. З тогочасна і йдуть терміни «квадрат числа» (т. е. твір величини найбільш себе), «куб числа», «середнє геометричне». Геометричну форму прийняло у греків та рішення квадратних рівнянь — вони шукали боку прямокутника по заданим периметру і площі. Більшість завдань вирішувалося Стародавню Грецію шляхом побудов циркулем і лінійкою. Не завдання піддавалися такого рішення. Наприклад, «не вирішувалися» завдання подвоєння куба, трисекции кута, завдання побудови правильного семиугольника. Вони призводили до кубічним рівнянням виду х3 = 2, 4×3 — Зх = чи х3 + х2 — 2х — 1 = 0 відповідно. Для рішень цих завдань розробили новий метод, пов’язані з відшуканням точок перетину конічних перетинів (еліпса, параболи і гіперболи). Геометричний підхід до алгебраїчним проблемам сковував подальше розвиток науки, оскільки, наприклад, не міг складати величини різних розмірностей (довжини й Бессарабської площі або площі та обсяги), не можна говорити про творі більш як трьох множників тощо. Відмова від геометричній трактування намітився у Диофанта Олександрійського, жив III в. У його книзі «Арифметика» з’являються зачатки буквеної символіки і спеціальні позначення для ступенів невідомого до 6-ї. Були і позначення для ступенів негативним показниками, позначення для негативних чисел, і навіть знак рівності (особливого знака для складання ще був), коротка запис правил множення позитивних і негативних чисел. На розвиток алгебри сильний вплив надали розібрані Диофантом завдання, що призводять до найскладніших системам алгебраїчних рівнянь, в тому числі до систем, де число рівнянь було менше числа невідомих. Для таких рівнянь Диофант шукав лише позитивні раціональні рішення. З VI в. центр математичних досліджень переміщається до Індії та Китаю, країни Близького Сходу, і Середню Азію. Китайські вчені розробили метод послідовного винятку невідомих на вирішення систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного рішення рівнянь вищих ступенів. Індійські математики використовували негативні числа і вдосконалили буквенную символіку. Однак тільки працях учених Близького Сходу, і Середню Азію алгебра оформилася на самостійну гілка математики, трактующую питання, пов’язані з рішенням рівнянь. У ІХ ст. узбецький математик і астроном Мухаммед ал-Хорезми написав трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», де дав загальні правила на вирішення рівнянь першого ступеня. Слово, алъ-джебр «(відновлення), від якої нова наука алгебра отримала свою назву, означало перенесення негативних членів рівняння з однієї його частину до іншої зі зміною знака. Вчені Сходу вивчали і рішення кубічних рівнянь, хоча зуміли отримати загальної формули їхнього коренів. У Західної Європи вивчення алгебри почалося XIII в. Однією з великих математиків цього був італієць Леонардо Пизанский (Фібоначчі) (прибл. 1170 — після 1228). Його «Книжка абака» (1202) — трактат, який містив відомостей про арифметиці і алгебрі до квадратних рівнянь включно (див. Числа Фібоначчі). Першим великим самостійним досягненням західноєвропейських учених було відкриття XVI в. формули на вирішення кубічного рівняння. Це було заслугою італійських алгебраистов З. Дель Феро, М. Тарталья і Дж. Кардано. Учень останнього — Л. Феррарі вирішив і рівняння 4-го ступеня. Вивчення окремих питань, що з корінням кубічних рівнянь, привело італійського алгебраиста Р. Бомбелли до відкриттю комплексних чисел. Відсутність зручною і добре розвиненою символіки сковувало подальше розвиток алгебри: найскладніші формули доводилося викладати у словесній формі. Наприкінці XVI в. французький математик Ф. Виет ввів літерні позначення як для невідомих, але й довільних постійних. Символіка Виета була вдосконалена багатьма вченими. Остаточний вид їй додав на початку XVII в. французький філософ і математик Р. Декарт, запровадивши (вжиті і нині) позначення для показників ступенів. Поступово розширювався запас чисел, із якими можна було виробляти дії. Завойовували права громадянства негативні числа, потім — комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. У цьому виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають чинність. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивою їй геометричній форми. Усе це дозволило розглядати питання рішення рівнянь у найзагальнішому вигляді, застосовувати рівняння до вирішення геометричних завдань. Наприклад, завдання про знаходженні точки перетину двох ліній звелася до рішенню системи рівнянь, яким задовольняли точки цих ліній. Такий метод рішення геометричних завдань отримав назву аналітичної геометрії. Розвиток буквеної символіки дозволило встановити загальні затвердження, що стосуються алгебраїчних рівнянь: теорему Безу про подільності багаточлена Р (x) на двочлен x — чи, а — коріння цієї багаточлена; співвідношення Виета між корінням рівняння та її коефіцієнтами; правила, дозволяють оцінювати число дійсних коренів рівняння; загальні методи винятку невідомих з систем рівнянь тощо. Особливо було просунуте в XVIII в. рішення систем лінійних рівнянь — їм отримано формули, дозволяють висловити рішення через коефіцієнти і вільні члени. Подальше вивчення таких систем рівнянь створило теорії матриць і визначників. Наприкінці XVIII в. було доведено, що будь-який алгебраїчне рівняння з комплексними коефіцієнтами має хоча б тільки комплексний корінь. Це твердження носить назва основний теореми алгебри. Протягом з першою половиною століть увагу алгебраистов була прикута до завданню виведення формули на вирішення загального рівняння 5-ї ступеня. Треба було висловити корені цієї рівняння через його коефіцієнти з допомогою арифметичних операцій та витягів коренів (вирішити рівняння в радикалів). Лише на початку в XIX ст, італієць П. Руффини і норвежець М. Абель незалежно друг від друга довели, що така формули немає. Ці дослідження було завершено французьким математиком Еге. Гачуа, методи якого дозволяють кожному за даного рівняння визначити, вирішується воно в радикалів. Один із найбільших математиків До. Гаусс з’ясував, за яких умов можна побудувати циркулем і лінійкою правильний n-угольник питання опинилося що з вивченням коренів рівняння хn = 1. З’ясувалося що це завдання можна залагодити у випадку, коли кількість п є простим числом Ферма чи твором кількох різних простих чисел Ферма (простими числами Ферма називаються прості числа, представимые як 22n + 1, досі відомі лише п’ять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65 537) Тим самим було молодий студент (Гауссу було на той час лише 19 років) вирішив завдання, якої безуспішно займалися вчені більше двох тисячоліть. На початку в XIX ст. було вирішено основні завдання, стояли перед алгеброю в першому тисячолітті його розвитку. Він отримав самостійне обгрунтування, не що спирається на геометричні поняття, і більше, алгебраїчні методи стали застосовуватися на вирішення геометричних завдань. Розроблено правила буквеного обчислення для раціональних і ірраціональних висловів, з’ясований питання разрешимости рівнянь в радикалів й сувора теорія комплексних чисел. Поверхневому спостерігачеві це могло здатися, що тепер математики вирішуватимуть нові й нові класи алгебраїчних рівнянь, доводити нові алгебраїчні тотожності тощо. Проте розвиток алгебри пішло інакше: з науки про буквеному обчисленні і рівняннях вона перетворилася на загальну науку про операції та його властивості. Після створення теорії комплексних чисел виникло питання про існуванні «гиперкомплексных чисел» — чисел з кількома «вдаваними одиницями». Таку систему чисел, мали вид, а + bi+ cj + dk, де i2 =j2 = k2= - 1, побудував на 1843 р. ірландський математик У. Гамільтон, назвавши його їх «кватернионами». Правила дій над кватернионами нагадують правила звичайній алгебри, проте їх множення не має здатність коммутативности (переместительности): наприклад, ij= k, a ji= -k З операціями, властивості яких почасти нагадують властивості арифметичних операцій, математики ХІХ ст. зіткнулись і за іншими питаннях. У 1858 р. англійський математик А. Кэли ввів загальну операцію множення матриць і вивчив її властивості. Виявилося, що множенню матриць зводяться і з изучавшиеся раніше операції. Англійський логік Дж. Буль у середині в XIX ст. розпочав студіювати операції над висловлюваннями, дозволяли з цих двох даних висловлювань побудувати третє, тож під кінець ХІХ ст. німецький математик Р. Кантор ввів операції над множинами: об'єднання, те що тощо. Виявилося, що і операції над висловлюваннями, і операції над множинами мають властивостями коммутативности (переместительности), асоціативності (сочетательности) і дистрибутивности (распределительности), та деякі їх властивості аніскільки не схожі на властивості операцій над числами.) Таким чином, протягом ХІХ ст. у математиці виникли різновиди алгебр: звичайних чисел, комплексних чисел, кватернионов, матриць, висловлювань, множин і т.д. Кожна їх мала свої умови, свої тотожності, свої на методи вирішення рівнянь. У цьому декому видів алгебр правила були дуже схожими. Наприклад, правила алгебри раціональних чисел немає від правил алгебри дійсних чисел. Саме тому формули, які у VI класі встановлюють для раціональних значень літер, виявляються точними й у будь-яких дійсних (і навіть будь-яких комплексних) значень тієї ж літер. Однаковими виявилися і правил в алгебрі висловлювань та в алгебрі множин. Усе це створило абстрактного поняття композиції, тобто. операції, яка кожної парі (а, b) елементів деякого безлічі Х зіставляє третій елемент з цього самого безлічі. Композиціями були складання і множення як натуральних, і будь-яких цілих, і навіть раціональних, дійсних і комплексних чисел, «множення» матриць, те що і об'єднання підмножин деякого безлічі U тощо. А віднімання і розподіл в багатьох натуральних чисел є композиціями, адже й різницю, і приватне можуть бути натуральними числами. Вивчення властивостей композицій різного виду призвело до думки, основна завдання алгебри — вивчення властивостей операцій, аналізованих незалежно від об'єктів, до яких застосовуються. Інакше кажучи, алгебра стала розглядатися як загальна наука про властивості законів композиції, властивості операцій. У цьому два безлічі, у кожному у тому числі задано композиції, зважали тотожними з погляду алгебри (чи, кажуть, «ізоморфними»), якщо розрив між цими множинами можна встановити взаємнооднозначне відповідність, переводящее один закон композиції на другий. Якщо два безлічі з композиціями ізоморфні, то, вивчаючи одне з яких, ми дізнаємося алгебраїчні властивості іншого. Нині алгебра — одну з найважливіших частин математики, находящая докладання як і суто теоретичних галузях наук, і у багатьох практичних вопросах.