Гармонічні коливання (незатухатухаючі) (реферат)

Реферат з математики Гармонічні коливання (незатухатухаючі).

х''+ $${}^2$$ x= 0, (31).

де $$$$ — деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція.

х == A cos ($$$$ t+ (32).

для будь-яких сталих A і розв’язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв’язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв’язок рів­няння (31).

Функція (32) для будь-яких заданих А, $$$$ і писує гармонічний коливальний процес. Число |А| називається амплітудою, а число початковою фазою, або просто фазою коливання (32). Рівняння (31) називають рівнянням гармонічних коливань. Додатне число $$$$ називають часто­тою коливання.

Число коливань за одиницю часу визначають за формулою math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2 .

Як бачимо, загальний розв’язок (32) рівняння (31) містить дві довільні сталі: амплітуду, А і початкову фазу $$$$. Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,.

x (t0)=x0, x'(t0)=v0. (33).

Тоді для визначення сталих, А і $$$$ дістанемо таку систему рівнянь:

Звідки A2cos2(+ A2sin2(+02+ $$\frac{v_0^2}{{}^2}$$ ,.

A2=x02+ $$\frac{v_0^2}{{}^2}$$ .

Можна вважати, що A>0, тоді A= $$x_0^2+\frac{v_0^2}{{}^2}$$ .

Знаючи амплітуду A, з системи (34) за формулами тригоно­метрії визначають початкову фазу a.

З формули (32) можна дістати інший вигляд загального розв’язку рівняння (31).

Справді, $$x=A(\text{cos}\mathit{}\text{cos}-\text{sin}\mathit{}\text{sin})=A\text{cos}\text{cos}\mathit{}-A\text{sin}\text{sin}\mathit{}\text{.}$$ Поклавши, що $$C_1=A\text{cos},{}_{}^{}{C}_2=-A\text{sin},$$ дістанемо:

$$x_1=C_{1}A\text{cos}\mathit{}+C_{2}A\text{sin}\mathit{},$$.

До такого диференціального рівняння приводять, наприк­лад, дві різні, на перший погляд, задачі фізики — коливання пружної пружини і розряд конденсатора через котушку.

Зазначимо, що рівняння гармонічних коливань розгля­нуто нами за умов, які реально не виконуються. Так, для описання коливання пружини треба враховувати тертя, а для описання розряду конденсатора — внутрішній опір. При цьому в рівнянні коливань з’являється доданок, що залежить від першої похідної (швидкості).