Первая крайова мета рівняння теплопровідності в нецилиндрической необмеженої области

Запровадження 3.

1.Постановка завдання 3.

2. Оціночний аналіз виконання завдання. 4.

2.1. Оцінка рішення згори. 4.

2.2. Оцінка рішення на вигляді інтеграла 5.

2.3. Вибір інтервалу ([pic]) і - оцінка похибки 8.

3. Формулювання результату як теореми 10.

4. Приклади 11.

Заключение

12.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 13.

Нерідко виявляється неможливим чи неприйнятним отримання аналітичного рішення поставленого завдання. Використання основних теорем і положень аналізу дозволяє їм отримати якісну картину поведінки функції рішення на заданої області, оцінити швидкість збіжності рішення. Такий їхній підхід широко реалізується у областях техніки, де отримання результату необхідно із заданої точностью.

1.Постановка задачи.

У дипломної роботі розглядається задача:

[pic](З).

0[pic][pic][pic]. t [pic] x.

Потрібна привести приклад оцінки виконання завдання (З) у сфері [pic], і досліджувати отриману оцінку при [pic].

2. Оціночний аналіз рішення задачи.

Оцінка виконання завдання (З) полягає в принципі максимуму для рівняння теплопровідності: «Будь-яке рішення рівняння [pic] в прямокутнику [pic], безупинне до кордону, приймає свої найбільше і найменше значення на нижніх чи бічних його кордонах» [2].

2.1. Оцінка рішення сверху.

У сфері t=t, x=[pic] розглянемо вирішення завдання :

[pic], V (0,x) = [pic](x), x[pic], (1).

это рішення має вигляд [1]:

v (t, x) = [pic]. (2).

Зафиксируем деяке [pic]и час торкнутися вихідної системі координат, тоді (2) у системі t=t, x=[pic] виглядатиме так:

V (t, x) = [pic] (2') З принципу максимуму [2] укладаємо, что:

U (t, x) [pic] V (t, x). (3).

Таким чином завдання зводиться для оцінювання інтеграла (2).

2.2. Оцінка рішення на вигляді интеграла.

Розіб'ємо інтервал [pic]< x [pic] [pic] на частини [pic]и [pic], тоді інтеграл (2') запишеться в виде:

V (t, x) = [pic]. (*).

Досліджуємо знак подинтегрального висловлювання, приймаючи до уваги, то що [pic]:

[pic]; (а).

[pic] ;

[pic] ;

де [pic] .

Після проведеного дослідження видно, что.

[pic].

Использовав відоме розкладання [pic], де Z [pic]0, [pic], замінимо експоненти у другому интеграле рядами:

(а) [pic];

(б) [pic].

В результаті одержимо :

[pic].

Здесь:

[pic], [pic], (4.1).

[pic], [pic]. (4.2).

Запишем нерівність (3) як, приймаючи до уваги лише одна складова суми ряда:

m=1,.

[pic].

U (t, x) [pic]. (5).

Выше наведена оцінка не відбиває якісної картини і то, можливо використана при подальших дослідженнях завдань цього виду. (т .до. pic]фиксированно) Розглянемо іншу можливість оцінки нерівності (3).

[pic] нехай [pic] (тобто. [pic]финитна), відповідно до принципом максимума:

[pic], (3') при [pic] де Wрішення крайової завдання (З) з початковими условиями:

[pic].

[pic].

Аналогично, як і выше.

[pic] здесь:

[pic] Отже, [pic] (використовуємо розкладання до кількох Тейлора) В итоге,.

[pic] (5.1) Розглянемо два випадку: а) Нехай [pic].

[pic], тоді правій частині нерівності (5.1) третє і четверте (3,4) складові йдуть до нуля швидше будь-якого рівня [pic], тому (5.1) можна переписати как:

[pic] (5.2) б) Нехай [pic]тогда:

[pic] де [pic] Через війну получаем:

[pic] (5.3).

2.3. Вибір інтервалу ([pic]) і - оцінка погрешности.

Поставимо довільно деяку константу [pic]>0, вимагаючи щоб у (5).

[pic].