Математика

Многочленом (полиномом) від матриці А зв. Выр-е виду: р (А)=а, А +а, А +… а АІ+а А+а, А Нехай дано багаточлен р (Х), якщо р (А)=0, тобто. р (А) — нульова, то М. А зв. коренем многочдена р (Х), а багаточлен р (Х) аннулирующим многочленом від матриці А. Правило Сариуса знаків для 3-его порядку. Мінором зв. визначник, полученый вычёркиванием тієї рядки — і того шпальти які мають даний елемент. Алг. доповненням ел. Аik зв. мінор, узятий зі знаком Аik=(-1) Mik. Розпад? 3-его порядку за основними елементами першого рядка чудово: ?=а11А11+а12А12+а13А13. Матрицею зворотної кв. матриці А зв. кв. матриця АЇ№ удовл. рар. А АЇ№= АЇ№ А=Е. Кв. матриця зв. невыражденой, якщо її det?0. Теор. Всякий. невыражд. матр. А має невыражд. їй обр. матр.: АЇ№=A/detA. Довільну невыражд. матр. можна навести до еденичной (А (Е) — метод Жордано. Перебування обр. матр. з помащю ел. преобр. Теор. Якщо до од. матриці порядку n застосувати самі ел. преобр., только над рядками у тому ж установленому порядку з пом. котор. невыражд. кв. матр. А наводиться до од., то отримана у своїй матриця буде зворотної матриці А. (А|E)((E|AЇ№).

Ах=В уА=В х=АЇ№В у=ВАЇ№.

Ранг матрицы В матр. m*n виберемо произв. S-строк, S-столб. (1?S?min (m, n)). Елем., стоящ. на пересічений. выбр. стор. стовп. обр. матр. порядку P. S. Визначник цієї матриці зв. минорм порядку P. S матр А. Цей визначник наз. минорм другого порядку исходн. матр. Аналог. получ. ін. мінори утор. порь., а також тре. порь., недо. їх міг. = 0. Рангом матр. зв. наиб. з порядків її миноров,?0. Якщо всі мінори =0, то ранг =0.

Властивості ранга.

1. R транспонир. матр. = R исходн. 2. R М. не зависнув. Від відсутності чи присутність у ній нульових рядків. 3. При ел. преобр. R матр. не мін. З їхніми пом. матр. можна навести до квазитреуголной форме, R котор. = r, т.к. її мінор з гол. диог. дорівнює зроблено. і ?0, проте мінори вищого порядку =0, як містять нульові строки.

Матрична запис лінійної ситемы А=(Кооф.), Х=(неизв.), В=(св. чл.), ?=(кооф і св. члены).

Невыражд. сист.

|a11 a12. b1. a1m| ?=|кооф.|, ?k=| a21 a22. b2. a2m|.

|…|.

| am1 am2. bm .amm| Теорему Крамера. Невыражн. лин. сит. має од. рішення х1=?1/?, х2=?2/…

Метод Гаусса-Жордано (і наобарот) Заключ. в ел. преобраз. матр.

ВЕКТОЫ Коллинеарн. вект. — лежащ. на || прямих чи одою прямий. Рівні вект. — коллин. і имеющ. одинак. напрям і довжину. Протиположными зв. вектори ((і мають рівні довжини. Св. вектори — т. докладання котрых то, можливо обрано довільно. Радиус-вектором т. зв. вектор т. докладання якого є поч. коорд., а кінець перебуває у т. Направляючими косинусами векторів зв. косинуси кутів ?, ?,? освічених ними з коорд. осями. |r|=?(xІ+yІ+zІ) x=|r|cos? y=|r|cos? … … => cos?=x/?(xІ+yІ+zІ) Одиничний вектор e=(cos (, cos (, cos?).

Коорд. лин. комбінації векторов Даны n векторів. Лін. комб. a=?1*a1+?2*a2+…+?n*an x= ?1*x1+?2*x2+…+?n*xn y=…

Розподіл відрізка у цьому отношении.

X=(x1+?x2)/(1+?) — щодо ?.

Скалярн. твір векторов.

ab=|a||b|cos (ab) Т.к. |b|cos ?=ін a b, |a|cos?=пр b a, ab=|a|пр a b = |b|пр b a Властивості: 1. Переместит (коммуникативности) аb=ba.

2.Сочетательности (ассоциативности) щодо числ. множ. (?a)b=?(ab).

3.Распределительности (дистрибутивности) відносить. суми векторів a (b+c)=ab+ac.

Правило лев. і. трійки У. 3 не комплан. вект. a, b, c узятих взятих у зазначеному порядку і прикладених до одній точці зв. трійкою векторів abc. Будемо див. з кінця з на плоск. образ. вект. а і b, якщо найкоротший поворот від, а до b зробимо проти годинниковий стрілки то трійка зв. правої… Векторным твором 2-х векторів a і b зв. вектор [a*b] і удовл. слід. усл.:1)|[a*b]|=|a||b|sin? ;2)[a*b]+a і b;3)тройка a b [a*b] має таку ж ориентацию, что і і jk. З ум. 1) слід що | | векторное твір = площі паралелограма. [a*b]=0 < = > a комплан. b Властивості: 1. Антиперестановочности [a*b]=-[a*b].

2.Сочетательности щодо скалярн. множ.

[(?a)*b]=?[a*b].

3.Распределительности (дистрибутивности) відносить. суми векторів [(a+b)c]=[a*c]+[b*c].

|і j k | [a*b]=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2 z2|.

Змішане твір векторов Даны 3 вект. a, b, c. Помножимо векторно a на b і скалярно на з. У рез. получ. число, котор зв. векторно-скалярным твором чи смешаным. V параллелипипеда=смеш. произвед. вект. і «+», якщо тр. abc прав. abc=[ab]c=a[bc].

|x1 y1 …| abc=|x2 … …| < = > abc-комплан.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … | V 3-ох угольн. Пирамиды=mod|x3-x1 … … |.

|x4-x1 … … |.

Лінійна зависнув. Векторов.

a1,a2,…an — зв. лин. зависнув. векторів, якщо сущ. ?1,?2 ???n, таких що: ?1*a1+?2*a2+…+?n*an=0 Теорему 1. a1, a2,…, an, n>1 лин залежна < = > по меншою мірою, них явл. лин. комб. інших. Теорему 2. чи b лин. зависнув < = > вони коллин. Теорему 3. Якщо е1 і е2 — не колинеарные вектори недо. плоск., будь-який третій вектор а, приналежний тієї ж площині од. чином раскл. із них а=х*е1+у*е2. Теорему 4. a, b, c — лин. зависнув. < = > вони коллинеарны. Теорему 5. Якщо е1, е2,е3 не комплан., будь-який будь-який, а можна од. обр. розкласти із них а=?1*е1+?2*е2+?3*е3 Теорему 6. Всякий. 4-те вектора лин. зависнув. Базис — будь-яка упорядоченая система 3-ох лин. независ., т. е. не компланарных векторів d=x*e1+y*e2+z*e3 d (x, y, z) в базисі е1е2е3.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ…

F (x, y)=0 — ур-е лінії загалом F (?,?)=0 — … в полярних координатах. Якщо це рівняння вирішується щодо ?, то ?= ?(?). x=f (t) y=? (t) / - параметричні рівняння лінії. Якщо дано. лінії задано ур-ем ?= ?(?), параметрически ур-я записуються x= ?(?)*co? y= ?(?)*sin? Упрощ. ур-е другого ступеня не що містить члена з твором координат AxІ+CyІ+Dx+Ey+F=0 (1) Перейдём до новий. сист. коорд. оху шляхом паралельного перенесення. Ур-е (1) шляхом виділення повних квадратів преведено до жодного з наступних канонічних рівнянь: хІ/aІ+yІ/bІ=1 — еліпс — геом. місце точок площині, для котор. сума раст. до двох даних т. (фокусів) =const, F1(-c, 0), F2(c, 0), c=?(aІ+bІ).

Эпсиктриситетом ел. зв. ?=?(1- (b/a)І) Директрисами ел. зв. прямі x=a/? і x=—a/? хІ/aІ+yІ/bІ=0 — удовл. коорд. од. т. (0,0) хІ/aІ+yІ/bІ=-1 — неудовл. коорд. жодної т. в сл. А*С>0 лінії элипсического типу хІ/aІ — yІ/bІ=1 чи —хІ/aІ + yІ/bІ=1 — гіперболи — геом. місце т. площині котрим | | різниці відстаней до двох даних т.(фокусов)=const.

F1(-c, 0), F2(c, 0), c=?(aІ+bІ), ?=c/a, Ассимптоты: у=х*b/a і y=— х*b/a, Директорки: x=-a/? і x=a/? |.

Равносторонние Р. — із рівними полуосями.

/ хІ/aІ — yІ/bІ=0 — пара від перетинання прямых.

/ - лінії гіперболічного типу уІ=2px — парабола — геом. місце т. площині равноудалённых від фокусу і директорки.

Симметрин. відносить. ох: уІ=2px, Директриса x=-p/2, F (p/2,0), r=x+p/2 | oy: xІ=2qy, Директриса y=- q/2, F (0,q/2), r=y+q/2 | yІ=bІ - пара || прямых.

> - лінії параболического типу yІ=0 — пара збігу прямых.

/ yІ=—bІ - неудовл. коорд. жодної т.

Если С=0, А?0, то (1) наводиться хІ=2qy.

Прямая на площині. Загальний вид: х=а чи y=b k=(y2-y1)/(x2-x1), де х1, у1,…,… -координати двох будь-яких т. площині. | tg (угла м/у 2-га? прямыми)=(k2-k1)/(1+k1k2) Рівняння дотичній: y-y0=k (x-x0).

| Якщо прямі задано загальними рівняннями (Ах+Ву+С=0): Ур-е нормальний: y-y0=-1/k*(x-x0).

| tg (угла м/у 2-га? прямыми)=(A1*B2- A2*B1)/(A1*A2+B1*B2) Ур-е прямий (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1), (x2?x1,y2?y1).

| || < = >A1/A2=B1/B2, + A1/B1=—B2/A2 Ур-е прямий в відтинках x=x1+(x2—x1)*t y=y1=(y2—y1)*t, t? R Відстань від т. М0(х0,у0) до прямий Ах+Ву+С=0: d=(A*x0+B*y0+C)/?(AІ+BІ) Ур-е окружності: (x-a)І+(y-b)І=RІ Упрощ. загальне ур-е другого ступеня: AxІ+2Bxy+CyІ+Dx+Ey+F=0.

При повароте коорд осей на? котрій ctg2?=(A— C)/2B x=x' co? -y' sin? y=x' sin? +x' co? Межа ф-ии. Постійна b зв. lim y=f (x) при x>a, для будь-якого ?>0 сущ. ?>0, що з всіх x удовл. ум. 0.