Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Синтез систем по оптимізації їх керованості (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Перший підхід визначається явною залежністю функціонала (6.6) від вектора b (k) при фіксованих значеннях векторів b (j), j1 k, j = 0, N.. Для розв’язання задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.7) можна використовувати один із двох наступних підходів. 0, w (k) T (N + 1) Z (W k (N + 1)) w (k) > 0 — w (k) T (N + 1) W k + (N + 1) F (k) V — d T — f k T V, w (k) T… Читати ще >

Синтез систем по оптимізації їх керованості (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Реферат на тему:

Синтез систем по оптимізації їх керованості

Розглянемо лінійну систему з дискретним аргументом.

x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) + b ( k ) u ( k ) , (6.1).

де u (k) — скалярні величини, x (k) — n — вимірні вектори. Тоді відомо [ 4, 6, 10 ], що у випадку відсутності властивості цілком керованості цією системою на множині аргументу { k : 0,1,2, K , N } має місце співвідношення.

min u ( k ) , k = 0, N x ( N + 1 ) - x ( 1 ) 2 = x ( 1 ) T ( E n - W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) ) x ( 1 ) , (6.2).

де W ( N + 1 ) = j = 0 N W ( N + 1, j ) W T ( N + 1, j ) , W + ( N + 1 ) - псевдообернена матриця до матриці W (N+1) ,.

Складаючи систему рівнянь для W (N+1).

W ( j + 1 ) = A ( j ) W ( j ) A T ( j ) + b ( j ) b T ( j ) , (6.3).

W ( 1 ) = b ( 0 ) b T ( 0 ) , (6.4).

і розглядаючи для множину значень { x ( 1 ) : f 1 , f 2 , K , f M } для системи (6.3), (6.4) складемо функціонал якості.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) = i = 1 M x ( n + 1 ) - f i 2 = .

= i = 1 M f i T ( E n - W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) ) f i = .

= tr [ ( E n - W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) ) F ] , (6.5).

де F = j = 1 M f j f j T . Тому що мінімізація функціоналу (6.5) еквівалентна максимізації функціоналу.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) = tr ( W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) F ) , .

то задачу оптимального синтезу системи (6.1) по максимізації її керованості будемо розглядати як задачу оптимального керування системою (6.3), (6.4) при.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) . .

Зокрема, якщо вектори f 1 , f 2 , K , f M при M=n є системою ортонормованих векторів, то.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) = tr ( W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) ) . .

Дана постановка задачі дозволяє вибирати структуру керування для не цілком керованої системи по переводу її в задану множину фінальних точок так, щоб якнайближче наблизити кінцеві стани системи до заданої множини точок. Керування можна здійснювати як одною траєкторією, переводячи її в мінімальні околи заданих фінальних точок, так і пучком траєкторій. Наприклад, керування пучком частинок в лінійних прискорювачах з концентрацією пучка в кінці прискорюючого тракту.

Для розв’язання задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.7) можна використовувати один із двох наступних підходів.

Перший підхід визначається явною залежністю функціонала (6.6) від вектора b (k) при фіксованих значеннях векторів b ( j ) , j ^1 k , j = 0, N . .

Другий підхід складається в розв’язанні сформульованої задачі синтезу як задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.5) з використанням функцій Гамільтона.

Відповідно до результатів роботи [ 7 ] явна залежність матриці W + ( N + 1 ) від b (k) має наступний вид.

j ^1 k N + + F ( N + 1, k , b ( k ) ) , .

де.

1 r G 1 ( N + 1 ) + r 1 r 2 , d T ( k ) Z ( W k ( N + 1 ) ) 2 ^10, - 1 r 1 G 2 ( N + 1 ) , d T ( k ) Z ( W k ( N + 1 ) ) 2 = 0, F ( N + 1, k , b ( k ) ) = { .

G 1 ( N + 1 ) = - W k + ( N + 1 ) d ( k ) d T ( k ) Z ( W k ( N + 1 ) ) - .

- Z ( W k ( N + 1 ) ) d ( k ) d T ( k ) W k T ( N + 1 ) , .

r = d T ( k ) Z ( W k ( N + 1 ) ) d ( k ) , .

r 1 = 1 + d T ( k ) W k + ( N + 1 ) d ( k ) , d ( k ) = A ( N ) A ( N - 1 ) KA ( k + 1 ) b ( k ) , .

G 2 ( N + 1 ) = W k + ( N + 1 ) d ( k ) d T ( k ) W k + ( N + 1 ) , .

Z ( W k ( N + 1 ) ) = E n - W k + ( N + 1 ) W k ( N + 1 ) , .

j ^1 k N .

Тому що.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) = tr [ ( W k ( N + 1 ) + W ( N + 1, k ) W T ( N + 1, k ) ) ' .

' ( W k + ( N + 1 ) + F ( N + 1, k , b ( k ) ) ) F ] , .

то для оптимальних b 0 ( j ) , j = 0, N , для котрих.

I ( b ( j ) , j = 0, N ) = I ( b 0 ( j ) , j = 0, N ) , .

виконується наступна необхідна умова оптимального синтезу (на відміну від принципу максимуму оптимізація проводиться по структурі системи керування).

tr [ A ( N ) KA ( k + 1 ) b 0 ( k ) b 0 T ( k ) A T ( k + 1 ) KA T ( N ) ' .

' ( W k + ( N + 1 ) + F ( N + 1, k , b 0 ( k ) ) ) F + .

+ W k ( N + 1 ) ( W k + ( N + 1 ) + F ( N + 1, k , b 0 ( k ) ) ) F ] = .

= max b ( k ) ^I b tr [ A ( N ) KA ( k + 1 ) b ( k ) b T ( k ) A T ( k + 1 ) KA T ( N ) ' .

( W k + ( N + 1 ) + ( N + 1, k , b ( k ) ) ) F + .

+ W k ( N + 1 ) ( W k + ( N + 1 ) + ( N + 1, k , b ( k ) ) ) F ] . .

Розглянемо задачу оптимального керування (2.3), (2.4), (2.7). Тут функція Гамільтона має вигляд.

H ( W ( j ) , F ( j + 1 ) , b ( j ) , j ) = tr { Y ( j + 1 ) [ A ( j ) W ( j ) A T ( j ) + b ( j ) b T ( j ) ] } . .

Матриця Y ( j ) визначається з системи матричних рівнянь.

Y ( j ) = grad W ( j ) H ( W ( j ) , Y ( j + 1 ) , b ( j ) ) = A T ( j ) Y ( j + 1 ) A ( j ) , j = N + 1,1 ,

(6.11).

.

Y ( N + 1 ) = - grad W ( N + 1 ) tr ( W ( N + 1 ) W + ( N + 1 ) F ) . .

Для знаходження градіенту у формулі (6.12) від псевдооберненої матриці, скористаємося формулою рекурентного псевдообернення матриць [ 6 ]. З цією метою спочатку необхідно знайти градіенти по вектор-рядках матриці W (N+1) .Тоді матриця в кінцевій точці має вид.

Y ( N + 1 ) = FW + ( N + 1 ) + ( g 1 T g 2 T M g n T ) , .

0, w ( k ) T ( N + 1 ) Z ( W k ( N + 1 ) ) w ( k ) > 0 - w ( k ) T ( N + 1 ) W k + ( N + 1 ) F ( k ) V - d T - f k T V , w ( k ) T ( N + 1 ) Z ( W k ( N + 1 ) ) w ( k ) = 0, g k T = { { .

V = ( v 1 T v 2 T M v n T ) , R ( W k ( N + 1 ) ) = W k + ( N + 1 ) ( W k T ( N + 1 ) ) T , .

d T = 1 1 + w ( k ) T ( N + 1 ) R ( W k ( N + 1 ) ) w ( k ) ( N + 1 ) x .

w ( k ) T ( N + 1 ) R T ( W k ( N + 1 ) ) W ( N + 1 ) F ( k ) T , .

матриця W (N+1) без k — го вектора-рядка,.

w ( k ) T ( N + 1 )  — k-й вектор-рядок матриці W (N+1) ,.

f i - i — й вектор-стовпчик матриці F,.

F ( k ) = ( f 1 ( k ) , f 2 ( k ) , K , f n ( k ) ) , де f i ( k ) - вектор f i без kой компоненти,.

v i T = w ( i ) T ( N + 1 ) R ( W k ( N + 1 ) ) ( 1 + r 2 ) - 2 r 2 w ( k ) T ( N + 1 ) R ( W k ( N + 1 ) ) ( 1 + r 2 ) 2 , .

r 2 = w ( k ) T ( N + 1 ) R ( W k ( N + 1 ) ) w ( k ) ( N + 1 ) . .

Тоді.

grad b ( i ) I ( ) = - grad b ( i ) H ( W ( i ) , Y ( i + 1 ) , b ( i ) , i ) = .

= - grad b ( i ) tr { Y ( i + 1 ) [ A ( i ) W ( i ) A T ( i ) + b ( i ) b T ( i ) ] } = .

= ( Y T ( i + 1 ) + Y ( i + 1 ) ) b ( i ) , i = 0, N . .

А процедура градієнтного спуску має вигляд.

b ( i ) = b ( i ) - i grad b ( i ) I ( ) , i = 0, N . .

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою