Частинні похідні і диференціали вищих порядків (пошукова робота)

Пошукова робота на тему:

Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

План.

• астинні похідні вищих порядків.

• еорема про рівність змішаних похідних.

• иференціали вищих порядків.

6.11.Частинні похідні вищих порядків.

Розглянемо функцію двох змінних. Її частинні похідні і є функціями змінних і. Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

— функція два рази диференціюється по ;

— функція диференціюється по, а потім по ;

— функція диференціюється по, а потім по ;

— два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по і. Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ' я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

— .

Диференціюємо кожну з них по і. Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі.

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці.

.

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

Нехай — диференційована в області функція двох незалежних змінних і. В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і, тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і, одержимо функцію двох змінних і, означену в області .

Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області, якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці. Позначається або .

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,.

.

Якщо функція в області має неперервні частинні похідні до — го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:

тощо.

Введемо символічну — у степінь: вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну — у степінь із подальшою зміною степенів і, помножених на, частинними похідними відповідного порядку від функції .

Тоді.

(6.72).

…

Зауваження. Якщо — диференційована функція проміжних змінних і, які, в свою чергу, є диференційованими функціями і, то, обчислюючи, і т. д., ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.

Так,.

Тут і - не є постійними (постійні). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.